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1、第2讲 三角变换02【扩展题例及思想方法】1.已知函数f(x)sin2x+sinxcosx，设(0,)，f()，求sin的值.解：f(x)sin2x+sinxcosx + sin2xcos2x+ sin2x sin(2x+)f()sin(+) sin(+) 由(0,)和sin(+)知+(,) cos(+) sinsin(+)简评：注意角范围对三角比值的影响.2.已知tanx=3tany (0yx0)的最小正周期为.（）求的值；（）求函数f(x)在区间0，上的取值范围.解：（）f(x)=+sin2x=sin2x cos2x +=sin(2x )+因为函数f(x)的最小正周期为,且0，所以=，解得
2、=1.（）由（）得f(x)=sin(2x)+因为0x，所以2x所以sin(2x)1.因此0sin(2x)+，即f(x)的取值范围为0，.5.已知x0，sinx+cosx=，求下列式子的值：sinxcosx； 简解：解法一：由sinx+cosx=平方、整理得 2sinxcosx=； 因为(sinxcosx)2=12sinxcosx=，又因为x0，所以sinxcosx0， 所以sinxcosx= 原式=sinxcosx(2cosxsinx)=()(2)= 解法二：联立方程 消sinx，整理得25cos2x5cosx12=0，解得cosx=或cosx=， 因为x0，所以cosx=，由知sinx=，
3、所以sinxcosx= 原式=sinxcosx(2cosxsinx)=()(2+)=6.函数y=的最大值是_，最小值是_.简析：思路一“分离常数”法 因为y=3=3(1)=3 由sinx 1,1有sinx+21,3，故当sinx=1时，ymax=；当sinx=1时，ymin=4 思路二有界函数法 由y=解得sinx=，据sinx 1,1得11，解得y4,f(x)=的值域为_.简析：思路一：先化简再求值。 因为f(x)=sinxsin2 =sinx(1cosx)=(sinx+cosx)=sin(x+) (1+sinx+cosx0) 由分母1+sinx+cosx0，即sinx+cosx1知(sin
4、x+cosx)，所f(x)1所以f(x) ,1)(1,思路二：换元法，化三角函数表达式为代数表达式，用代数办法求解。设sinx+cosx=t，则t=sin(x+)，所以t,且t1由sinx+cosx=t知2sinxcosx=t21，所以原函数可化为f(x)=(t1)所以f(x) ,1)(1,【巩固强化】1.已知0，sin0 原式cos+sin+cossin2cos0简评：平方关系和半角余弦的恰当运用是化简的关键.6.已知、为锐角，sin，sin，求+2的值解：因、为锐角，由、(0,)+2(0,)由cos(+2)coscos2sinsin2cos(12sin2)2sinsincos +2简评：确
5、定角，要借助角的三角比，选择那个角的三角比很重要；在(0,)上，一般选择余弦，因余弦值与角的对应是单值对应，而正弦则是双值对应.7.求证：cos8sin8cos2(1sin22)证：左式(cos4+sin4)(cos4sin4)(cos2+sin2)22sin2cos2(cos2+sin2)(cos2sin2)(1sin22)cos2右式简评：三角恒等式的证明，本质上就是定向化简，因此，恰当、灵活地运用三角比的各种关系式及特殊值将有利于恒等变形的顺利进行，如“1”的运用、半角倍角的构造、变角变名等.8.化简：解：因12sin2(+)cos2(+)sin，cos()sin，|sin|原式2cos
6、简评：注意角终边位置对|sin|结果的影响，必要时要分象限讨论.9.求证：tan证：因1cos2sin2，1+cos2cos2故左式tan右式简评：灵活运用二倍角余弦是关键.10.设tan1，3sinsin(2+)，求tan(2+2)解：由tan1 k+ (kZ) 2+2k+，2+22k+2故3sinsin(2+) 3sinsin(2k+) 3sincos tantan(2+2)tan(2k+2)cot2 简评：三角比中，特值对特角，熟记一些常用特值特角对应是必要的.同时，还要注意终边相同角的表示与运用.11.化简： (18002700)解：因18002700 900cos0故|cos|cos
7、 |sin|sin又|sincos|sincos故原式sinsin+coscos简评：二倍角正、余弦公式的准确理解与变形形式的灵活掌握至关重要，同时角范围对三角比大小的比较同样重要.12.求证：sin2证：因左式中分母 故左式sincossin2右式简评：切化弦是三角变形中常用的方法.另证：左式cos2 cos2 tancos sinsin2右式13. 已知8cos(2a+b)+5cosb=0，求tan(a+b)tana的值解：2a+b=(a+b)+a，b=(a+b)a，由8cos(a+b)+a+5cos(a+b)a=0得13cos(a+b)cosa=3sin(a+b)sina若cos(a+b
