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1、2003 年 9 月J OU RNAL O F XIAN U N IV ERSI T Y O F SCI ENCE AND T ECHNOL O GYDec. 2003文章编号 : 1671 - 1912 (2003) 04 - 0478 - 03用复摆法测量刚体的转动惯量 孟泉水 , 班丽瑛 , 朱金山(西安科技大学 基础课部 ,陕西 西安 710054)摘 要 : 利用复摆原理 ,设计了一种新型的转动惯量测定仪 。经过实验 ,其测量数据与理论计算值相吻合 ,相对误差小于 4 %. 该实验装置操作简单 ,结构灵活 ,与理论教学内容紧密相结合 。该仪器还可 验证平行轴定理 ,使学生通过实验能够
2、深刻掌握刚体力学所要求的内容 。关键词 : 复摆 ; 刚体 ; 转动惯量 ; 平行轴定理中图分类号 : O 313 . 3文献标识码 : A0引言转动惯量 ( 代号为 J ) 是刚体转动中惯性大小的量度 ,是刚体力学中一个非常重要的物理量 ,因而 ,转动惯量的测量一直是大学物理实验中一个必不可少的内容 。目前国内工科院校所采用的测量仪器大体可分为两类: 一 类是三线摆法1 ,2 ,一类是塔轮法3 ,4 。这 2 种方法西安科技大学物理实验室先后都采用过 。实验表明 : 前者误差虽小 ,但实验方法及测量手段均较陈旧 ,学生从中很难接受多少现代测量技术信息 ,且实验原理与理论课中关于转动惯量的计算
3、联系并不紧密 ;后者误差很大 ,学生实验时相对误差常超过 70 % ,教师仔细测量 ,也很难把相 对误差控制在 20 %以内 ,原因在于该仪器在设计思路上就有许多先天不足 ,在实验中略去了塔轮转动时的摩擦力矩和砝码的加速度 ,而实验时这两个因素都明显存在 ,因此对实验结果影响很大 。理论基础11 . 1复摆5质量为 m 的任意形状物体可绕垂直于图面的光滑水平轴 O 自由转动 , 将它由自然下垂的静止状态拉离平衡位置一个微小角度后释放 , 忽略空气阻力 , 物体将 绕轴 O 作自由摆动 , 这样的装置叫复摆 , 如图 1 所示 。设复摆的质心在 C , C 到 O 的距离为 h , 复摆对 O
4、轴的转动惯量为J , 由于它受2= - m ghsin - m gh, 由转动定律 M = J d得图 1 复摆Co mpound pendulum到重力矩 Md t 2m gh2Fig. 1d2 m gh = 0 =d t 2 +=JJTm gh T 2( 1)J =42式中为复摆摆动的角频率 ; T 为摆动周期 。质心 6 质心是与质点系统质量分布有关的一个代表点 , 它的位置在平均意义上代表着物体质量分布的中心 。其位1 . 2rc = r d m / M矢 rc 的计算公式为对于质量为 M , 长为 L 的匀质杆 , 其质心 C 距其一端的距离 h 为收稿日期 : 2002 - 04
5、- 23作者简介 : 孟泉水 ( 1962 - ) ,男 ,陕西汉中人 ,副教授 ,主要从事普通物理的教学研究工作.L 2 L 111M d x x =LMM0h =x d m =( 2)22LL平行轴定理 7 如图 2 所示 , Zc 为通过刚体质心的轴 , 刚体对 Zc 轴的转动惯量为J c , Z 轴与 Zc 轴平行 , 二轴相距 d , 刚体的质量为 m , 则刚体对 Z 轴的转动惯量为1 . 32J = Jc + m d( 3)2设计思路l取长为 l 的匀质细杆 , 由 ( 2) 式知 , h =, 用米尺量取其中点 , 确定质心 C 的2位置 ; 为尽量减小摩擦力矩 , 在其一端镶
6、上优质轴承作为转轴 , 用支架悬挂 , 作成复摆 , 如图 3 所示 。为了准确测量复摆摆动周期 , 采用电脑计时器 , 为此在棒的另一 端安装遮光棒 。测出 T 后 , 代入 ( 1) 式 , 即可求出杆对 O 轴的转动惯量 , 再与匀质细杆对通过其一端且垂直于杆的轴的转动惯量的理论值图 2 平行轴定理Fig. 2 Theorem of paralell axis 12( 4)J 10=m l3比较 , 即可求出测量结果的相对误差| J 10 - J |E =100 %( 5)J10为了验证平行轴定理 , 制作了一个直径为 D , 质量为 M 的匀质金属圆盘 , 它对垂直于盘面 、穿过盘中心
7、的轴的转动惯量的理论值为 1 1 D1222M R =M ( 2 )=M D( 6)J 20=228将盘装在杆上 B 点 , 量得 OB =d , 由 ( 3) 式知 , 该系统对 O 轴的转动惯量的理论值为J 0 = J 10 + J 20 + M d2另一方面 , 系统受到的转动力矩为M= - m ghsin- M gdsin = - ( m h + M d) g设该系统对 O 轴的转动惯量为 J, 由转动定律有( 7)d2- ( m h + M d) g = J = Jdt 22d ( M d + m h)+g = 0即d t 2=J( M d + m h) g2=J( M d + m
8、h) g T2T故J=( 8)42测出 M , d , m , h 及 T, 代入 ( 8) 式 , 即得系统对 O 轴转动惯量的实验值 。测量图 3 实验模型Fig. 3 Experimental model| J- J 0 |的相对误差E=100 %( 9)J03 实验数据3 . 1原始数据 ( 为节省篇幅 , 仅列出各量 5 次测量的平均值)lm = 0 . 213 2 kg ; M = 0 . 586 5 kg ; l = 0 . 800 m ; h = 0 . 400 m ; D = 0 . 100 m ; d = 0 . 780 m ( 另一次12实验时 , d2 = 0 . 06
