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1、 本科毕业论文题 目：一阶常微分方程的初等解法院 （部）： 理学院专 业： 信息与计算科学班 级： 信计082姓 名： 落在天涯海角边学 号： 2008121270指导教师： 李宗成完成日期： 2012年6月5日目 录摘 要IIIABSTRACTIV1 前 言11.1 选题的背景和意义11.2 本文要解决的问题和所用的方法11.3 成果及意义22 微分方程的基本知识32.1知识脉络图解32.2微分的基本概念43 一阶微分方程的解法73.1线性方程73.2变量分离方程83.3恰当微分方程与积分因子123.4一阶隐式微分方程153.5近似解法194 一阶微分方程解法的应用举例204.1等角轨线21
2、4.2动力学问题234.3电学问题244.4 光学问题264.5 流体混合问题28总 结30谢 辞31参考文献32 摘 要常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要的地位。本文主要通过讨论一阶微分的相关解法问题，讨论的类型有：变量可分离方程、齐次微分方程、积分因子；本文主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并同时例举典型例题加以说明。关键词：一阶常微分方程；变量变换；恰当微分方程；积分因子First-order Differential Equation With The Pirmary Method For NalysisABSTRACTOrdinary differen
3、tial equation is an integral part of the mathematical analysis or basic math, Occupies an important position in the mathematics. In this paper, through the discussion of first-order differential solution, the types of discussion are: Variable separable equation, Homogeneous differential equation, In
4、tegrating factor. This paper summarized the elementary solution of first order differential equations. and make some examples to illustrate.Key Words: First-order differential equation; Tariable transformation; Appropriate differential equation; Integrating factor 1 前 言1.1 选题的背景和意义微分方程差不多是和微积分同时先后产生
5、的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发
6、现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多烦人应用于社会科学的各个领域。常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化
7、为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。1.2 本文要解决的问题和所用的方法本文主要解决了三个问题：（1）一阶微分方程的基本知识和性质；（2）一阶微分方程的解法；（3）一阶微分方程解法的应用举例。一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示。1.3 成果及意义现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也
8、还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。2.微分方程的基本知识本部分主要介绍微分方程的知识和基本概念。2.1知识脉络图解常见几类一阶微分方程的初等解法变量分离法，方程特征变量变换法，齐次方程，令线性方程（常数变易法或公式法）线性齐次方程（分离变量法）伯努利方程令恰当方程凑微分法或公式法利用积分因子将非恰当方程化为恰当方程可以解出（或）的方程一阶隐方程与参数表示不显含（或）的方程2.2微分的基本概念2.2.1常微分方程和偏微分方程微分方程：将自变量、未知函数以及它的导数联系起来的关系式。常微分方程： 只含一个自变量的微分方程。偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的
