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1、控制原理补充讲义拉氏变换 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L拉氏变换符号；s-复变量； F(s)为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。f(t)原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。2)当时，M，a为实常数。2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 拉氏反变换符号关于拉氏及变换的
2、计算方法，常用的有：查拉氏变换表；部分分式展开法。二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。注意：六大性质一定要记住1单位阶跃函数 2单位脉冲函数 3单位斜坡函数 4指数函数5正弦函数sinwt由欧拉公式： 所以， 6余弦函数coswt 其它的可见下表：拉氏变换对照表序号F(s)f(t)序号F(s)f(t)111121(t)123t13414515616717 8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1
3、(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当tA(s),可化为多项式+真分式的形式。下面分两种情况，研究分式展开法。1、F(s)无重极点的情况此时，F(s)总能展开成下面的部分分式之和：其中，分子为待定系数。例：求F(s)的拉氏变换解一：解二：所以例2 若p1,p2 为共轭复数，相应的系数k1 ，k2也是共轭复数，故只需求出一个即可。2、F(s)有重极点的情况设F(s)有r 个重极点p1,其余极点均不相同，则例：求的拉氏反变换所以：2-2 系统的数学模型一、概述为
4、了分析、研究系统的动态特性，一般情况下，首先要建立系统的数学模型。1、数学模型的概念我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型称建模，只有得到较为准确的数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。动态特性 控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点：即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，因此，系统的
5、状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。这样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。例如，电路中电容上的电压是一个状态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温度T0变到T，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一定的时间。建立控制系统数学模型的方法有1）分析法对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。建立系统数学模型的几个步骤： 建立物理模型。 列写原始方
6、程。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。2）实验法是根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。这种用实验数据建立数学模型的方法也称为系统辩识。数学模型的逼近1、线性系统和非线性系统1) 线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；例：，其中,a,b,c,d均为常数。如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：系统
7、在几个外力作用下所产生的响应等于各个外加作用单独作用时的响应之和。可加性：齐次性：或2) 非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。例：就是非线性系统。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。即在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非线性关系，如：间隙、饱合、死区、干磨擦特性等。非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，可进行如下外理：线性化忽略非线性因素用非线性系统的分析方法来处理。3）线性系统和非线性系统的判别设某系统的微分方程如下：若方程的系数ai,bj都既不是xo(t)和xi(t)及它们的导数的函数，又不是时间的函数，则此方程是线性定常的，此系统
8、为线性定常系统。若ai,bj是时间的函数，则该方程是线性时变的，此系统称为线性时变系统。若ai,bj中只要有一个系数依赖于xo(t)和xi(t)或它们的导数，或者在微分方程中出现t r 其它函数形式，该方程为非线性的。例： 线定常非线性判断下列微分方程表达的系统是线性系统还是非线性系统？a: (线定常)b: (非线性)c: （线时变）式中：u:输入信号 y:输出信号 ai(t)：时变系统3、本课程涉及的数学模型形式时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性二、系统微分方程的建立1、建立微分方程的一般步骤1)分析系统工作原理和信号传递变换的过程
9、，确定系统和各元件的输入、输出量；2)从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；3)消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；4)标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排2、机械系统微分方程的列写机械系统中部件的运动有直线和转动两种。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。列写其微分方程通常用达朗贝尔原理。即：作用于每一个质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系。用公式表示：1）直线运动（机械平移系统）式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微
10、分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。2）转动系统3、电网络系统电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于0（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。2）尔霍夫电压定律电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。电网络系统中三人基本原件是：电阻、电感、电容电阻：电容：电感：例：小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。从动态性能看，在相同
11、形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。三、传递函数微分方程建立后，就可对其求解，得出输出量的运动规律，从而对系统进行分析与研究。但微分方程求解繁琐，且从其本身很难分析系统的动态特性，但若对微分方程进行拉氏变换，即得到代数方程，使求解简化，又便于分析研究系统的动态特性，更直观地表示出
12、系统中各变量间的相互关系。传递函数就是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。1、传递函数的基本定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初始条件：t0时，输入量及其各阶导数均为0；输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0；传递函数的一般形式：设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：式中，nm，当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：此式表示了输入到输出之间信息的传递关系，称G(s)为系统的传递函数。传递函数的主要特点有：a: 传递函数是复变量s的有理
