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1、抽象函数习题1.若函数的定义域为,则函数的定义域为( )A. B. C. D.2.函数的定义域为0，3,则的定义域为( ) A. 0,9 B.0,8 C.-2,-11,2 D.1,23若 A102 B99 C101 D1004定义R上的函数满足：（ ） A B2 C4 D65已知函数的定义域为R，且对任意实数，都有，则是（ ） A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D奇偶性无法确定6已知是定义在R上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为T,则( ) A.0 B. C. D.T7. 设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）(A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数8
2、.定义在区间（-1，1）上的减函数满足：。若恒成立，则实数的取值范围是_.9定义在区间-2,2上的函数满足：，且在0,2上为增函数。若恒成立，则实数的取值范围是_.10.已知函数是定义在(0,+)上的增函数,对正实数,都有:成立.则不等式的解集是_.11.已知是定义在R上的偶函数,且在是增函数,则不等式的解集是_.12已知函数是定义在（-，3上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。13已知函数当时，恒有.(1)求证: 是奇函数;(2)若.14.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;(3)若,求数列的前项和.15.已知定义
3、域为R的函数满足.(1)若(2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.16.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, 0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.17.函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;(3)若且,求证:.18.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减;(3)设A=,B=,若=,试确定的取值范围.19.已知函数是定义在R上的增函数,设F.(1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称
4、图形.20.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.21函数对于x0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。22设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论练习九 抽象函数参考答案1.C 2. C 3.C 4.B 5.A 6.A 7.D 8.,解:由得,得9. ;解:由得,则10.；解：令，则，则.函数是定义在(0,+)上的增函数,由得，不等式
5、的解集为。11.解:由已知.12. 解：等价于13.（1）证明：令，得 令，则 是奇函数。（2） 又14.（1）解：令，则令，则 （2）证明：令，则， 令，则 是奇函数。（3）当时，令，则 故，所以，故15.解：(1)对任意，函数满足，且 ，=f(a)=a(2) 对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得对任意，有上式中，令，则，故若，则，则，但方程有两个不相同的实根与题设茅盾，故若，则，则，此时方程有两个相等的实根，即有且仅有一个实数,使得16.（1）解：令，则 （2）数列是以为首项,1为公差的等差数列,故=(3)任取,则 =函数是R上的单调增函数.17.(1)解: 对任意,有0, 令得,(2
6、)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3) 由（1）（2）知，而18. (1)证明:令,则当时,故,当时,当时,则(2)证明: 任取,则,0,故0是R上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为N(),则,故把代入F得, =-函数=的图象关于点(成中心对称图形.20.(1)解:为R上的奇函数, 对任意都有,令则=0(2)证明: 为R上的奇函数, 对任意都有,的图象关于直线对称, 对任意都有, 用代得,即是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，当时，图象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x21.(1)证明：令，则，故（2），令，则， 成立的x的取值范围是。22解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.