9、微分方程。方程是常微分方程的例子，是未知函数，仅含一个自变量。方程是偏微分方程的例子，是未知函数，是自变量。微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数。一般的阶微分方程具有形式这里是、的已知函数，而且一定含有；是未知函数，是自变量。2.2.2线性和非线性如果微分方程对于未知函数及它的各阶导数的有理整式的整体而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程。如：是非线性微分方程。一般的阶线性微分方程具有形式这里是的已知函数。2.2.3解和隐式解微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解.即若函数代入式中，使其成为恒等式，称为方程的解。如果关系式决定的隐函数为方程的解，称是方程的隐
10、式解。例如，一阶微分方程有解和；而关系式是方程的隐式解。2.2.4通解和特解通解：具有个独立的任意常数的解称为方程的通解。注：所谓函数含有个独立常数，是指存在的某一邻域，使得行列式 其中。特解：方程满足特定条件的解。 定解问题：求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题。2.2.5积分曲线和方向场一阶微分方程的解是平面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线；而方程的通解对应于平面上的一族曲线，称为方程的积分曲线族；满足初始条件的特解就是通过点的一条积分曲线。 方程的积分曲线上每一点的切线斜率刚好等于函数在这点的值，也就是说，积分曲线的每
11、一点及这点上的切线斜率恒满足方程；反之，如果一条曲线上每点的切线斜率刚好等于函数在这点的值，则这一条曲线就是方程的积分曲线。 设函数的定义域为，在内每一点处，画上一小线段，使其斜率恰好为，将这种带有小线段的区域称为由方程所规定的方向场。 在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.微分方程的等斜线方程为。3.一阶微分方程的解法微分方程的一个主要的问题就是“求解”，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表发出来。但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过相应的方法求解。这里详细介绍几种方法。3.1线性方程3.1.1 伯努利方程形如的方程，称为伯努利微分方程，这里，为的连续函数，是常数。利
12、用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程。事实上，对于，用乘两边，得到，引入变量变换，从而将代入得到，这是线性微分方程，可按常数变易法求得它的通解，然后代回原来的变量，便得到的通解.此外，当时，方程还有解。例 求解微分方程。解 这是一个伯努利微分方程,两边同乘以，得，令，则有，上式是一个一阶非齐次线形微分方程，由常数变易法可求得上式的解为，从而原方程的通解为3.2变量分离方程形如 （1）的方程，称为变量分离方程，分别是，的连续函数，这是一类最简单的一阶函数。如果，我们可将（1）改写成，这样，变量就“分离”开来了。两边积分，得到 （2）这里我们把积分常数明确写出来，而把，分别理解为，的原函数
13、。常数的取值必须保证（2）有意义。把（2）理解为，的隐函数关系式，或的，函数关系式，微分（2）两边，知对任意常数，由（2）所确定的函数关系式满足（1），因为（2）是（1）的通解。因（2）式不适合情形，但如果存在使，则直接验证知也是（1）的解。因此，还必须寻求的解，当不包括在方程的通解（2）中时，必须补上特解。例 求解方程。解 当时，将变量分离，得，两边积分，得，则有，即，因当显然也是所求方程的解，且包含于上式，故所求方程的通解为，其中为任意常数。3.2.1 可化为变量分离方程的类型一阶线性微分方程， （1）其中，在考虑的区间上是的连续函数，若，（1）变为， （2）称为一阶齐次线性微分方程。若，
14、（1）称为一阶非齐次线性微分方程。变量分离方程，易求得它的通解为，这里是任意常数。有些方程本不是可分离变量微分方程的类型，但经过变量变换可化为分离变量的微分方程。可分为三种情况来讨论：的情形这时有，因此，只要作变换，则方程就转化为变量分离方程。的情形这时方程可写为，令，则方程化为，这是变量分离方程。及，不全为零的情形因为方程右端分子，分母都是，的一次多项式，因此代表平面上两条相交的直线，设交点为，若令则化为从而变为因此，求解上述变量分离方程，最后代回原方程,即可得到原方程的解。例 求解方程。解 方程可化为，令，将代入上式，可得，易知是上式的一个解，从而为原方程的一个解。当时，分离变量得，两边积
