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1、天文学报第 40 卷 第 3 期1999 年 8 月Vol . 40 , No . 3Aug. , 1999AC TA AS TRONOM ICA SIN ICAL agrange 三角平动点邻近的相空间结构周礼勇孙义燧周济林( 南京大学天文系 南京 210093)摘要构造描述一类特殊平面圆型限制性三体问题的一个映射 ,并用这个映射讨论了该类三体问题 L agrange 三角平动点邻近的相空间结构以及它的稳定性 ,发现当两个主天体的质量比 0 . 02165 时 ,除去 = 0 . 01440 的例外情况 ,三角平动点被不变曲线包围 ,是稳定 的 ,这与理论结果相符 ,由此可解释特罗央群和希腊
2、群小行星的稳定存在 . 该结果也验证了映射方法的可靠性和有效性.关键词Lagrange 平动点 , 小行星 , 映射方法引言1三体运动最简单的模型是圆型限制性三体问题. 人们在理论上研究太阳系中小行星的运动时 ,经常近似地采用这个模型 ,其中把太阳和木星作为两个主天体 ,这是因为木星 轨道靠近小行星轨道 ,木星的质量又远远大于其他行星质量 ,而且太阳 - 木星轨道的偏心 率很小1 . 此模型的运动方程存在 L agrange 三角平动解 ,而实际上此处恰好存在着两群小行星 ,即特罗央群和希腊群 . 所以研究圆型限制性三体问题三角平动解的稳定性有着实 际意义. 众所周知 ,用映射方法研究动力系统
3、的长期演化在理论上比较简单 ,在数值探索 时能够节省大量的计算时间 ,并且减少计算过程中的误差积累 . 本文研究两个主天体质量 比很小的平面圆型限制性三体问题 ,利用 Hadjidemet rio u2 提出的方法构造了一个映射 ,通过该映射对三角平衡解邻近的相空间结构以及它的稳定性作了讨论 ,并与理论结果作 了比较.2运动方程设质量为 m 的木星和质量为 M 的太阳围绕它们的质心以圆型轨道绕转 ,质量很小的第三体即小行星在太阳 - 木星轨道确定的平面上运动 . 小行星的运动由圆型限制性三 体问题的方程描述3 ,4 .我们定义质量 、长度 、时间的单位如下 :31/ 2G ( M + m )a
4、 S - J /M + m = 1 ,aS - J= 1 ,= 1 ,1998 - 07 - 03 收到原稿 ,1998 - 09 - 09 收到修改稿其中 aS - J 指木星 - 太阳相对运动轨道的半长径. 在这种单位制下 , 万有引力常数 G = 1 ,木星 - 太阳相对运动角速度 = 1 , 令 = m / ( M + m ) , 则木星质量为 , 太阳质量为1 - , 质心与太阳之间的距离为 s1 = , 质心与木星之间的距离为 s2 = 1 - , 我们建立以 太阳 - 木星的质心为原点 , X 轴位于它们两者连线上 ,以角速度 = 1 旋转的旋转参考系XO Y ,如图 1 所示.
5、 此时 , 描述小行星运动的 哈密顿函数写成极坐标形式为 :H = H0 + H1 .( 1)其中 ,P2 1 - 1P2H0 =+ -P ,( 2)rr22r图 1 旋转坐标系Fig. 1 The rotaing f rame1 - 1 - H1 =-rr1r2= 1 - - 1 - -rr2 + 2 + 2 rco s1r2 + ( 1 - ) 2 - 2 r ( 1 - ) co sco s-2= r2+ O.( 3)r2 + 1 -2 rco s(3) 式中 r1 和 r2 如图 1 所示分别代表小行星与太阳 、木星之间的距离 , 是如图所示的角度. 因为 是小量 ( 对于太阳 - 木
6、星系统 , 量级为 10 - 3 ) , 所以 ( 1) 式中的 H1 可以认为 是摄动项 ; 而 H0 则是描述小行星围绕主天体质心作开普勒运动的未受摄的哈密顿函数. 我们引入未受摄哈密顿函数的作用量 角变量 I r 、I、r 、 ,这些新的共轭变量与原共轭变量 Pr 、P、r 、 之间的关系是 : 1 - ( 4)I r = -P +,2+ 2 ( 1 - )PP2-rr2r( 5)I = P ,( 1 - ) 2 r2 1 2r = -I + 2 ( 1 - ) r -( I r + I) 2I + Ir I) 2 -( I r +( 1 - ) rarcsin+ ,( 6)2I) 2
7、-I2( I r +I)( I r +2 ( I r + I) ( 1 - ) r - I = + r - arcsin( 7).I) 2 -I2( 1 - ) r( I r +而新变量 I r 、I、r 、 与小行星轨道根数之间的关系为 :( 1 - ) aI r =e2,( 8)1 - 1 -( 1 - ) a ( 1 - e2 ) ,( 9)( 10)I =r = M ,288天文学报40 卷 = + M( 11)- t .其中 , a 、e 分别是轨道的半长径和偏心率 , M 是小行星轨道的平近点角 , 是近点角距 , t是时间 (由坐标旋转引入) . 由 (8) 、(9) 式 ,我们
8、得到 ,2I r + Ia =,( 12)1 - I2e =1 -( 13)2 .I r +I利用椭圆轨道根数之间的关系 (保留至 e 的一次幂) 5 , 结合 ( 8) -数 ( 1) 式表示成新变量 I r 、I、r 、 的函数为 :( 11) 式 , 可将哈密顿函cos21 - -+ H = -I -+2I r + I 2a22cos + r2e+ O (e ) . ( 14)a2a2 + 1 -2 acos 其中 a 、e 如 ( 12) 、( 13) 式所示是 I r 、I 的函数.由上述哈密顿函数 ,可以写出小行星运动的正则方程 :5 H15 H15 H5 H I r = -= -