13、真分式函数，mn，且所具有复变量函数的所有性质。b: G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。C: G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。d: 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定，可有可无。e: 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。f: 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输
14、入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。2、传递函数的零点和极点pi称为G(s)的极点，zi称为G(s)的零点。3、典型环节的传递函数环节：具有某种确定信
15、息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成，控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等。1、比例环节（放大环节）：输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t) 拉氏变换为：Xo(s)=KXi(s)xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；K比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量与输入量之比。比例环节的传递函数为：例:求图示一齿轮传动副的传递函数, 分别为输入轴及输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮副无传动间隙,
16、且传动系统刚性无穷大时,为理想状态).因为：其拉换变换：2、惯性环节（非周期环节）此环节与比例环节相比，不能立即复现输出，而需要一定的时间。说此环节具有“惯性”，这是因为其中含有储能元件K与阻能元件C的原因。惯性大小由T来决定。3、微分环节这是因为当输入量为阶跃函数时，输出在理论上将是一个幅值为无穷大而时间宽度为0的脉冲。这实际上是不可能的。因此微分环节必须与其它环节同时存在。例：图示为一电网络系统：4、积分环节例：图示为一电网络系统，其中i为输入，u为输出，则5、振荡环节是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，其运动方程为：6、延迟环节（也
17、称传输滞后环节）：其输出滞后输入时间，但不失真地反映输入，延迟环节一般与其它环节共存，不单独存在。延迟环节与惯性环节的区别：惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；延迟环节从输入开始之初，在0 时间内,没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。例：图示带钢轧制过程四、方框图及动态系统的构成1、方框图系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。1）方框图的结构要素 信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标
18、记信号的时间函数或象函数。 信号引出点（线）表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 函数方框（环节）方框代表一个环节，箭头代表输入输出。函数方框具有运算功能，即：X2(s)=G(s)X1(s) 求和点（比较点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。用符号及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。注意：求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。2）用方框图表示系统的优点： 只要依据
19、信号的流向，将各环节的方框连接起来，就很容易地组成整个系统的方框图。简便，直观 通过系统框图，可揭示和评价每一个环节对系统的影响。2、动态系统的构成系统中各环节之间的联接主要有以下三种：1）串联联接各环节的传递函数一个个顺序联接起来称为串联。特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。式中，n为相串联的环节数。负载效应：若一元件的输出受到其后一元件存在的影响时，这种影响称为负载效应。2）并联联接凡是几个环节的输入相同，输出相加减的联接方式，就称为并联联接。其特点是各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和。结论：并
20、联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。即：，式中，n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。3）反馈联接其中，E(s)误差信号 B(s)反馈信号称为闭环传递函数，相应的，将反馈信号与误差信号之比称为开环传递函数。4）干扰作用下的闭环系统图示为干扰作用下的闭环系统。当输入量和干扰量同时作用于线性系统时，可对每个量分别进行处理。然后将输出量叠加得到总输出量。干扰作用下：输入作用下：几个基本概念：(1) 前向通路传递函数 假设N(s)=0打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。(2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer
21、Function假设N(s)=0主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。(3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。(4) 闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。推导：因为右边移过来整理得即 *(5) 误差传递函数 假设N(s)=0误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。将代入上式，消去G(s)即得：(6) 输出对扰动的传递函数假设R(s)=0输出对扰动的结构图由上图可得：(7) 误差对扰动的传递函数假设R(s
22、)=0误差对扰动的结构图由上图可得：线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。3、方框图的简化法则为了研究方便，常对方框图作一些变换，使方框图简化。在简化过程中，应遵守两条基本原则：前向通道的传递函数保持不变 各反馈回路的传递函数保持不变由方框图求系统传递函数的基本思路是：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。例：求下列所示系统的传递函数则系统的传递函数为：五、信号流图及梅逊公式方块图是一种很
23、有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。1、信号流图及其术语信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 节点表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。节点用“”表示。 支路连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。 输入节点（源节点）只有输出的节点，代表系统的输
24、入变量。 输出节点（阱节点、汇点）只有输入的节点，代表系统的输出变量。 混合节点既有输入又有输出的节点。 通路沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。 前向通路从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益。 回路起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益。 不接触回路相互间没有任何公共节点的回路。例：根据方框图绘制信号流图2、梅逊公式式中 T: 系统总增益（总传递函数）n: 前向通路数tn: 第n条前向通路总增益信号流图特征式.其中：所有不同回路增益乘积之和；所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；所有任意m个不接触回路增益乘积之和。: 为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的值，称为第n条前向通路特征式的余因子。例：利用梅逊公式求图示系统的传递函数。解：前向通道：回路：两两互不接触回路：传递函数：