15、分得，故可得原方程的通解为例 求解方程。解 令，则有，代入所求方程，整理可得，由变量分离得，故所求方程的解为3.3恰当微分方程与积分因子3.3.1 恰当微分方程我们可以将一阶方程写成微分的形式，或把，平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程， （1）这里假设，在某矩形域内是，的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。这样的形式有时候便于探求方程的通解。如果方程的左端恰好是某个二元函数的全微分，即，则称（1）为恰当微分方程。例 求解微分方程。解 这里，从而，可知所求的微分方程为恰当微分方程，则有，对积分得，再对求导，则得，又有，则可得，将代入得，所以原方程的通解为3.3.2 积分因子的定义与充要条
16、件恰当微分方程可以通过积分求出它的通解。因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义。积分因子就是为了解决这个问题引进的概念。如果存在连续可微函数，使得，为一恰当微分方程，即存在函数，使，则称为方程的积分因子。函数为积分因子的充要条件是，即假设原方程存在只与有关的积分因子，则，则为原方程的积分因子的充要条件是，即仅是关于的函数。此时可求得原方程的一个积分因子为同样有只与有关的积分因子的充要条件是是仅为的函数，此时可求得方程的一个积分因子为例 求解方程。解 在此式中，因，所以该方程不是恰当方程，因不是的函数，但是的函数，所以为方程的积分因子，方程乘以积分因子，得，该式为恰当微分方程
17、，通过以上介绍的求恰当微分方程的方法得原方程的通解为3.4一阶隐式微分方程3.4.1 可以解出或的方程（1）形如的方程的解法，这里假设有连续的偏导数。引进参数，则变为将两边对求导数，并以代入，得到方程是关于，的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是可按前面介绍的方法求出它的解。若已求得的通解的形式为将它代入，得到这就是得通解。若求得的通解的形式为则得到的参数形式的通解为其中是参数，使任意常数。若求得的通解的形式为则得到的参数形式的通解其中是参数，为任意常数。（2）形如的方程，假定函数有连续的偏导数。引进参数，则变为，将两边对求导数，然后以代入，得到方程是关于，的一阶微分方程，但它的导数已解出，于
18、是可按前面介绍的方法求解，设求得通解为，则得的通解为3.4.2 不显含或的方程（1）形如的方程的解法。记，令，这里为参数，因为，以代入上式得两边积分，得到于是，得到方程的参数形式的通解为这里为任意常数。（2）形如的方程，其解法同方程的求解方法类似。记，引入参数，将方程表示为适当的数形式由关系式，得，由此得，于是为方程的参数形式的通解，其中为任意常数。此外，不难验证，若有实根，则也是方程的解。例 求微分方程的解。解 令，则，将上式两边对求导，整理并积分可得，所以方程的通解为3.5近似解法3.5.1 逐次迭代法逐次迭代法是利用证明初始值问题，解的存在唯一性时所构造的Picard迭代序列的前边若干项
19、来近似初值问题的解，其近似序列为，当初始值问题满足解的存在唯一性定理的条件时，上面的迭代序列在一个区间一致收敛到它的解。故当较大时，就是初始值问题解的一个较好的近似。3.5.2 Euler折线法折线法的基本思想是利用微分中值定理对的解的函数进行近似。由于是可微函数，故，其中，是介于和之间的一个值，当比较小时，和相差不大，故用去代替上式中的，就得到了的近似值当知道以后，再用类似的方法来求在点的近似值。这样就得到了解在点的近似值，从几何上看，Euler折线法就是在局部范围内用切线上的值去代替解曲线上的值，如图。而当前一个点值得到后，将其作为计算下一个点的起始值，重复这个过程，就得到了一系列离散点上
20、解的近似值。可以证明，当有一定的光滑性时，随着的增大（或的减小），与的误差会逐渐变小。Euler折线法的计算量较小，但误差较大。后来人们对Euler折线法进行了改进，得到新的折线法计算公式为，新的折线法的计算量较大，但精确度高。4.一阶微分方程解法的应用举例常微分方程的产生和发展源于实际问题的需要，同时它也成为解决实际问题的有力工具。我们有能力用常微分方程去解决某些实际问题。一般来说，分三个步骤：建立方程、求解方程和分析问题。通过已求得的解的性质，分析实际问题。实际问题的信息数学模型抽象、简化数学模型解答答求解实际问题验证解释4.1等角轨线我们求曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相
21、交成给定的角度。这样的曲线称为已知曲线的等角轨线。当所给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线。等角轨线在很多学科中都有应用。例 求直线束的等角轨线和正交轨线。解 首先求直线族的微分方程。将对求导，得，由消去，就得到的微分方程当时，等角轨线的微分方程为或及即积分后得到或如果写成极坐标形式，不难看出等角轨线为对数螺线，如图。如果，可知正交轨线的微分方程为即或故正交轨线为同心圆族，如图。4.2动力学问题动力学是微分方程最早期的源泉之一，动力学的基本定律是牛顿第二定律，这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式。它的右端明显地含有加速度，是位移对时间的二阶导数。列出微分方程的关键在于找到外力和位移及其
