偏微分方程的行波解毕业设计论文.doc

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1、偏微分方程的行波解目录前言4一、孤立波与孤立子4二、直接积分法42.1.Burgers方程4三、混合指数方法63.1.混合指数方法63.2.修正的KdV方程8四、双曲正切函数展开方法104.1.双曲正切函数展开方法的步骤104.2.KdV方程11五、一些方程的行波解12总结15致谢：16参考文献17摘要：该论文介绍了两种求解非线性偏微分方程的行波解的方法，对这些方法的求解步骤进行整理，并举例说明它们在非线性偏微分方程求解中的应用。而且利用行波变换对一些非线性偏微分方程进行求解。关键词：非线性偏微分方程，行波解，孤立波。Summary:This paper introduces two meth

2、ods for solving nonlinear partial differential equation of travelling wave solutions. Some examples are given to explain these methods. Some nonlinear partial differential equations are solved using these methods.Keywords: nonlinear partial differential equations, travelling wave solutions, solitary

3、 wave.前言在线性理论日臻完善的今天，非线性科学已经蓬勃发展于各个研究领域而成为研究焦点。因此在研究过程中将无法避免地碰到各种各样的非线性方程，而对于这些非线性方程的求解无疑成为非线性科学研究的关键所在，也是非线性研究的难点所在。不同于线性方程，由于线性叠加原理的失效，还没有办法给出本质上非线性的非线性系统的一般解。虽然一类犄角能用一种或几种方法得到，但一种方法通常不能得到各种类型的特解。因此，求解非线性系统没有统一的方法。通过众多科学家的努力，人们已经建立和发展了不少求解非线性系统的有效方法，特别是针对其中一些被归为可积的非线性系统。常用的方法有反形变映射法、截断展开方法、混合指数法、函

4、数展开法等等。由于求解非线性偏微分方程比较困难，因此先将其化为常微分方程，求其特解和孤立解，在非线性偏微分方程求解中较为常见。一、 孤立波与孤立子历史上对孤立波的最早报道可以追述到1834年。那年一次偶然的机会，英国科学家罗素观察到了从爱丁堡格拉斯哥的运河中汪水面上形成的保持 原有形状和速度不变圆而光滑、轮廓分明的孤立的水波。但是真正引入“孤立子”这一概念并导致世界范围内对孤立子理论研究产生热潮的是Kruskal和Zabusky在1965年发表的一篇文章，他们从连续统一体的观点来考虑FPU问题的过程中提出了孤立波（子）的本质。当两个孤立波碰撞之后保持形状不变，那么就称这类孤立波为孤立子（或简称

5、孤子）。考虑1+1维非线性发展方程， （1-1）这里和是自变量，分别表示空间与时间坐标，是，的函数。是关于未知函数及其导数的适当函数。若方程（1-1）的解仅以的形式依赖于和，其中是常数（表示波速），则称为行波解。当时，是右行波，当时，是左行波。若方程（1-1）的行波解是局部化的，则称为孤立波解。二、 直接积分法求发展方程的行波解，一般先将偏微分方程化为常微分方程来求解。这种方法已广为应用。许多间单但非常重要的非线性发展方程的行波解，特别是孤立波解可以通过直接积分获得。2.1.Burgers方程在非线性发展方程中，Burgers方程是一个很有代表性的耗散波方程。它是最简单的非线性扩散波动的模型，

6、起源于湍流理论的研究。Burgers方程可以描述许多物理现象，如黏性介质中的声波，具有有限电导的磁流波，充满流体的黏弹性管中的波等，其一般形式为 （2-1-1）其中为耗散系数。可将方程作以下形式的替换： （2-1-2）其中为常数，表示波速，为任意常数。将（2-1-2）代入方程（2-1-1），两边关于积分，得 （2-1-3）其中，为积分常数，由（2-1-3）有 （2-1-4）考虑方程右端，设 （2-1-5）有两个实根和，其中这样，方程（2-1-4）可以写成 （2-1-6）对方程（2-1-6）积分，求得其中为任意常数。返回原来的变量，可得方程（2-1-1）的一个精确解 （2-1-7）特别地，若取，

