数值计算方法 练习题.doc

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1、数值计算方法 练习题习题一 1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； 2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过 ，问各近似值分别应取几位有效数字？ 显示答案 3. 设 均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。 （1） ； （2） ； （3） 显示答案 4. 计算 ，取 ，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？ （1） ； （2） ； （3） （4） 显示答案 5. 序列 满足递推关系式 若 （三位有效数字），计算 时误差有多大？

2、这个计算过程稳定吗？显示 6. 求方程 的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用 。显7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。 （1） ； （2） （3） ； （4） 显 8. 设 ，求证： （1） （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。9.设x0,x*的相对误差为，求f(x)=ln x的误差限。10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。11.下列公式如何才比较准确？（1）（2）12.近似数x*=0.0310,是位有数数字。13.计算取，利用式计算误差最小。 四个选项：习题二 1. 已知 ，

3、求 的二次值多项式。显示答案 2. 令 求 的一次插值多项式，并估计插值误差。显示答案 3. 给出函数 的数表，分别用线性插值与二次插值求 的近似值，并估计截断误差。0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736显示答4. 设 ，试利用拉格朗日余项定理写出以 为节点的三次插值多项式。显示答案 5. 已知 ，求 及 的值。显示答案 6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算 和 的近似值。X1.6151.6341.7021.8281.921F (x)2.414502.464592.652713.030353.340667. 已知函

4、数 的如下函数值表，解答下列问题 （1）试列出相应的差分表； （2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。X0.00.10.20.30.40.5f (x)1.001.321.682.082.523.00显示答案 8. 下表为概率积分 的数据表，试问： （1） 时，积分 （2） 为何值时，积分 ？X0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.51166839. 利用 在 各点的数据（取五位有效数字），求方程 在0.3和0.4之间的根的近似值。10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。 表10x01y01y3911. 依据数表11中数据

5、，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。表11X012Y023y01 12. 在 上给出 的等距节点函数表，用分段线性插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问函数表的步长h应怎样选取？显示答案 13. 将区间 分成n等分，求 在 上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。显示答案显示答案14、给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限15、在-4x4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?16、若，求和17、若互异，求的值，这里pn+1.18、求证19、已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算

6、f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.20、给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.21. 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足22. 令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是-1,1上带权的正交多项式序列.23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.24、填空题(1) 满足条件的插值多项式p(x)=().(2) ,则f1,2,3,4=()，f1,2,3,4,5=().(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则()，().(4) 设是区间

7、0,1上权函数为(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则()，()习题三 1. 给出数据如下表所示，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。x1.000.750.500.2500.250.500.751.00y0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836 2. 用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。 （1） （2） 显示答案 3. 用最小二乘法求一个形如 的经验公式，使它与下表中的数据相拟合，并计算均方误差。X1925313844Y19.032.349.073.397.84. 在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得

8、时间t与水的重量W的数据见下表。设已知t与W之间的关系为 ，试用最小二乘法确定参数a、s。t(秒)1248163264W(克)4.224.023.854.593.443.022.595. 试构造点集 上的离散正交多项式系 。并利用所求的离散正交多项式系，对第二题中的数据求二次拟合多项式。6. 现测量长度 和 米、 米，为了提高测量的可靠性，又测量到 米。试合理地决定长度 和 的值。习题四1. 确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。 （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； 2. 用辛甫生公式求积分 的值，并估计误差。 3. 分别用复化梯形

9、法和复化辛甫生法计算下列积分： （1） ，8等分积分区间； （2） ，4等分积分区间；（3） ，8等分积分区间； （4） ，6等分积分区间。4. 用复化梯形公式求积分 ，问将积分区间 a, b 分成多少等分，才能保证误差不超过e（不计舍入误差）？ 5. 导出下列三种矩形公式的项 （1） ； （2） ； （3） 提示：利用泰勒公式。 6. 用龙贝格公式计算下列积分，要求相邻两次龙贝格值的差不超过 。（1） ； （2） ； 7. 根据等式 以及 当n=3,6,12时的三个值，利用外推算法求 的近似值。 8. 分别用下列方法计算积分 ，并比较结果精度（积分准确值 。 （1） 复化梯形法，n = 16

