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1、2006 年 4 月COL L E GE MA T H EMA T ICSAp r . 2006关于定积分的演变与发展高秋菊刘宏苏国强(中国人民武装警察部队学院 基础部 ,廊坊 065000) 摘 要 积分的学习一直是高等数学中的重点和难点 . 本文通过对积分发展过程的介绍 ,使读者对这段历史有很明确的认识 ,尤其是积分的分割近似思想 ,这样可以进一步帮助读者理解积分的概念掌握积分的 计算 . 关键词 流数法 ;分割近似 ;极限 中图分类号 O1721 2 文献标识码 C 文章编号 167221454 (2006) 0220159204微积分的创立是数学史上一个具有划时代意义的创举 ,也是人类
2、文明的一个伟大成果. 正如恩格斯评价的那样 “: 在一切理论成就中 ,未必再有什么象 17 世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的 最高胜利了 . ”1积分发展的历史过程定积分的发展大致可以分为三个阶段 :古希腊数学的准备阶段 ,17 世纪的创立阶段以及 19 世纪的完成阶段 .11 准备阶段主要包括 17 世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索 、积累工作. 这个时期随着古 希腊灿烂文化的发展 ,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力 . 古希腊数学的发展史大致分为三个时期 :(1) 初期的古希腊数学并不是单独的一个分支 ,而是与天文 、哲学密不可分的 ,其研究对象以几何 学为主.
3、安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题 ,是近代极限理论的雏形. 公元前 5 世纪以德谟克 利特为代表的“原子论”学派 ,用原子论的观点解释数学 ,他认为 :线段 、面积和立体都是由一些不可再分 的原子构成的 ,而计算面积 、体积就是将这些“原子”累加起来 ,这种不甚严格的推理方法已带有古朴的 积分思想 . 然后他利用“原子论”求出了圆锥的体积 ,即 :圆锥体积等于具有同底同高的圆柱体积的三分 之一.(2) 第二个时期 :古希腊的数学逐渐脱离哲学和天文学 ,成为独立的科学 ,出现了三大数学家欧几 里德 、阿基米德和阿波罗尼奥斯. 其中在公元前 3 世纪数学家兼物理学家阿基米德将穷竭法与原子论
4、观 点结合起来 ,获得了许多重要结果 ,例如他在抛物线图形求积法和论螺线中 ,利用穷竭法 ,借助于几 何直观 ,求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一周围成的区域的面积 ,其思想方法是分割求和 , 逐次逼近 . 虽然当时还没有极限的概念 ,不承认无限 ,但他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽 .积分的基本思想 ,是将所求的量分割成若干细小的部分 ,找出某种关系之后 ,再把这些细小的部分 用便于计算的形式积累起来 ,最后求出未知量的值 . 这种“化整为零”再“积零为整”的方法在阿基米德的 著作中已得到体现.(3) 古希腊数学的第三个时期 :主要是在三角学和代数方面取得的发展 ,随着亚历山大城被
5、罗马人占领 ,希腊数学至此告一段落 .公元 5 14 世纪 ,被认为是欧洲的“黑暗时期”,这个时期数学的发展较为缓慢 . 直到 14 世纪末 ,欧洲资本主义萌芽 ,人们才继续了数学方面的研究 . 整个 16 世纪 ,积分思想一直围绕着“求积问题”发展 , 它包括两个方面 :一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积 ,一个是静力学中计算物体重心和液体 压力. 德国天文学家 、数学家开普勒在他的名著测量酒桶体积的新科学一书中 ,认为给定的几何图形 都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的 ,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能 得到所求的面积或体积 ,他是第一个在求积中运用无穷小方法的数
6、学家 . 17 世纪中叶 ,法国数学家费尔 玛 、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质的观点求积 ,更加接近现代的求定积分的方法 . 可见 ,利 用“分割求和”及无穷小的方法 ,已被当时的数学家普遍采用 .21 创立阶段主要包括 17 世纪下半叶牛顿 、莱布尼兹的积分概念的创立和 18 世纪积分概念的发展. 牛顿和莱布 尼兹几乎是同时且相互独立地进入了微积分的大门 . 17 世纪数学的发展 、笛卡儿坐标系的建立将变量 引入数学以及函数思想 、极限思想的发展 ,都为牛顿 、莱布尼兹对微积分的进一步研究创造了条件 .牛顿从 1664 年开始研究微积分 ,主要贡献反映在 1671 年 、1676
