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1、 分类号 编 号 2013010715毕业论文 题 目 微分中值定理及其应用 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 班 级 学 号 研究类型 应用研究 指导教师 提交日期 2013年5月18日 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日论文指导教师签名： 年 月 日微分中值定理及其应用 摘 要 本文探讨了微分中值定理之间内在
2、的联系、几何意义上的联系。通过经典实例，系统地给出了微分中值定理在证明不等式、求极限、证明某些不等式、讨论方程根的存在性、积分估值、级数收敛性等方面的广泛应用，有利于后续工作者的学习与参考。关键词 中值定理；联系；应用Differential mean value theorem and its applicationLi Jiqiang(School of mathematics and statistics, Tianshui Normal University, 741000)Abstract This paper discusses the relationship between t
3、he differential mean value theorem, the geometric meaning of intrinsic relation on. The classic example, systematically presents the differential mean value theorem in proving inequality, limit, prove some inequalities, discuss the existing widely used, integral estimation, series convergence equati
4、on root, learning and reference for subsequent workers.Key words Mean value theorem；connection；apply.目 录0.引言11.预备知识22.微分中值定理的内在联系3 2.1三个中值定理之间的联系3 2.2几何意义上的相互联系43.微分中值定理的应用4 3.1 利用几何意义解题6 3.2证明不等式和求极限7 3.3证明某些等式问题8 3.4讨论方程根的问题10 3.5积分估值11 3.6级数收敛性124.结语13参考文献 14 . 微分中值定理及其应用0.引言 微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分
5、析中占有重要地位,是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具.它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,微分中值定理公式架起了沟通函数与导数之间的桥梁,函数的许多重要性质如单调性、极值点、凹凸性等均可由函数增量与自变量增量间的关系来表述.由于函数在一点的导数是局部性质,只反映函数在这点近旁的性质,而实际研究中又常常要用函数全局性质,于是要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质,这就要利用微分中值定理来达到这个目的.1.预备知识通常所说的微分中值定理包括三个定理:罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。罗尔定理:如果函数满足以下条件：在区间上连续；在内可导；则至少存在一个，使得拉格朗日定
6、理:若函数在区间满足以下条件：在上连续;在内可导;则在中至少存在一个，使得成立.柯西定理:设函数满足以下条件：在闭区间上连续；在区间内可导；与在内不同时为零，且，则存在，使得. 本文将讨论微分中值定理的内在联系,并阐述它的若干应用,如利用微分中值定理的几何意义解题,讨论导函数零点的存在性、研究函数性态、证明不等式和求极限等.2. 微分中值定理的内在联系 我们知道,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理统称为微分中值定理.它们之间有着密切的联系,拉格朗日中值定理是罗尔定理的广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.我们可以利用辅助函数法在罗尔定
7、理基础上推导出另外两个定理,使它们更好地联系起来.2.1三个中值定理之间的联系定理:设在上连续，在上可导，则至少存在一点，使得=0.证明:作辅助函数,令 =由行列式的性质即知.又显然在上连续,在内可导,根据求导法则及罗尔中值定理可知,使得: =0 证毕.特别地:若令就可得到罗尔定理的结论 若令可以得到拉格朗日中值定理 = 若令则有=0，从而可得柯西定理 这样三个中值定理就很好地联系在一起,它特别用到辅助函数法,恰到好处地处理了三者的关系:罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.2.2几何意义上的相互联系 再从几何意义上阐述三个中值定理的联系.首先看Lagrang
