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1、菲涅耳公式与半波损失 摘 要 本文从电磁场的边值关系推导出菲涅耳公式，从而确定电矢量的方向，在此基础之上对半波损失问题作详细分析。关键词 菲涅耳公式 电矢量 半波损失 相位突变1 引言一列光波射到两种不同介质界面之上时，将分成反射光波和折射光波，根据电磁场理论和边值关系，可以得到菲涅耳公式，从而确定反射光波、折射光波和入射光波之间的振幅关系，据此对半波损失作出解释。本文将根据菲涅耳公式，对半波损失问题作详细的分析。1.1 菲涅耳公式由电磁场理论和实验指出，电磁波入射到两种各向同性媒介的分界面上时，存在反射波和折射波，设入射波为单色平面波（在很多实际情况之下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作
2、正弦振荡，因而辐射出来的电磁波也以相同的频率作正弦振荡。在一般情况之下，即使电磁波不是单色波，也可以用傅里叶分析（频谱分析）方法分解为不同频率的正弦波的叠加）。 电磁场的边值关系： nn式中，分别表示介质2，介质1中的电场强度；H，分别表示磁场强度；D，D分别表示两种介质的电位移矢量；B，B分别表示两种介质的磁感应强度；，分别表示两种介质的面自由电流、电荷密度。在绝缘介质界面之上：= 0 ，= 0 。因为第一、二式是相对独立的，则只考虑 ,由于对每一波矢k ( k = EH )有两个独立的偏振波，所以需分别讨论电矢量E垂直于入射面和E平行于入射面两种情形。设入射光波，反射光波和折射光波的电场强
3、度分别为：E，E和E；磁场强度分别为： H，H和H ；波矢量分别为：k，k和k；入射角，反射角和折射角分别为：，和。（1） E入射面 如图a由边值关系可得： EEEHcosHcosHcos图a：E入射面HkHkHkjEEEk图b：E入射面 且据， ， ，得到所以： r= t= （2） E入射面 如图b由边值关系可得： HHH EcosEcosEcos同理得到： r= t= -式被称为菲涅耳公式。式中的r和r分别称为垂直分量和平行分量的振幅反射比，t和t分别称为垂直分量和平行分量的振幅透射比。其中E，E，E，H，H，H以及 E，E，E，H，H，H仅仅为区分E入射面和E入射面两种情况，只是一种记号
4、。1.2 反射光波和折射光波E各分量方向的确定我们规定各平行分量、垂直分量和相应的光波的传播方向构成右手螺旋关系。此时则为正方向。（1）E和E 方向的确定若r 0 即 0 ，则E与其正方向相同；若r 0 即 0 即 0 ，则E与其正方向相同； 若r0 即 0且t0，则分别与其规定方向相同。例如图c：（各平行分量、垂直分量和相应的光波的传播方向构成右手螺旋关系）E图d：E的垂直和平行分量的合成EEEEE图c：各分量的正方向的规定方向EkEEEEEkk根据上面的方法，我们可以得到反射光波和入射光波E的各个分量的方向，若反射光波的合矢量方向与入射光波的合矢量方向恰好相反 ，即反射光波振动方向相对于入
5、射光波发生了位相为的突变，这就好象是反射光波多走或少走了半个波长，故称为半波损失。需要特别指出的是，通过r，r的正负只能得到各个分量的方向，即使反射光波与入射光波相应的分量的方向相反，也不能以此说明反射光波发生了半波损失。根据矢量叠加原理，合矢量的方向相反，并且在同一条直线之上，必须满足其变化率相等即。若则其合矢量不会在同一条直线之上而是发生了一定角度（非180）的旋转如图d，这种旋转的效果是不可以用光波多走了或是少走半个波长来替代的，也就没有所谓的半波损失。2 光波在媒介分界面上反射时的相位突变2.1 近于正入射的外反射（n n , 0）由式：r= ，r= 则r 0 , ，由E，E，E，E方
6、向的判定，可得到图e 。可见在近于正入射的外反射情况之下，将反射光波和入射光波在入射点同时进行比较，显然外反射时反射波E矢量的垂直和平行分量与入射光波相比都发生了方向反转且变化率相等，则其反射光波合矢量的方向与入射光波合矢量的方向恰好相反，即反射光波在反射时发生相位突变。图f：近于正入射的内反射 图e：近于正入射的外反射kEEEkEE 2.2 近于正入射的内反射（n n, 0）由式：r = ，r= 则r 0 , r 0 , 由E ，E，E，E方向的判定，可得到图f 。可见，在近于正入射的内反射情况之下，将反射光波和入射光波在入射点同时进行比较，显然内反射时反射波E矢量的垂直分量与入射光波相比相
7、同，则其反射光波合矢量的方向与入射光波合矢量的方向只发生了一定的偏转，方向并没有恰好相反，即反射光波在反射时不会发生相位突变。2.3 掠入射的外反射（n n , 90）图g：近于掠入射的外反射由式：r 0 , r n，90）同理可以判断出掠入射的内反射不会产生半波损失。2.5 斜入射的外反射（nn）(1) 当 i（i为布儒斯特角）时k图h ：，+90,则r0 ，所以可以得到图h 。显而易见反射光波与入射光波E 的各分量都反向，可是，所以反射光波与入射光波的振动方向是不在同一条直线之上，也就没有所谓的半波损失。图i ： i时，斜入射的外反射k (2) 当 i 时由式可以得到：，+ 90,则r 0