10、； （2） 复化辛甫生法，n = 8； （3） 龙贝格算法，求至R2； （4） 三点高斯勒让德公式； （5） 五点高斯勒让德公式。 9. 试确定下面求积分式的待定参数，使其代数精度尽可能高。 10. 已知f ( x )的值见表6-13。用三点公式求函数 在x = 1.0,1.1,1.2处的一阶导数值，并估计误差。显示答案 11. 用二阶三点公式求函数 在x = 1.2处的二阶导数值（利用数表6-13）。x1.01.11.2f ( x )0.250000.226760.2066112. 用中点公式的外推算法求 在x = 2处的一阶导数值，取h = 0.8开始，加速二次。13、分别用复合梯形公式及

11、复合Simpson公式计算下列积分.14、用Simpson公式求积分，并估计误差15、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1) (2) (3) 16、计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?17、用Romberg求积算法求积分，取.18、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.19、用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分.习题五 1. 用列主元素法解下列方程组(1) ； (2) ； (3) 对(1) (2)两题观察每步消元结果的系

12、数矩阵有何特点，右下方矩阵是否对称，列主元在何处，消元过程是否符合上题结论。显示答案2. 用追赶法解下列方程组 （1） （2） 显示答案 3. 求第1题及第2题中系数矩阵A的LU分解，并用此分解法解对应的线性方程组。显示答案4. 给定 ，求 及 。显示答案显示答案5、用Gauss消去法求解下列方程组.6、用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.7、用Doolittle分解法求习题5(1)方程组的解.8、下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?9、用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中10、用平方根法解方程组11、设，证明12、设计算A的行范数，列范数

13、及F-范数和2范数.13、设为 上任一种范数，是非奇异的，定义，证明14、求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.，即，即15、是非题（若是在末尾（）填+,不是填-）：题目中（1）若A对称正定,则是上的一种向量范数 （ ）（2）定义是一种范数矩阵 （ ）（3）定义是一种范数矩阵 （ ）（4）只要，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵 （ ）（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解（ ）（6）若A对称正定,则A可分解为，其中L为对角元素为正的下三角阵 （ ）（7）对任何都有（ ）（8）若A为正交矩阵，则（ ）习 题 六 1. 对下列方程组考察用雅可比迭代法与

14、高斯塞德尔迭代法是否收敛？若收敛，写出其迭代格式；若下收敛，能否将方程变形，使之用雅可比迭代法或高斯塞德尔迭代法时收敛？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） ；显示答案 2. 试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代5次求线性方程组的解（取初值 ） 显示答案 3. 用雅可比迭代法解下列方程组。 （1） （2） 取 ，并判别此迭代是否收敛？显示答案 4. 用塞德尔迭代法解方程组。 取 ，并判别此迭代是否收敛？显示答案 5.证明对于任意的矩阵A，序列收敛于零矩阵.6.方程组(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.(2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止

15、.7.设方程组证明:解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散.8.下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?9.设，detA0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.10.用SOR方法解方程组(分别取=1.03,=1,=1.1)精确解，要求当时迭代终止，并对每一个值确定迭代次数.11.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?12.填空题(1)要使应满足（）.(2) 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收

16、敛速度R(B)=（）.(3) 设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.(4) 用GS法解方程组，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.(5) 给定方程组,a为实数.当a满足（），且02时SOR迭代法收敛.习题七 1. 判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。 （1） ； （2） （3） ； （4） 2. 方程 在区间（3，4）中有一实根，若用二分法求此根，使其误差不超过 ，问应将区间对分几次？并请用二分法求此根。 3. 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。 （1） ； （2） 4. 求方程