7、 年发表的流数术与无穷级数、曲线求积术两篇论文和 1687 年的自然哲学之数学原理中 . 早期的微积分常称为“无穷小分析”,其 原因在于微积分建立在无穷小的概念之上 ,牛顿和莱布尼兹概莫能外 ,当时所谓的“无穷小”并不是我们 现在说的“以零为极限的变量”,而是含糊不清的 ,从牛顿的“流数法”中可见一斑 .“流数法”的主要思想 是把连续变动的量称为“流量”,流量的微小改变称为“瞬”即“无穷小量”,将这些变量的变化率称为“流 数”. 用小点来表示流数 ,如 x , y 表示变量 x , y 对时间的流数. 他指出 :曲线 f ( x , y) = 0 在某给定点处切线的斜率就是 y 的流数与 x
8、流数之比 , 从而导出 y 对 x 的导数就是 y 的流数与 x 流数之比 , 即相当于现在的 d y = y.d x x在此基础上 , 牛顿又提出了反问题 :给定表示 x 与流数之比 y 之间的方程 , 求函数 y = f ( x) , 即反微x分 . 他讨论了如何借助反微分来计算面积 . 这是历史上第一次以明显的形式给出了的 d A = y , 其中 A 表d x示曲线 y = f ( x) ( a x b) 下的面积 , 这个定理给出了计算面积方法的根据 , 使得计算趋于一般化 、系b统化. 用现在的符号表示就是面积 A = a y d x .1669 年牛顿在运用无穷多项的分析学中叙述
9、了计算曲线 y = f ( x ) 下的面积的一般方法 . 例如 : m + nn假定有一条曲线 , 其下面的面积为 Z , 并且 Z =a x, Z 是由曲线和 x 轴 y 轴及 x 处的纵坐标围成nm + n的面积.当 x 获得一个增量瞬 o 时 , 有新坐标 x + o , 并产生以面积的增 量 ( 图 1) , 则 m + nnnZ + o y =a ( x + o) .m + n运用二项式定理于右边 , 得到一个无穷级数 : m + n m + nnn- 1x + ) .nnZ + o y =a ( x+m + nm + n m m + n m + n消去 Z 再除以 o , 得到
10、y = a x . 即 :若面积 Z =nn, 则构成面a xn图 1 m m m + nn积的曲线为 y = a x n , 反之若曲线是 y = a x n , 则它下面的面积是 Z =na x.m + n牛顿第一次清楚地说明了求导数问题和求面积问题之间的互逆关系 , 这就是说牛顿确定的积分实际上是不定积分.莱布尼兹从 1673 年开始研究微积分问题 , 他在数学笔记中指出 :求曲线的切线依赖于纵坐标与 横坐标的差值之比 ( 当这些差值变成无穷小时) ; 求积依赖于在横坐标的无限小区间上纵坐标之和或无限小矩形之和 , 并且莱布尼兹开始认识到了求和与求差运算的可逆性 , 他用 d y 表示曲
11、线上相邻点的纵坐标之差 , 把d y 表示为所有这些差的和 , y = d y , 明确指出 “: ”意味着和 , d 意味着差 , 从和差的互 逆关系可知“”和 d 的互逆关系 . 这样莱布尼兹明确指出了 :作为求和过程的积分是微分之逆 , 实际上 也就是今天的定积分 .牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法 , 但是 , 他们留下了大量的事情要后人去解决 , 首先是微 积分的主要内容的扩展 , 其次是微积分还缺少逻辑基础.18 世纪 , 伯努利 、欧拉 、拉格朗日 、克雷尔 、达朗贝尔 、马克劳林等数学家 , 随着对函数和极限研究的 深入 , 把定积分概念推广到二重积分 、三重积分 , 也对
12、微积分基础作了深刻的研究 , 并且无穷级数 、微分 方程 、变分法等微积分分支学科也初具规模 , 但微积分的逻辑基础问题还没有得到圆满解决 .31 完成阶段19 世纪的前 20 年 , 微积分的逻辑基础仍然不够完善 , 如一般的函数概念尚未建立 , 微积分的许多 基本概念 , 如无穷小 、无穷大 、导数 、微分 、积分仍无精确定义等 . 从 19 世纪 20 年代至 19 世纪末 , 经过波 尔查诺 、柯西 、维尔斯特拉斯 、戴德金等数学家的努力 , 微积分的理论基础基本完成 , 波尔查诺通过极限 给出了函数连续的概念及导数的严格定义 , 柯西完全摆脱了微积分对几何和物理意义的依赖 , 引入了