8、 , r n）不论是i 时，由式可以得r 0 因此反射光波的垂直分量总是与入射光波相同，也就不会产生半波损失。因此光波斜入射时，即使有反射光波E 的各分量与入射光波都反向，可是，所以反射光波与入射光波的振动方向是不在同一条直线之上，也就没有所谓的半波损失。3透明薄膜上下表面两束相干反射光束的附加光差图j ： 且i时：薄膜上下两表面反射光发生干涉32145上面我们讨论了一般情况之下，从界面上反射光的相位突变，实际中，我们还要研究从薄膜上下表面反射光波的干涉问题。根据菲涅耳公式，得到以下所示的几种图形。图k ：i 时：薄膜上下两表面反射光发生干涉图m ：且i 时：薄膜上下两表面反射光发生干涉图l
9、：且i 时：薄膜上下两表面反射光发生干涉根据菲涅耳公式得到的上面四幅图，只是给出了上下表面反射光波E矢量的垂直和平行分量的方向。根据菲涅耳公式可以推导出（请见附录）： 显而易见，两束反射光的垂直分量和平行分量不成比例，即使E与E反向，同时 E与 E反向，上表面的反射光与下表面的反射光的振动面也不可能在同一个平面内，即反射光的振动面发生了一定角度（非180）的旋转，所以也就不存在传统意义上的半波损失。但是在实际观测之中，当（其中表示精确度，表示介质i的折射率，表示介质j的折射率，且）时（请见附录），与相差不大，即cos2 ()1，则。因此上表面的反射光与下表面的反射光的振动面近似在一个平面内，在
10、E与E反向，同时在E与 E反向的条件之下可以近似的理解为多走或少走了半个波长，即发生了半波损失。因此在薄膜上下侧媒介相同的情况之下，上下两表面反射光束叠加时的相位差，除了光程差产生的相位差外，还应附加的相位差。4 对几个光学实验的分析4.1 劳埃德镜实验在一平面镜上方接近于平面镜处放一点光源，直接从点光源发出的光和由平面镜反射的光在空间相遇形成干涉，这就是洛埃镜实验如图n。实验结果表明，当垂直于平面镜的接收屏与平面镜接触时，好似从两个点光源发出的光经过相等的光程到达接触点，而在接触处出现了暗条纹，说明反射光有半波损失。下面分析一下产生半波损失的原因。从实验装置上看，要观测到明显的干涉条纹，要求
11、光源很接近于平面镜所在平面，这时点光源在平面镜上的入射角接近于90，即掠射。根据本文前面的分析可知，当光掠射时，光由光疏媒质到光密媒质的反射中，反射光有半波损失。所以洛埃镜实验验证了半波损失的存在。图n：劳埃德镜装置示意图DMMPSSD4.2 牛顿环实验一般做牛顿环实验如图o时，光是垂直入射的，从反射光观看牛顿环，其中心是暗斑，表明有半波损失。根据本文前面的结论可知，在薄膜上下侧媒介相同的情况之下，上下两表面反射光束叠加时，存在相位突变。实际的实验结果和以上的分析是一致的。图p：白光牛顿环条纹图q：黄光牛顿环条纹图o：牛顿环装置示意图5 结论本文以菲涅耳公式为基本出发点，详细阐述了半波损失现象
12、和应用中的有关问题，可得到以下结论：（1）入射光波在光疏介质中前进，遇到光密介质的分界面时，在掠入射或正入射的两种情况之下，反射光波的振动方向对于入射光波的振动方向几乎相反，将在反射过程中产生半波损失。（2）光波从光密介质进入光疏介质时，正入射或掠入射中反射光不会产生半波损失。（3）入射光波既非正入射也非掠入射，即斜入射时，反射光波的振动方向对于入射光波的振动方向成一定的角度（非180），不会在一条直线之上，则不会存在所谓的半波损失。（4）折射光波之中永远不会产生半波损失。（5）在薄膜上下侧媒介相同的情况之下，上下两表面反射光束叠加时的相位差，除了光程差产生的相位差外，还应附加的相相位差。参考
13、文献1 郭硕鸿. 电动力学M. 北京:高等教育出版社，1979(2006重印)2 姚启钧. 光学教程M. 北京:高等教育出版社，2002(2006重印) 3 郭永康,鲍培谛. 光学教程M. 成都:四川大学出版社，2001.84 赵凯华，钟锡华. 光学M. 北京大学出版社，19845 蔡履中，王成彦，周玉芳. 光学M. 济南:山东大学出版社，2002.86 赵俊卿，蔡传锦. 光波的半波损失现象及其应用探析J. 山东建筑工程学院学报，2005.107 王华英，康山林. 关于半波损失问题的探讨J. 河北建筑科技学院学报，2001.9Fresnel Formula And Half-wave Loss
14、 ZHANG You (Physics and Electronic Engineering Dept. Chongqing Three Gorges University, Wanzhou 404000)Abstract: This paper will develop Fresnel formulae and find out the way of determining the elect vectors direction according to the electromagnetic boundary condition, and then analyze half-wave loss in detail.Key words: Fresnel formula electric vector half-wave loss phase mutation附录根据，式可以得到： 由此可以得到：同理根据，式可以得到： 因此可以得到：附录当时：令 则由： 得到：=所以： 即： 考虑到，对上式进行修正，可得到：其中，表示介质i的折射率，表示介质j的折射率，且。