17、 的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判断各迭代格式的收敛性，选一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位有效数字的近似根。 （1） （2） （3） （4） 5. 考察方程 有几个根，选择合适的迭代格式求这些根，允许误差 6. 用牛顿法求出的方程 根的迭代结果见表2-6，试估计所求根的重数。 表2-6kXkxkxk100.75 10.7527010.0027020.7547950.0020830.7563680.0015740.7575520.0011850.75844410.0008897.用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.8.求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建

18、立相应迭代公式.(1) ，迭代公式.(2) ,迭代公式.(3)，迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.9.设方程的迭代法(1) 证明对,均有,其中为方程的根.(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.10 给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根.11.用Steffensen方法计算第12题中(2)、(3)的近似根，精确到12用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.(1)在=2附近的根.(2)在=1附近的根.13.应用New

19、ton法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.习题八 1.已知矩阵试用格希哥林圆盘确定A的特征值的界。2.设是矩阵A属于特征值的特征向量，若，试证明特征值的估计式.3.用幂法求矩阵 的强特征值和特征向量，迭代初值取。4.用反幂法求矩阵 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取。5.设非奇异，A的正交分解为A=QR，作逆序相乘A1=RQ，试证明（1） 若A对称则A1也对称；（2） 若A是上Hessenberg阵，则A1也是上Hessenberg阵。6.设矩阵（1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求A的强特征值和特征向量；（2）用QR算法作一次迭代，求A的特征值；（3）用代数方法求出A的

20、特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。7. 设矩阵（1）用Householder变换化A为对称三对角阵。（2）用平面旋转阵对进行一步QR迭代计算出。8. 用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。9. 设，且已知其强特征值和对应的特征向量，（1）证明：若构造Householder阵H使（常数），则必有其中，且A的其余n-1个特征值就是的特征值。（2）以为例，已知，用以上方法构造H阵，并求出A的第二个特征值。10.对以下的实对称阵用QR方法求其全部特征值。习题九 1. 取步长h = 0.1，分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题 （1） ； （2） 准确解：（1） ；（2） ；

21、显示答案 2. 用四阶标准龙格库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。显示答案 3. 用欧拉法计算下列积分在点 处的近似值。 显示答案 4. 求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。 （1） （2） （3） （4） 显示答案 5. 用Euler法解初值问题取步长h=0.1，计算到x=0.3(保留到小数点后4位).6. 用改进Euler法和梯形法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准确解相比较.7. 证明中点公式(7.3.9)是二阶的，并求其局部截断误差主项.8. 用四阶R-K方法求解初值问题取步长h=0.2.9. 对于初值问题10. (1) 用Euler法求解，步长

22、h应取在什么范围内计算才稳定?11. (2) 若用梯形法求解，对步长h有无限制?12. (3) 若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取?13. 用四步四阶的Adams显式方法求解初值问题取h=0.1.14. 用形如的线性二步法解15. 试确定参数，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.习题一显示答案 1. （1）5， ， ； （2）2， ， ； （3）4， ， ； （4）5， ， ； （5）1， ， ； （6）2， ， ； （7）6， ， 显示答案2. ； ； 显示答案 3. （1） ； （2） ；（3） 4. 第（3）个结果最好显示答案 5. 不稳定。从 计算到 时，误差约为 显

23、示答案6. ， 显示答案7. （1） ； （2） ； （3） ； （4） 求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有已知x*的相对误差满足，而，故即10.直接根据定义得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，11.要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）12. 3位13.习题二1. 显示答案显示答案2. ； ， 介于x和0，1决定的区间内；，当 时。3. 0.54667，0.000470；0.54714，0.0000294. 5. 1，06. ， 7. 向前插值公式 向后插值公式 8. （1） ； （2） 9. 0.33764

24、8910.11. 显示答案12. 显示答案 13. 显示答案 14、 解仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故15、 解：用误差估计式，令因得16、 解：由均差与导数关系于是17、 解：，由均差对称性可知当有而当Pn1时于是得18、 解：只要按差分定义直接展开得19、 解：根据给定函数表构造均差表当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-

25、0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得由于20、 计算，用n=4得Newton前插公式误差估计其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计得这里仍未0.56521、 解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A ，于是22、 解：因23、 解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为24、 解答：（1）（2）（3）（4）习题三 1. 显示答案 ， 2.（1） ； （2） ，其中c为任意常数显示答案 3.