9、 5 , I = -= - 5 ,55r5 H ( 1 - ) 2r5 H15 H ( 1 - ) 25 H1 r+ 5 I = 5 I- 1 + 5 I .= 5 I=,=r ( I r + I) 3I) 3( I r +r构造映射3为了保证构造的映射能反映原动力系统的主要性质 ,在构造映射时要求映射的相空间与真实系统的相空间的拓扑性质在定性和定量两方面保持一致 . Hadjidemet rio u2 为此 提出了将哈密顿系统简化为映射的 3 个原则 : (1) 映射应是保面积的 ; (2) 映射应与真实动力系统具有同样的不动点 ; (3) 不动点具有相同的线性稳定性指标 . 在这些原则下
10、,文 2提出了构造一个映射的具体方法和步聚.保留 H1 至 e0 , 并记 I = I r + I ,哈密顿函数和正则方程为 :co s( 1 - ) 21-H = H0 + H1 = -+ ( 15)I -,42 I 2II 4 -2 I2co s + 15 H I r = -= 0 ,( 16)5r2( I 3 -5 H ( 1 - ) 24co sIco s) r( 17)= 5 I=-+,I3sinI5( I4 -2 I2co s + 1) 3rI 2 sin 5 H I = -( 18)=-,5I4( I4 - 2 I2co s+ 1) 3 = 5 Hr= - 1 .( 19)5 I
11、- a2cosr + acos - r + asinr sin( ) 31a2 + 1 - 2 acos首先寻找上述方程两种特殊的解 . 令 I = 0 , = 0 , 代入 ( 18) 、( 19) 式得到两种情( 1 - ) 24c0 2I - 1 = 0 , 得 解 I r = I 0 ,况 : ( 1 ) sin = 0 ,co s = c0 = 1 ,-+rI 3I5( I 2 - c0 ) 2I = I0 , r = c 常数 , = k. 由 ( 11) 式可知哈密顿函数保留至 e0 时 , = = k, 这种解对应着直线平动点 .sin 0 , 由 ( 18) 、( 19) 式
12、得到 2 I2co s = 1 以及I7 = I4 - 3, 得到另外一种解( 2)I r = I0 , I = I0 , =0 0 22 ( I + I r)c 常数 , co s = 1/. 同样地由 ( 11) 式可知 , = rr/ 3 , 同时 r1 = r2 , 这种解对应着三角平动点 .我们感兴趣的是 (2) 的情形. 我们希望能够找到一个映射 ,这个映射能反映运动方程 在三角平动点附近的动力学行为 . 按照 Hadjidemet rio u 的方法 ,生成函数 F 取为 :0 n +10 n +1nI n +1 nH0 ( I r , I+ H1 ( I r , I,) + )
13、( 20)F =,其中 = 2/ c , H0 、H1 即 ( 15) 式中的 H0 、H1 , 但将其中的 I r 、I、 置换成 I 0 、I n + 1 、n .r由这个生成函数导出的映射满足上面所提的 3 个原则性要求 , 在三角平动点附近具有与运动方程同样的拓扑性质 . 重新记 I = I0 + I n + 1 ,则可得到如下映射 :r 1-I n +1nn= I + sin( 21)I4,( I 4 - 2 I 2co sn + 1) 24co sn( 1 - ) 2- 1 -+n +1n= + ( 22).I3I5( I4 - 2 I2co sn + 1) 2这个映射定义在相空间
14、中的一个截面 r = 0 , I = I 0 上 , 映射的不动点对应着运动方程r r rI = I 0的三角平动点 . 对开普勒运动 (= 0) , 这个映射是截面上一个映向自身的半径为的圆 , 每映射一次转过角度 = ( 2/ c) ( 1/ I3 - 1) .4映射的数值结果映射 (21) 、(22) 式的 ,对太阳 - 木星 - 小行星三体系统 ,其值取 = 9 . 53 10 - 4 . 我们取 I0 = 0 , 并按情形 ( 2) 中的公式给出 = c 和的值 , 这对应小行星以圆轨道在三角平rr动点附近运动 . 此时对映射的数值计算给出如图 2 的结果 . 从图中可以看出 , 三
15、角平动点的周围存在着不变曲线 , 这证明了三角平动点的稳定性 . 而在椭圆不变曲线之间 , 还存在 着由破裂的不变曲线形成的岛屿 , 这说明了在三角平动点的附近有着复杂的动力学行为 6 . 需要说明的是 , 图 2 只给出了相图中 ( 0 ,) 的部分 , 另外 (, 2) 的部分与 此对称 ;对于小行星的情况 ,它们分别对应着小行星的特罗央群和希腊群 . 以下的相图都只作出与图 2 类似的部分 ,不再说明 .我们将映射 ( 21) 、( 22) 式作为一般动力系统研究 , 考察随参数 变化平动点的稳定性 . 仍如上面所作的一样 , 取 I 0 = 0 , 并按情形 ( 2) 中的公式给出 0
16、 , 但这次我们对 的值rr作一次扫描 . 结果如图 3 所示. 图 3 中 ( a - i ) 9 个图是取相同初值和不同的 值得到的 .从图 3 中我们可以看到 , 随着 的变化 , 相图也发生着变化 . 当 0 . 024 之后 ,没有发现新的不 变曲线.图 4 a 相图 = 0 . 0216512Fig. 4a Surface of sectio n = 0 . 0216512图 3 的结果表明 ,如果把 当作参数并且 0 . 02165 时 ,三角平动点附近出现新的稳定不动点和混沌现象 . 继续增 大到 0 . 024 之后 ,新出现的曲线也逐渐消失 ,不再有稳定的不动点 .以上我们