9、1 m) ; T = 1 . 49 s , T1 = 1 . 73 s , T2 = 1 . 26 s.理论值由 ( 4) 式3 . 211J 杆 =m l 2 =0 . 213 2 ( 0 . 800) 2 = 4 . 55 10 - 2 kg m233480西 安 科 技 学 院 学 报2003 年11J 盘 =M D2 =0 . 586 5 ( 0 . 100) 2 = 7 . 33 10 - 4 kg m2由 ( 6) 式由 ( 7) 式88= J 杆 + J 盘 + M d1 2 = 4 . 55 10 - 2 + 7 . 33 10 - 4 + 0 . 586 5 ( 0 . 78
10、0) 2= 0 . 403 kg m2= J 杆 + J 盘 + M d2 2 = 4 . 55 10 - 2 + 7 . 33 10 - 4 + 0 . 586 5 ( 0 . 061) 2= 4 . 84 10 - 2 kg m2J 01J 023 . 3实验值由 ( 1) 式m gh T2 = 0 . 213 2 9 . 80 0 . 400 1 . 492= 4 . 70 10 - 2 kg m2J 杆 =424 3 . 142( M d1 + m h) g( 0 . 586 5 0 . 780 + 0 . 213 2 0 . 400) 9 . 822由 ( 8)T =1 . 73J
11、( 杆 +盘)=424 3 . 1421= 0 . 404 kg m2( 0 . 586 5 0 . 061 + 0 . 213 2 0 . 400)2- 22J ( 杆 +盘)=9 . 8 1 . 26 = 4 . 77 10 kg m4 3 . 14223 . 4相对误差E = | 4 . 70 - 4 . 55 |杆 :由 ( 5) 式100 % = 3 . 3 %4 . 70| 0 . 403 - 0 . 404 |杆与盘系统 :当 d = 0 . 780 m 时 , 由 ( 9) 式100 % = 0 . 25 %E1 =0 . 403100 % = 1 . 4 %4 . 84 -
12、4 . 77当 d = 0 . 061 m 时 , 由 ( 9) 式E2 =4 . 84这种方法在各种实验教材中均无记载 , 也无现成仪器 , 属于创新 。实验表明 , 用复摆法测量转动惯量 , 思路正确 , 方法可行 , 误差较小 。在进一步改进仪器后 , 相对误差还可进一步减小 。该方法的实验原理紧密结合理论课教 学内容 , 对学生加深对理论课学习内容的理解很有帮助 , 而平行轴定理的验证 , 更是同类实验中所没有的 , 在测 量手段上 , 使用了电脑计时装置 , 可使学生更多地接触到现代化测量技术 。参考文献黄国良 ,王树林. 物理实验 M . 西安 :陕西科技出版社 ,1997 . 4
13、2 .赵 渤. 大学物理实验 M . 西安 :陕西科技出版社 ,1997 . 65 .崔亚量 ,梁为民. 大学物理实验 M . 西安 :电子科技大学出版社 ,1999 . 66 .廖少俊. 大学物理实验 M . 西安 :陕西科技出版社 ,1993 . 93 .马文蔚. 物理学 (下) M . 北京 :高等教育出版社 ,1993 . 93 .程守洙 ,江之水. 普通物理学 (1) M . 北京 :高等教育出版社 ,1998 .马文蔚. 物理学 (上) M . 北京 :高等教育出版社 ,1993 . 167 .1234567Mea suring the rotat ional inert ia o
14、f rigid bodywith the method of compoun d pen dul umM EN G Q uan2shui , BAN Li2ying , ZHU J in2shan( Dept . of B asic Cou rses , X i a n U ni versi t y of S cience a n d Tech nology , X i a n 710054 , Chi na)Abstract : A new inst rument fo r measuring rotatio nal inertia has been devised by t he p ri
15、nciple ofco mpo undpendulum. It s p rinciple of experiment is clo se in to uch wit h t he related teaching co ntent s of mechanic of rigidbo dy o n bot h college p hysics and t heo retical mechanics. It s measuring data agree wit h t he result s of t heo retical calculatio n t hro ugh experiment . I
16、t s relative erro r is less t han 4 %. This inst rument is simple and smart , and be clo se in to uch wit h t he teaching co ntent s of t heo ry , and can also test t he t heo rem of paralell axis. It can make st udent s deeply understand t he co ntent s of mechanic of rigit bo dy t hro ugh t he experiment .Key words : co mpo und pendulum ; rigid bo dy ; rotatio nal inertia ; t heo rem of paralell axis
