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1、从“点状地学会”走向“结构化地会学” 引导学生从“学会”走向“会学”是教学改革的根本方向。从本质上说，阻碍课堂走向“会学”的不是班级规模，而是我们的教学目标和教学方式，我们的“知识导向型目标”强调的是以“教”为中心的“点状”地“学会”。 基于以上现状，笔者认为，今天的数学教学要积极探寻如何以数学认知结构为基础，引导学生从“点状”地“学会”走向“结构化”地“会学”。所谓数学认知结构，就是人们头脑中的数学知识（经验）按照自己理解的长度、宽度和高度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。下面试结合四年级苏教版上册认识含有亿级和万级的数一课的实践来论述。
2、 一、基于认知结构“长度”的自主整理 认识含有亿级和万级的数是整数领域的最后一节课。课前，老师先请学生自主回忆：“一到三年级，我们认识了万以内的数。四年级起认数第一课时，我们首先认识了整万的数，接下来呢？你能分别举例子来说一说吗？” 课始，师生在课前研习的基础上共同回忆整理认知结构，学生举例后教师也请学生来读一读这些给定数“1259”“12590000”，以方便知识点的连接而用。教师将“1259”和“12590000”这两张数卡巧妙地合并为“12591259”，请学生读后指出“这就是含有万级和个级的数”，以此将“万以内的数”和“整万的数”这两个知识点连接成“含有万级和个级的数”。同样，教师在“
3、12590000”后面添4个0使其成为“125900000000”，再次自然地将“整万的数”和“整亿的数”这两个知识点连接了起来。这两个看似简单的小动作蕴含着深意：纵向数之间的联系与区别、横向数之间的联系与区别，这些都是积极影响学习迁移的认知结构变量，是学习迁移时可利用、可辨别、具有稳定性的因素。 回顾了所有已经学过的数后，教师顺着知识的连接点追问：按照这样的顺序，接下来可能会认识怎样的数？学生有的说“认识含有亿级、万级和个级的数”，也有说“认识含有亿级和万级的数”。继续循着连接点追问：含有万级和个级的数是由整万数和万以内数组合成的，那含有亿级和万级的数呢？学生自然能联想到“含有亿级和万级的数
4、是由整万的数和整亿的数组合成的”，这就在新旧联系中通过同化自然获得对新知识的理解和生长点的有意义扩张。至此，纵横交错的知识网络图也就同步生成。 确定教学内容，教师要把这一课、这一单元局部的教学内容，纳入整册教材、整个学段、整个知识体系。我们需要站在数学认知结构的逻辑长度来着力眼前的教学：每一个“知识点”的“连接点”和“生长点”分别是什么？“知识点”要夯实，“连接点”要形成清晰的网络，而“生长点”就是将解决问题所需要的“知识点”重新整合，形成新的、解决问题的知识网络。 从“知识点”到“连接点”再到“生长点”的形成，这是一个解读信息，调动、运用知识，重新整合的思维过程。当我们能够从教材的知识体系以
5、及学生的已有经验等整体出发，准确把握住知识的“连接点”和“生成点”，就会创生富有数学韵味和思考价值的情境。它能使学习从局部、零散的认识以集腋成裘的方式走向整体结构化，能使学生整体认识和宏观把握数学知识，获得的知识就会像一串葡萄，学完能拎起来。 课前先行回忆，课上反馈交流，并反思“在回忆的过程中，你遇到了哪些困难？是怎么解决的？”这样的过程正是在引导学生从“回忆整理”走向“学会回忆整理”。 二、基于认知结构“宽度”的自主迁移 在读含有亿级和万级的数前，老师先让学生回忆已有的读数经验，师生一起归纳出读数经验：1.从高位起，一级一级地往下读;2.读亿级或万级数时，要按照个级数的读法来读，再在它的后面
6、读出“亿”字或“万”字;3.每级末尾的0都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。 接下来先读零在（每级）末尾的数，读“125912590000”后，教师追问“两个1259在读法上有什么不同点？这么多0为什么都不读出来？”再读零在（每级）非末尾的数，读“1220000000”后，要求“给1220000000万级的数搬搬家，使它只读出一个零”，然后追问“1202000000、1200200000、1200020000的哪些0读了出来？为什么都只读出一个零？”再请学生读“1202020000”，想“为什么读出两个零？”在经历了层层深入的读数和反思活动后，再请学生从整体上反思：以前的这
7、些读数经验，在读含有亿级和万级的数时，还能用吗？ 同理，在写含有亿级和万级的数前，也先让学生回忆已有的写数经验，师生共同归纳出写数经验：1.从高位起，一级一级地往下写;2.哪个数位上一个单位也没有，就在那一位上写0。 考虑到写数较之读数有难度，所以课前就请学生尝试写了“五亿九千万”和“五亿八千九百五十七万”这两个数。课上，请两名学生先后板演这两个数并说说写法，教师结合课前研习集中出现的错例“59000、590000、5000090000、59000000”请学生辨析。最后反思：以前的这些写数经验，在写含有亿级和万级的数时，还能用吗？在写这两个数的过程中，你又遇到了哪些困难？是怎么解决的？学生在