7、（2-1-7）化为 （2-1-8）其中，均为任意常数。三、 混合指数方法3.1.混合指数方法混合指数方法的基本原理是将非线性发展方程的孤立波解表示为该方程中线性部分的实指数解的级数形式，其实质是将非线性发展方程的孤立波解的求解问题化为递推方程的求解，从而将非线性发展方程孤立波解的求解问题归结为组合计算问题。考虑非线性发展方程， （3-1-1）其中为未知函数及其各阶偏导数的多项式。用混合指数法求方程（3-1-1）的孤立波解的步骤如下：第一步、引入行波变换 （3-1-2）其中为常数，表示波速，为任意常数，不妨取为零。将变换（3-1-2）代入方程（3-1-1）并关于变量尽可能积分，得 （3-1-3）

8、其中。第二步、为获得方程（3-1-3）一般形式的孤波解，引入变换 （3-1-4）其中为待定常数。将上述变换代入方程（3-1-3），得 （3-1-5）第三步、对方程（3-1-5）进行奇性分析，判别是否需要对其作非线性变换，即将代入方程（3-1-5），平衡方程中最高阶导数项与最高阶非线性项，计算出的值，通常为正整数；若为有理数，可令来变换方程（3-1-5）；若为负数可假设。第四步、假定方程（3-1-5）具有如下形式的解 （3-1-6）式中为待定常系数，是方程（3-1-5）中相应线性方程的实指数解（若（3-1-5）无线性项，则为（3-1-5）式中最低次非线性项构成的方程的解）。第五步、将（3-1-6

9、）代入方程（3-1-5），利用扩展的Cauchy乘积公式，令的各项次幂系数为零，可得到关于系数的递推关系式 （3-1-7）其中为的多项式，分别为方程（3-1-5）中所有非线性项关于的最高次幂和最低次幂，分别为方程（3-1-5）中最高非线性项和最低阶非线性项的系数，分别为方程（3-1-5）中最高阶非线性项和最低阶非线性项中各阶导数的阶数。实践中可令为的多项式，若满足（3-1-7），则对任意非零常数，也满足（3-1-7）。因此通常可设其中为待定常数，任意。如果方程（3-1-5）有形如（3-1-6）的解，则可通过平衡现在方程（3-1-5）中的线性最高阶导数项和非线性项来确定（3-1-8）中的参数，即

10、 （3-1-9）其中，为多项式的次数。第六步、将（3-1-8）式代入（3-1-7）式，整理后可得到关于的次多项式方程。其系数必须为零，由此得到一组关于，的代数方程组，求解代数方程组确定出和。第七步、记则方程（3-1-5）的形式幂级数解为 （3-1-10）利用递推关系式 （3-1-11）可给出方程（3-1-5）的闭合形式解，返回原来的变量最终可获得方程（3-1-1）的精确孤立波解。3.2.修正的KdV方程修正的Korteweg-de Vries方程 （3-2-1）其中为自由参数。首先对方程作行波变换 （3-2-2）其中为常数，表示波速。经变换（3-2-2），方程（3-2-1）化作关于积一次分，得

11、 （3-2-3）引入变换 （3-2-4）并将它代入方程（3-2-3），得 （3-2-5）要求方程（3-2-5）为齐次的，故满足分两种情况讨论（1）方程（3-2-5）线性部分的解为其中。假设方程（3-2-5）的解为 （3-2-6）引入常数因子。将（3-2-6）代入方程（3-2-5），利用级数乘积的Cauchy公式，可得为任意常数，为零，满足 （3-2-7）归纳求解方程（3-2-7），可得 （3-2-8）将（3-2-8）代入（3-2-6），得 （3-2-9）选取，由（3-2-2）（3-2-4）和（3-2-9），可得mKdV方程的一个右传播解其中，为任意正常数。（2）此时，方程（3-2-5）线性部分

12、的解仍为，但作（3-2-6）同样的假设，得知依然为任意常数，系数满足 （3-2-10）求解方程（3-2-10），得由此归纳得 （3-2-11）将（3-2-11）代入（3-2-6）得 （3-2-12）选取由（3-2-2），（3-2-4）和（3-2-12），可获得mKdV方程的一个左传播解其中，为任意负常数。四、 双曲正切函数展开方法4.1.双曲正切函数展开方法的步骤为简单起见，下面以一个未知函数，两个自变量的方程为例介绍双曲正切函数展开方法，对多个自变量的方程或方程组情形，求解步骤完全类似。考虑1+1维的非线性演化方程 （4-1-1）其中是其变元的多项式。方程（4-1-1）描述孤立波的动态演化过

