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1、课 程 小 论 文论文名称： 关于的系数与解的研究 所属课程: 常 微 分 方 程 授课教师: * 学院(系): * 姓 名: * 学号: *姓 名: * 学号: *姓 名: * 学号: *2010年1月摘要本文就关于方程的解的相关性质与其系数的关系进行了研究，选取了4道例题作为相关题型的代表。正文关于的系数与解的研究方程是在解高阶线性微分方程中经常遇到的一类方程，而关于其系数与解的题型也非常多。本文独辟蹊径，并不是给定系数，去计算其解的性质，而是针对各种对解的要求，来计算其系数。从这种观点来思考问题或许会对今后解这类题型有所帮助。例当和取何值时，方程的所有解在整条数轴上是有界的？解首先求出特
2、征方程的根。有。其次研究所有解的表达式的各种情形。 如果，则通解是 . （1） 如果，则通解形如 （2）从（1）式得，无论取什么值（实数或复数），所有解都是无界的。事实上，如果，则函数当时无界；如果，则函数当时无界；如果，则函数也显然无界。 现在研究用公式（2）表示的解。设或，则解（2）当时都无界。设或，则（2）式的不是所有解当时有界。最后，如果，即如果，（），则对于所有的，所有的解都是有界的。事实上，在这种情形，所有的解都可表示为有界函数，的任一线性组合的形式。 总之，为使所有的解有界，我们有条件 ，（），从而求出，其中和是不同的任意实数。特别地，如果是实参数，即，则所有的解当（）时有界。例
3、当和取何值时，方程的解当时趋向于0？解利用例中解的表达式（1）和（2），在情形（1），如果，则当时所有的解趋向于0。在情形（2），如果同时有和，则当时所有的解趋向于0。特别地，如果和是实参数，则在情形（1）中，当（），时所有的解趋向于0。这些条件（，）对情形（2）也是有用的。实际上，如果，则根或之一不依赖于，且是正的，即当时，或。如果，则方程有解，它不趋向于0。因此必须使是正数。设，则诸根之一（或）的实部一定是非负的，因此当时，或不趋向于0。再研究同时有和的情形。如果，则两个根都是负的，因此当时。如果，则根，是复共轭的，并且有负实部，因此当时。例当和取何值时，方程的解在点的无限集合上变为0？解
4、从例中方程解的表达式（1）和（2）出发。显然，公式（1）不确定振荡解，对某个a，此解在点x的无限集合上变为0.考虑解（2）。如果和是实根，则众所周知，两个指数的和只能在有限个点x上变为0，设即，则可见在这种情形下，对于任意的数值和，所有的解在点的无限集合变为0，其中例当和取何值时，方程的解当时满足关系式？解我们应该求出参数a和b这样的值，使得对于所有值和（例中方程的解（1）和（2）中的任意常数），满足条件 ()如果，则根据（1）式有显然，对于任意的和，只有在条件即时，这个关系式才满足。在的情况下，条件（1）具有形式对于任意的和，此式等价于关系式 和 (2)由此得，最后这两个关系式只有在不等式和
5、同时成立时才有可能。如果a和b是实参数，则最后两个不等式可以具体地写出。设，则和是实根，如果，则也有。因此有两个条件， (3)此时，关系式（2）成立。同时解不等式（3），得出关系式（1）成立的条件，设，则，如果，即，则关系式（2）成立。因此，如果a和b是实参数，则当和，即时，题设条件中所指的关系式成立。看了以上4个例题我们可以发现这类题型解题步骤相似，理清基础概念之后解这类题并不是非常难。我们把结论当条件用，把它们改成证明题来做之后发现，之前的那些做法依然可以沿用，所以弄明白这些题目的做法，并举一反三对学习非常有帮助。通过这次小论文的写作，我们认为我们从中受益良多。由于时间仓促，如有不当之处敬请指教。参考资料 1.常微分方程教程，丁同仁编，高等教育出版社。 2.常微分方程习题集，费利波夫著，上海科学技术出版社。