26、 显示答案 4. ， 5. ， ， 显示答案 6. ， 。习题四1. （1） ，代数精度为3；（2） ，代数精度为3；（3） ， 或 ， ，代数精度2； （4） ，代数精度为3。 2. ， 显示答案 3.（1） ， ； （2） ； （3） ， ；（4） ， 显示答案 4. ， 显示答案 5. （1） ；（2） ；（3） 6.（1） ， 显示答案 7. 3.141580072显示答案 8. （1）1.099768； （2）1.09862； （3）1.098612； （4）1.098039； （5）1.098609. ， ， 10. ， ， 11. 显示答案 0.260012. 0.3535541

27、3、解本题只要根据复合梯形公式及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。对，取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按复合梯形公式求出，按复合Simpson公式求得，积分14、解：直接用Simpson公式得估计误差，因，故15、解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3次代数精确度。（2）令代入公式两端使其相等，得解出得而对不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。（3）令代入公式精确成立，得解得，得求积公式对故求积公式具有2次代数精确度。16、解：由Simpson公式余项及得即，取n

28、=6，即区间分为12等分可使误差不超过对梯形公式同样，由余项公式得即取n=255才更使复合梯形公式误差不超过17、解：本题只要对积分使用Romberg算法（6.20），计算到K3，结果如下表所示。于是积分，积分准确值为0.71327218、解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为，所以先做变换于是本题精确值19、解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算即于是，因n=2,即为三点公式，于是，即故习题五显示答案 1. （1） ； （2） ； （3） 显示答案2. （1）(1.2,1.4,1.6,0.8)T； （2）(1.5,2,1,1)T3. 对第1题中的系数矩阵 （

29、1） ；（2） 对第2题中的系数矩阵 （1） （2） 4. 8， ，5；6， ，85. 解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。故6. 解：先选列主元，2行与1行交换得消元3行与2行交换消元回代得解行列式得7. 解：由矩阵乘法得再由求得由解得8.解：A中，若A能分解，一步分解后，相互矛盾，故A不能分解，但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B，显然，但它仍可分解为分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。9. 解：用解对三角方程组的追赶法公式计算得10.解：用分解直接算得由及求得11.解：即，另一方面故12. 解：故13. 证明：根据矩阵

30、算子定义和定义，得令，因P非奇异，故x与y为一对一，于是14. 解：记则的解，而的解故而由（3.12）的误差估计得表明估计略大，是符合实际的。15、答案：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（）习 题 六 1.显示答案 （1）（2）（3）（4）雅可比迭代法收敛发散收敛发散高斯一赛德尔法收敛发散收敛发散显示答案 2. 雅可比迭代法： 塞德尔迭代法： 3 （1）范数 ，故雅可比迭代法收敛 （2）范数 ，由 可判定雅可比法收敛。4. 方程组系数矩阵对角占优，因此塞德尔迭代法收敛 与3题（1）迭代结果相比较，这里收敛速度快。5. 解：由于而故6. 解：因为具有严