8、)cosa0，则tan(a+b)tana=，若cos(a+b)cosa=0，则tan(a+b)tana无意义14.(2009全国卷理)若x，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 。解:令tanx=t，因为x1，所以y=tan2xtan3x=tan3x=815.(2009全国卷文)已知tan=4,tan=3,则tan(+) =_简析：由题设和两角和正切公式知tan(+)= 16.(2009湖南理)若x(0,)，则2tanx+tan(x)的最小值为 简析：由x(0,)，知tanx0，又tan(x)=，所以tan(x)0，所以2tanx+tan(x)=2tanx+2，当且仅当2tanx=，即ta
9、nx=时取等号，此时所求式子最小值为217.(2009上海卷文)已知函数f(x)=sinx+tanx，项数为27的等差数列an满足an(,)且公差d0,若f(a1)+f(a2)+f(a27)=0，则当k= 时，f(ak)=0。简析：函数f(x)=sinx+tanx在(,)是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称；由等差数列知a1+a27=a2+a26=2a14，由奇函数知f(a1)+f(a27)= f(a2)+f(a26)= f(a3)+f(a25)= =f(a14)=0，所以当k=14时，f(ak)=0。18.(2009年广东文)已知向量=(sinq,2)与=(1,cosq)互相垂直，
10、其中q(0,) （1）求sinq和cosq的值；（2）若5cos(q)=3cos，0，求cos的值简解：因为，所以=sinq2cosq=0，即sinq=2cosq，又因为sin2q+cos2q=1，所以4cos2q+cos2q=1，所以cos2q=，因为q(0,)，所以cosq=，sinq=2cosq=因为5cos(q)=5cosqcos+5sinqsin=cos+2sin=3cos， 所以sin=cos，所以sin2=cos2，即1cos2= cos2，cos2=， 因为0，所以cos=19.(2009北京文)已知函数f(x)=2sin(px)cosx.求f(x)的最小正周期；求f(x)在区
11、间,上的最大值和最小值.简解：本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力f(x)=2sin(px)cosx.=2sinxcosx=sin2x， 函数f(x)的最小正周期为p由x,得 2x,p，sin2x1，f(x)在区间,上的最大值为1，最小值为.20.(2009湖南文)已知向量a=(sinq,cosq2sinq)，b=(1,2).若ab，求tanq的值；若|a|=|b|，0qp，求q的值。 解：因为ab，所以2sinq=cosq2sinq，于是4sinq=cosq，故tanq=；由|a|=|b|知，sin2q+(cosq2s
12、inq)2=5，整理得12sin2q+4sin2q=5，降幂得12sin2q+2(1cos2q)=5，化简得sin2q+cos2q=1，即sin(2q+)=，又0qp，所以2q+，所以2q+=或2q+=，所以q=或q= 法二：由|a|=|b|，得sin2q+(cosq2sinq)2=5 sin2qsinq cosq=1 sinq cosq=cos2q若cosq=0，因0qp，则q=900，若cosq0，则tanq=1，因0qp，则q=1350综上，q=或q=我的大学爱情观目录：一、 大学概念二、 分析爱情健康观三、 爱情观要三思四、 大学需要对爱情要认识和理解五、 总结1、什么是大学爱情：大学
13、是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为
14、自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的
15、！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（一） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知
16、识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（二） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们
17、敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（三） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（四） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力
18、去寻找爱情（五） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（六） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合作能力。总结：男女之间面对恋爱，首先要摆正好自己的心态，树立自尊、自爱、自强、自重应有的品格，千万不要盲目地追求爱，也不宜过急追求爱，要分清自己的条件是否成熟。要树立正确的恋爱观，明确大学的目的，以学习为第一；规划好大学计划，在不影响学习的条件下，要对恋爱认真，专一，相互鼓励，相互学习，共同进步；认真对待恋爱观，做健康的恋爱；总之，我们大学生要树立正确的恋爱观念，让大学的爱情成为青春记忆里最美的风景，而不是终身的遗憾！