13、严 格的分析表述和理论 , 形成了现代体系 , 他继续并发展了前人已有的积分作为微分和的思想 , 用极限给n出了积分的定义 , 指出“”不能理解为一个和式 , 而是和式 S n = f ( x k - 1 ) ( x k - x k - 1 ) . 当| x k - x k - 1 |k = 1无限减小时 , S n 能“最终达到的某个极限值”S , 这个 S 就是函数 f ( x) 在区间 x0 , x 上的定积分 . 他认为x人们在应用定积分之前 , 必须首先确定积分的存在性 , 柯西定义了函数 F ( x ) = f ( t) d t , 证明了当x0f ( x) 在 x0 , x 上连
14、续时 , F ( x) 在 x0 , x 上连续 、可导 , 且 F( x ) = f ( x ) . 继之柯西证明了 f ( x ) 的全部x原函数彼此只相差一 个常 数 , 因 此 , 他 把 不 定 积 分 写 成 : f ( x ) d x = f ( t) d t + C , 并 由 此 推 出 了x0x牛顿 莱布尼兹公式x f x d x = F x - F( )( )()x0.0至此 , 微积分基本定理给出了严格证明和最确切的表示形式 . 魏尔斯特拉斯将柯西关于极限的定性描述 , 改成定量刻划 , 即“2”语言. 完成了分析算术化的工作 . 最后戴德金定义了无理数 , 揭示出实数
15、的 连续性 , 完成了微积分的基本理论工作 .2积分概念的应用及推广随着科学的日益发展 , 积分概念也趋于逻辑化 、严密化 , 形成我们现在使用的概念 . 定积分的概念中体现了分割 、近似 、求和的极限思想 . 其中分割既是将 a , b 任意地分成 n 个小区间 ,x1 ,x2 , ,x i ,x n 其中 x i 表 示 第 I 个 小 区 间 的 长 度 , 在 每 个 小 区 间 上 任 取 一 点 i 作 f(i )x i 并 求 和f (i ) x i , 这体现了求和的思想 , 当区间的最大长度趋于零时 , 和式的极限若存在即为 f ( x ) 在 a , b上的定积分 .利用定
16、积分可以解决很多实际问题 , 例如求由曲线围成的平面图形的面积 ; 求由曲线绕坐标轴旋转 所得旋转体的体积 ; 平行截面面积为已知的立体的体积 ; 求曲线的弧长以及物理中的功 、水压力等等 .b同时 , a f x d x 的积分形式也可以推广 :( )( 1) 可以把积分区间 a , b推广到无限区间上 , 如 a , + ) 等 , 或者把函数推广到无界函数 , 也就是广义积分 .( 2) 可以把积分区间 a , b推广到一个平面区域 , 被积函数为二元函数 , 那么积分就是二重积分 ; 同 样当被积函数成为三元函数 、积分区域变成空间区域时就是三重积分.( 3) 还可以将积分范围推广为一
17、段曲线弧或一片曲面 , 即曲线积分和曲面积分 .无论积分推广到何种形式 , 它始终体现了这种分割的极限思想 , 比如二重积分的概念 :设 f ( x , y) 在有界闭区域 D 上有界 ,( 1) 分割 :将 D 任意分成 n 个小区域i 并表示面积 ;( 2) 近似 :在每个 i 上任取一点 (i ,i ) 作乘积 f (i ,i ) i ;f (i ,i )i 的 极 限 存 在 , 即 为( 3) 求和取极 限 : 若 各 区 域 直 径 的 最 大 值 趋 于 零 时 , 和 式f ( x , y) 在 D 上的二重积分 . 由此我们发现定积分与重积分在概念的本质上是一致的 , 同样三
18、重积分亦是如此.此外 , 不定积分与定积分之间关系为 :如果函数 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间 a , b 上的一个原函b数 , 则a f x d x = F b -( )( )F a , 这是牛顿 莱布尼兹公式 . 这个公式进一步揭示了定积分与被积函数( )的原函数或不定积分之间的联系 . 它表明 :一个连续函数在区间 a , b 上的定积分等于它的任一原函数在区间 a , b上的增量. 这就给求解定积分提供了一个简便而有效的计算方法.3结束语从数学的发展过程可以知道 , 人们首先研究的是定积分 , 虽然说是由于计算面积和体积问题使人们对定积分产生关注 , 进而去建立和完善它的概念 、寻找它的求法 , 产生牛顿 莱布尼兹公式 , 但为了便于 更好地计算定积分 , 高等数学从不定积分入手讲述原函数 F ( x) 的各种方法 , 然后再通过牛顿 莱布尼 兹公式计算定积分 , 最后介绍定积分的各种应用 . 这样 , 教材就把一个复杂的问题简化为三个简单的问 题 . 在学习时 , 每一个问题搞懂了 , 积分理论也就学会了. 参考文献 1 李迪 . 中外数学史教程 M . 福州 :福建教育出版社 ,1993 . 2 同济大学数学教研室 . 高等数学 (第四版) M . 北京 :高等教育出版社 ,1996 .