8、e定理的几何解释(弦线法).如图1(a),假定可导函数的曲线上任一点的切线为T,将AB固定,让切线的切点从A向B变动,可以发现总存在一条切线T,它与割线AB是平行的,这种平行性质在高等数学中可用Lagrange定理来反映.Lagrange定理建立了函数在上平均变化率(整体性质)，与该函数在内某点处导数(局部性质)之间的联系,即表明函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上某一瞬时变化率,从而为利用导数解决函数整体性质问题提供了可能性.当然,定理只指出了的存在性,没有提供确定值的方法. 在Lagrange定理中,若两端点的纵坐标相等(图1(b),此时在曲线弧AB上至少有一点,在该点处曲线切线
9、是水平的,这正是Rolle定理的几何解释. 在Cauchy中值定理中,如果把图1(c)中的曲线用参数方程表示:,那么弦AB的斜率就是,而就是曲线上某点的切线斜率(图1(c),这样Cauchy定理与Lagrange定理就有着相同的几何解释了：“在曲线上至少存在一条切线平行于端点的连线.”三个微分中值定理正是这一几何特征在不同条件(主要是曲线方程的不同)下分析表述的结果,微分学三个中值定理由一条曲线串在一起,其内在联系清晰了.3.微分中值定理的应用 微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中占有重要地位,是研究函数在某个区间整体性的有力工具.它架起了沟通函数与导数之间的桥梁,应用十分广泛.下面例
10、举几个它在解一些较为典型的数学问题中的应用.3.1 利用几何意义解题 由上面可以得出Lagrange定理几何意义处于特别重要的地位,另外两个定理的几何意义可由它改变条件而得到.下面着重利用Lagrange定理几何意义(通常称弦线法)来进行一些题目的思考和解答.例1 设是可微函数,导函数严格单调递增,若,.求证:对于一切x,有.证明:如图2,作弦线AC,BC,利用拉格朗日定理,，使得导数,分别等于弦AC,BC的斜率,但因为严格单调递增,所以可以得到，即有弦AC的斜率小于BC的斜率. .因而:.根据已知不等式整理得：. 3.2证明不等式和求极限 微分中值定理的核心是拉格朗日中值定理,罗尔定理是它的
11、特例,柯西中值定理是它的推广.由拉格朗日中值定理可得微分中值式:.例2 设，证明：.证明: 对函数在上应用拉格朗日中值定理,得: （3.2.1）设，则，当时，.所以单调递减，从而，即，将它代入（3.2.1）式,故得.例3 已知，试求.解：设，对在区间上用拉格朗日中值定理得: ，.故 ，当时,共有个不等式,将这个不等式相加得: ，即： .从而 .由极限存在准则知 =. 上面求数列极限问题时,主要用到了如辅助函数法、递推法和累加法,关键是辅助函数的建立,所以在应用微分中值定理时,一要仔细观察,适当变换待证求的式子;二要认真分析,巧妙构造辅助函数,抓住这两点一般就可顺利完成任务.3.3证明某些等式问
12、题 利用微分中值定理可以证明某些等式,这类问题多是以“存在使某等式成立”形式出现.例4 设函数在上连续，在内可导，又在内恒不为试证至少存在一点，使.证明：作辅助函数，则在上连续，在上可导，且，又，由罗尔定理,至少有一点，使，即.例5 设，证明存在，使得.证明：因为，故令，显然和在上满足中值定理得条件，应用中值定理知存在，使 . 故结论得证.题型总结:这类问题形式较为简单,考虑向中值定理的形式变形即可.3.4讨论方程根的问题微分中值定理可用来判断根的存在，特别是罗尔定理本身就是关于方程根存在的叙述.例6 对于实数，又.试证：必有三个实根，且指出它们存在的区间.证明：因为在上连续、可导,且对于区间
13、分别应用罗尔定理知使又为三次方程，其仅有三个根，故在内各有一实根.例7 为多项式的二重根的充要条件是同为与的根.证明：必要性 设为的二重根，则是多项式，于是故充分性 若是、的根，则有多项式，使两边求导有故即是的根，则从而即是的二重根.3.5积分估值例8 设在上连续,且试证：证明：若不等式显然成立. 若使得，在及上分别用拉格朗日中值定理有从而.再利用，即得所证.3.6级数收敛性例9 证正项级数收敛.证明：作辅助函数则.当时，在上用中值定理，有于是 由收敛，即得所证.4.结语 微分中值定理架起了沟通函数与导数之间的桥梁,可用于计算、证明、判定等,灵活性较大,应用中值定理解题时一般要遵循以下三个基本
14、步骤:.根据所给问题的特点,确定或构造辅助函数与及相应的区间验证与在上满足中值定理的条件;应用中值定理及已知条件解答问题.其中步骤是关键,通常也是难点所在;步骤b则比较容易;步骤c是综合运用能力的考验. 以上仅是微分中值定理应用的一部分内容,随着研究的深入,将会得到更多有用的结论,微分中值定理必将会发挥更大的作用.参考文献朱智和.微分中值定理在解题中的若干应用J.绍兴文理学报.2009,29(10):113-115.华东师范大学数学系.数学分析(上册)M.北京:高等教育出版社,2001:118-125.王宝艳.微分中值定理的应用J.雁北师范学院学报,2004,21(20)59-61.杨鸿忠，李丽.微分中值定理的应用(二）J.2012，28(02)144-145.杨鸿忠.微分中值定理的应用(一)J.2011，27(08)144-145，李阳,郝佳.微分中值定理的延伸及应用J.2011.13(01)7-8.李德本，杨旭.倪宝汉数学分析方法及例题M.长春:吉林教育出版社，1989 .陆子芬.高等数学解析大全M.沈阳:辽宁科技出版社,1991.