13、程。对给定的，如果方程（4-1-1）有双曲正切函数多项式形式的孤立波解，则根据以下步骤必可求得这些解。第一步、孤立波是一种特殊的行波，因此首先对方程（4-1-1）作行波变换 （4-1-2）其中为待定常数，为波数，为波速，为任意常数，通过导数代换可将方程（4-1-1）化作关于变量的常微分方程 （4-1-3）第二步、假设方程（4-1-3）具有双曲正切函数多项式形式的解，即 （4-1-4）其中系数为待定参数。由于双曲正切函数满足关系故的导数依然为的多项式，若以记关于的多项式的最高幂次，则的最高幂次为而的最高幂次为将（4-1-4）代入方程（4-1-3），平衡方程（4-1-9）中线性最高阶导数项与最高阶

14、非线性项的幂次，可以确定参数，称为孤立波的阶数。第三步、将阶数确定的（4-1-4）代入方程（4-1-3），合并的同次幂系数并取为零，即得关于待定参数，的非线性代数方程组。第四步、利用吴文俊消元法求解非线性代数方程组，确定待定参数，和。返回原来的变量最终可以给出方程（4-1-1）的孤立波解 （4-1-5）4.2.KdV方程考虑Korteweg-de Vries方程 （4-2-1）作行波变换其中为待定常数，为波数，为波速，为任意常数。方程（4-2-1）化为 （4-2-2）将（4-1-4）代入方程（4-2-2），使其最高阶导数项和非线性项的幂次相平衡，即，由此确定出，于是可设方程（4-2-2）的解为

15、 （4-2-3）将（4-2-3）代入（4-2-2），合并同次幂并令各次幂的系数为零，消去非零因子后得到确定，和的代数方程组令，由吴文俊消元方法可求得其特征列为由于的初式均为非零常数，故的零点集与的零点集相同，计算，得于是求得方程（4-2-1）的孤立波解为五、 一些方程的行波解5.1.方程 （5-1-1）的行波解。作以下行波替换 （5-1-2）其中为常数，表示波速。方程（5-1-1）化作待添加的隐藏文字内容1其中，对上式关于积分一次，得 （5-1-3）这里作一次替换 （5-1-4）则，故方程（5-1-3）可化为即 （5-1-5）其中。令， （5-1-6）则，方程（5-1-5）化作 （5-1-7）

16、对方程（5-1-7）积分得其中为任意常数，由（5-1-6），（5-1-4）得 （5-1-8）为关于的常微分方程。对方程（5-1-8）求积分可得，还原为原来的变量，可得方程的行波解其中，为任意常数。5.2方程 （5-2-1）的行波解。作行波代换 （5-2-2）则方程（5-2-1）化作 （5-2-3）其中，对方程（5-2-3）关于积分一次得 （5-2-4）其中为任意常数。这里作一次替换 （5-2-5）则，故方程（5-2-4）可化为，即 （5-2-6）其中。令， （5-2-7）则，方程（5-2-6）化作 （5-2-7）对方程（5-2-7）积分可得 （5-2-8）其中，为任意常数。由（5-2-7），（

17、5-2-5），方程（5-2-8）即可化作 （5-2-9）即由的任意性，可适当的选取的值使得方程（5-2-9）化为 （5-2-10）对方程（5-2-10）求积分可得转化为原来的变量，可得到方程（5-2-1）的行波解其中为任意常数。总结不像线性方程那样有统一的求解方法，对非线性偏微分方程的求解一般都比较困难，所以通常将非线性偏微分方程化为常微分方程求其特解和孤立解在非线性系统的研究中比较常见。对非线性偏微分方程先进行行波约化，将非线性偏微份方程化为常微分方程，再求方程的行波解和孤立波解。这样可以把求解过程相对简化，不过求出的解一般不是方程的一般解。参考文献1 李志斌. 非线性数学物理方程的行波解. 北京: 科学出版社, 2007年1月. 3-992 楼森岳, 唐晓艳. 非线性数学物理方法. 北京: 科学出版社, 2006年12月. 29-433 郭玉翠. 非线性偏微分方程引论. 北京: 清华大学出版社, 2008年3月.4 李明奇. 数学物理方程. 成都: 电子科技大学出版社, 2006年4月.5 罗琳. 几类非线性方程的行波解. 湖北民族学院学报, 2005, 23 (1).