31、格对角占优，故J法与GS法均收敛。（2）J法得迭代公式是取，迭代到18次有GS迭代法计算公式为取7. 解：Jacobi迭代为其迭代矩阵，谱半径为，而Gauss-Seide迭代法为其迭代矩阵，其谱半径为由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。8. 解：Jacobi法的迭代矩阵是即，故，J法收敛、GS法的迭代矩阵为故，解此方程组的GS法不收敛。9. 解J法迭代矩阵为，故J法收敛的充要条件是。GS法迭代矩阵为由得GS法收敛得充要条件是10. 解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为取，当时，迭代5次达到要求若取，迭代6次得11. 解：J法的迭代矩阵为，故，因A为对称正

32、定三对角阵，最优松弛因子J法收敛速度由于，故若要求，于是迭代次数对于J法，取K15对于GS法，取K8对于SOR法，取K512、解答:(1)(2)J法是收敛的，(3)J法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵(4)满足(5)满足习题七1. （1） ， ， ；（2） （3） ， ， ；（4） 为根。2. 6 3. （1）能；（2）不能， 4. （1.4,1.5）；（1）收敛； （2）收敛； （3）发散；（4）发散； 1.4655735. 1.989761；0.3758122 6. ； ； 7. 解使用二分法先要确定有根区间。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间1,2为有根区间

33、。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算各次迭代值如表。其误差8解：（1）取区间且，在且，在中，则L1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2），在中，且，在中有，故迭代收敛。（3），在附近，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则9解：（1）迭代函数，对有，（2）取，则有各次迭代值取，其误差不超过（3）故此迭代为线性收敛。10解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函数，。令，则，由递推有，即11解:在(2)中,令,则有令,得,与第2题中(2)的结果一致,可取,则满足精度要求.对(3)有,原迭代

34、不收敛.现令令12解：（1）Newton迭代法取，则，取（2）令，则，取13解：方程的根为，用Newton迭代法此公式迭代函数，则，故迭代法2阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设，对一般的，当时有这是因为当时成立。从而，即，表明序列单调递减。故对，迭代序列收敛于习题八 1. 解：2解：由 得 3.。解：y=1,1,1;z=y;d=0;A=2,3,2;10,3,4;3,6,1;for k=1:100 y=A*z;c,i=max(abs(y);if y(i)0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d)0.0001,break; endd=cend强特征值为11，特征向量为。4. 解：y=1

35、,1,1;z=y;d=0;A=6,2,1;2,3,1;1,1,1;for k=1:100 AA=A-6*eye(3);y=AAz;c,i=max(abs(y);if y(i)0,c=-c;endz=y/c;if abs(c-d)0.0001,break; endd=cendd=6+1/c最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为。5.证明：（1），对称 （2）A是上Hessenberg阵，用Givens变换对A作正交分解，即显然A1也是上Hessenberg阵。6. 解：（1）A的强特征值为2.6181，特征向量为（2）for i=1:10Q,R=qr(A);A=R*Qend A的

36、特征值为2.6180，0.3820（3），特征值特征向量7. 解：（1）(2) 8. 解：（1）for k=1:20p=A(3,3);AA=A-p*eye(3);Q,R=qr(AA);A=R*Q+p*eye(3)end全部特征值为 4 , 1 , 3(2) 全部特征值为 3.7321, 2.0, 0.2679 9. 解：（1）构造Householder阵H使即HAH的第一列为, （2）A的第二个特征值为 -3。10. 解：（1）全部特征值为 5.3465, 2.722, -0.0687（2）全部特征值为 6, 3, 1习题九 1. （1）欧拉法： ， ， ， 改进的欧拉法： ， ， ， 2. 显示答案 （1） ， ， ， 3. 显示答案 0.5000,1.1420,2.5011,7.2450 4. 显示答案 （1） ，2； （2） ，3； （3） ，4； （4） ，45. 解:直接将Eulerr法应用于本题，得到由于，直接代入计算，得到6. 解：用改进Euler法求解公式，得计算结果见下表用梯形法求解公式，得解得精确解为7. 证明根据局部截断误差定义，得将右端Taylor展开，得故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。8. 解直接用四阶RK方法其中计算结果如表所示：9. 解因f(y)=-100，故