17、只是讨论了 I 0 = 0 的情形 ,这只对应小天体的初始轨道是圆轨道的情形 . 倘r若我们取 I0 0 的值 ( 对应小天体初始轨道有略大于 0 的偏心率 ,本文所取的模型要求rI 00r 的值较小) 时 ,映射计算的结果表明 ,当 I r 0 . 019 (对应初始轨道偏心率 e 0 . 14) 时 ,292天文学报40 卷相图的结构和它随着 值变化的性质与 I0 = 0 的情形基本相同.r图 4 b 相图= 0 . 0216512Fig. 4b Surface of sectio n = 0 . 0216512结论5我们利用映射方法研究一类特殊的平面圆型限制性三体问题 ,讨论了对不同 值
18、三角平动点的稳定性以及平动点附近运动的性质 . 发现当两个主天体质量比 0 . 02165 时 ,三角平动点失去稳定性 ,在它的附近出现混沌现象 . 数值计算的结果表明映射方法在处理这种 长期问题时所具有的可靠性.参考文献12Co usins F W. The Solar System. New Yo r k : P ICA Press , 1972 . 73 - 111Hadjidemet rio u J D. Mapping Mo dels fo r Hamilto nian Systems wit h Applicatio n to Reso nant Asteroid Motio n
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21、lag , 1971 , 250 - 25734567STRUCTURES OF THE P HASE SPACE NEA R L A GRA NGESTRIA NGUL A R EQUIL IBRI UM POI NTSZHOU Li2Yo ngSU N Yi2SuiZHOU J i2Lin( Depa rt ment of A st ronom y , N a nji n g U ni versi t y , N a nji n g 210093)ABSTRACT In t he f ramewo r k of rest ricted circular 32bo dy p ro blem
22、( Sun2J upiter2asteroid) ,t he stabilit y of L agranges t riangular equilibrium point s is st udied. Fro m t he Hamilto nian equatio ns , w hich describe t he evolutio n of t he asteroid , a symplectic mapping is co nst ructed near L agranges t riangular equilibrium point s. Being required t hat t h
23、e p hase space of it hast he same topolo gy as t hat of t he Poincare map of t he o riginal Hamilto nian system , t his mapping mo del is guaranteed to be realistic and reliable . It co ntains all t he main p roperties oft he o riginal dynamical system. By using t his mapping met ho d , bot h t he s
24、t ruct ures of p hase space near L agranges t riangular equilibrium point s in rest ricted circular 32bo dy p ro blem andt he stabilit y of t his solutio n are discussed. N umerical result s indicate t hat t he t riangular equilibrium point s are stable , p rovided t he mass2ratio of t he t wo p rim
25、aries , , is smaller t han 0 . 02165 , o nly excep t t he case = 0 . 01440 . This matches t he t heo retical result s. When applied in Sun2J upiter2asteroid system , t his result can be used to explain t he stabilit y of asteroids in t he Trojan Gro up and t he Greek Gro up . This wo r k also show s t he reliabilityand efficiency of t he mapping met ho d in dealing wit h such p ro blems.Key words L agranges equilibrium point , asteroid , mapping met ho d