8、自主经历了自己写、辨析写、反思写的过程后能够清晰地提炼出这样的写数注意点：写数时要一级一级往下写，要注意一个数级有四个数位;哪个数位上一个单位也没有，一定要对准数位写0，等等。 课尾再提问“你有哪些新的收获”，并依次将活动数卡展开，请学生逐次读出“12、120002、1200020002”，再次引导他们在自主反思的过程中形成关于整数的、相对完整的认知结构，并体会到数的无限和法的永恒“无论数有多大、有多复杂，它们读数和写数的方法是一样的。” 从纵向发展的长度来看，原有的数学认知结构在不断扩充、完善中。从横向发展的宽度来看，发展着的逻辑知识之间蕴含的经验方法往往是不变的，这就为学习的正向迁移提供了
9、条件。学习过程其实就是一个经验被激活、利用、调整、提升的过程，是建立在原有经验基础上的主动建构过程。在这个过程中，首先要激活学生的已有经验;其次要在学生已有经验的基础上做适当调整、提升与完善;接着引导学生经历新的活动过程，以积累新的活动经验;最后通过反思将新经验与已有经验有效对接，以实现方法的自主迁移。 三、基于认知结构“高度”的自主练习 在练习题的设置上，我们往往是教材教什么内容就练什么内容，教计算做计算题，教图形做图形题，教解决实际问题做解决实际的问题。长期这样的封闭式练习，会使学生陷入只会做题不会思考的机械化误区，不利于数学素养的长远发展。我们可以为学生提供基于认知结构“高度”的练习，如
10、果用数学课程标准来解释，那就是在使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的同时，还要让学生“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。 从内容来看，认识含有亿级和万级的数比较简单。但，这节课的教学目标仅仅只是定位在会读数、会写数吗？在其背后，是否还可以隐藏更深层次的东西呢？怎样让简单、枯燥的认数练习变得既实现巩固功效，又有思维含量，更有趣味呢？老师巧妙地通过“感受成就”“了解不平衡”“懂得节约”这三个有意义的环节来实现。 “感受成就”环节先让学生
11、读出其他三个年份的粮食总产量（表1），告诉学生“我国的粮食总产量在不断增加，位居世界第一”，随即激起第一个认知冲突，问：“但要知道这些粮食到底够不够吃？仅仅看粮食总产量，你认为合理吗？应该怎样看？”学生发现要根据粮食总产量和总人口数求出人均粮食量，才能知道这些粮食到底够不够吃。赞可夫说：“教会学生思考，这对学生来说，是一生中最有价值的本钱。”这一练习情境就从单纯的读写提升到了一定的高度，它与认数之外的其他知识有关，与生活应用有关，与思维有关。 接着出示相应年份的全国总人口数，要求学生根据要求写数。最后一个写数需联系数学要求和生活实际来写，对学生来说是一个很有意义的思维挑战，也能进一步感受大数目
12、在生活和学习中的价值。从粮食总产量到全国总人口数，教师可以骄傲地告诉学生：“在总人口数不断增加的情况下，我们还能让人均粮食量达到世界平均水平，用占世界很少（7%）的耕地养活了占世界五分之一（22%）的人口，这在世界上是非常了不起的成就！”（表2） 但“平均水平并不代表平衡”，教师紧接着出示2012年5月31日羊城晚报的报道儿童节，有多少孩子饿肚子上学和2013年初中央电视台的报道舌尖上的浪费，这就形成了练习环节的第二次认知冲突。 在学生惊讶、惊叹之后，教师请学生说说感想，他们由衷感叹“如果每人节约一点就能救活很多人”，“光盘行动要从我做起”。顺势而下，教师设问“如果每人每天节省1粒大米，我们的
13、力量会有大多呢”，最后请学生听写括号里的数。 如果每人每天节省1粒大米，全国13亿人每天节省13亿粒大米，大约重（520000000）克，合520吨。如果把这些节省下来的大米连接起来大约长（650000000）厘米，合6500千米。如果每人每天吃大米400克，这些节省下来的大米可供（1300000）名学生吃一天。 让学生在数字、数位、数级、读数、写数、想数等过程中反复地积累经验，这是培养数感的基本途径。通过感受大数目的实际意义来培养初步的数感，这是另一个途径，“如果每人每天节省1粒大米，全国13亿人每天节省13亿粒大米”这是一个怎样的概念？三个听写题将“13亿”和质量、长度、人数架起了看得见的联系，学生在一定的情绪体验中锻炼了数感，接受了教育。 基于认知结构“长度”的自主整理，基于认知结构“宽度”的自主迁移，基于认知结构“高度”的自主练习一节课的成功与否，并非仅仅在于这节课的教学任务是否完成，还在于对整个认知结构的贡献有多少。结构化，让世界从混沌变得清晰;结构化，让学生从“学会”走向“会学”！ 作者单位：江苏省无锡市安镇实验小学， 江苏省无锡市锡山教师进修学校