22、对时间的导数速度的关系。只要找到这个关系，就可以由列出微分方程了。例 物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用，在速度不太大的情况下（低于音速的4/5），空气阻力可看做与速度的平方成正比。试证明在这种情况下，落体存在极限速度。解 设物体质量为，空气阻力系数为，又设在时刻物体的下落速度为，于是在时刻物体所受的合外力为，这里建立的坐标系，使得重力方向向下，与运动方向一致，空气阻力向上，与运动方向相反。从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程因为是自由落体，所以有得积分后得或解出，得当时，有据测定，其中为与物体形状有关的常数，为介质密度，为物体在地面上的投影面积。人们正是根据，来为跳伞者设计
23、安全的降落伞的直径大小。4.3电学问题 例 设有如图的电路，其中为交流电源的电动势；为电阻，当电流为时，它产生的电压降为；为电感，它产生电压降，为一常数。今设时刻时，电路的电流为，求电流与时间的关系。解 根据基尔霍夫定律，有如下关系整理后，得到关于的线性方程式即要求解初值问题由线性微分方程求解公式有积分后得到因为，故当时间充分大时，第一项趋于零，只剩下第二项。第二项经化简后，成为其中4.4 光学问题例 抛物线的光学性质由于对称性，考虑在过旋转轴的一个平面上的轮廓线，如图。以旋转轴为轴，光源放在原点。设的方程为。由点发出的光线经镜面发射后平行于轴。设为上任一点，光线经反射后为。为在点的切线，为在
24、点的法线，根据光线的反射定律，有从而，因为的斜率为，的斜率为。所以由正切公式，有，从而即得到微分方程由这方程中解出，得到齐次方程令，即，有代入上式得到分离变量后得令上式变为。积分后得或。两端平方得化简后得以代入，得。这是一族以原点为焦点的抛物线。4.5 流体混合问题某容器中装有浓度为的含某种物质的液体升，从其中取出升后，加入浓度为的液体升，要求混合后的液体的浓度以及物质的含量。这类问题用初等代数就可以解决了。例 如图，容器内装有含物质的流体。设时刻时，流体的体积为，物质的质量为，以速度放出流体，而同时又以速度注入浓度为的流体。试求时刻时容器中物质的质量及流体的浓度。用微元法来列方程，设在时刻，
25、容器内物质的质量为，浓度为，经过时间后，容器内物质的质量增加了。于是有关系式因为代入上式有或这是一个线性方程。求物质在时刻的质量的问题就归结为求方程满足初值条件的解的问题。总 结本文详细介绍了常微分方程的解法，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过相应的方法求解。本文主要介绍一阶微分方程的一些可解类型和相应的求解方法，这些方法是在微分方程发展的早起由牛顿等发现的。本文也介绍了求解一阶微分方程的方法和应用一阶微分方程解决实际问题的例子。关于常微分方程的定义和性质，前人已经做出了大量的研究和贡献，得到了大量的成果，这里我只是进一步总结和丰富
26、前人的研究成果。由于在一些课本中对常微分方程的应用涉及得很少，所以本文也详细介绍了常微分方程在实际中的几个具有代表性的方面的应用。通过这几个月论文撰写，我学到了许多以前没有接触到的有常微分方程的知识，拓宽了我的视野。同时，撰写过程中我遇到了很多困难，也解决了很多困难，培养了我积极认真的工作学习的态度，这无疑会给我今后的工作学习带来极大的帮助。谢 辞感谢我的指导老师李宗成，从课题的选择到项目的最终完成，李老师在工作繁忙情况下给我指导、修改、充实和完善。期间，李老师给我提供了很多有参考价值的资料，并提出了不少意见，始终给予我细心的指导和不懈的支持，在这里我衷心感谢在写论文的这段日子里老师付出的辛苦
27、和所提出的宝贵意见，有了李老师的不辞辛苦，才有了本文的成形。在此谨向李老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。参考文献1胡建伟，汤怀民.微分方程数值方法.北京：科学出版社，1999.2尤秉礼.常微分方程补充教程.北京：人民教育出版社，1981. 3丁同仁，李承治.常微分方程.北京：高等教育出版社，1985.4张芷芬，丁同仁，黄文灶等.微分方程定性理论.北京：科学出版社，1995.5卡姆克 E.常微分方程手册.张鸿林译.北京：科学出版社，1977.6许淞庆.常微分方程稳定性理论.上海：上海科技出版社，1964.7美塞蒙斯 G F.微分方程.张理京译.北京：人民教育出版社，1981.8美WILLIAN F
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