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1、微分几何课程标准一、课程概述微分几何是数学与应用数学（师范）专业的一门选修课，本课程是以数学分析为主要工具研究空间形式的一门数学分科。它以经典微分几何为主要内容，主要讨论三维欧氏空间中曲线和曲面的局部性质。同时还介绍了现代研究方法，即外微分、活动标架方法去处理曲线、曲面的局部理论。通过本课程的学习，可以使学生空间思维及几何直观想象能力得到提高，为进一步学习诸如流形上微积分、偏微分方程、拓扑、黎曼几何等课程打好基础。二、课程目标1、知道微分几何这门科学的性质，地位与独立价值，知道该学科的研究对象、研究方法、学科进展与未来方向；2、理解本学科的基本概念、基本原理和方法及初步的应用；3、能用微分几何
2、的观点来认识中学几何的内容；4、具备进一步学习现代微分几何及其它数学分支的基础知识。三、课程内容、教学要求该课程的知识与技能要求分为了解、理解、掌握三个层次，下面教学内容和要求表中的“”号表示教学知识和技能的教学要求层次。（一）曲线论教 学 内 容教学要求知道理解掌握学会1、向量代数复习2、向量函数的概念、连续性、微商、泰勒公式与积分3、曲线的概念（1）曲线的概念、光滑曲线、曲线的正常点（2）曲线的切线与法平面（3）曲线的弧长、自然参数4、空间曲线（1）空间曲线的切平面（2）空间曲线的切线与法平面（3）空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式（4）空间曲线在一点邻近的结构（5）空间曲线
3、论的基本原理5、特殊曲线（1）平面曲张的伏雷内标架（2）平面曲线的曲率、曲率半径、曲率圆（3）平面曲线的伏雷内（Frenet）公式（4）平面曲线在一点邻近的结构（5）平面曲线的渐缩线和渐伸线（6）一般螺线（7）伏特朗曲线（二）曲面论教 学 内 容教学要求知道理解掌握学会1、曲面的概念（1）简单曲面及其参数表示（2）光滑曲面、曲面的切平面与法线（3）曲面上的曲线簇和曲线网2、曲面的第一基本形式（1）曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长（2）曲面上两方向的交角（3）正交曲线簇和正交轨线（4）曲面的面积（5）等距变换和保角交换3、曲面的第二基本形式（1）曲面的第二基本形式（2）曲面上曲线的曲率（3）
4、杜邦（Dupin）指标线（4）曲面的渐近方向和共轭方向（5）曲面的主方向和曲率线（6）曲面的主曲率、高斯(Ganss)曲率和平均曲率（7）曲面在一点邻近的结构（8）高斯（Ganss）曲率的几何意义4、直纹面和可展曲面（1）直纹面（2）可展曲面5、曲面论的基本定理（1）曲面的基本定理和克里斯托斐耳(Christoffel)符号（2）曲面的黎曼曲率张量和高斯一科达奇一迈因纳尔迪公式（3）曲面论的基本定理6、曲面上的测地线（1）曲面上曲线的测地曲率（2）曲面上的测地线（3）曲面上的半测地坐标网（4）曲面上测地线的短程性（5）高斯波涅公式（6）曲面上向量的平行移动（7）极小曲面7、常高斯曲率的曲面（1
5、）常高斯曲率的曲面（2）伪球面（3）罗氏几何四、课程实施（一）课时安排与教学建议微分几何是数学与应用数学（师范）专业的一门选修课。每周安排4课时，共60课时。函授生一般为40课时。具体安排如下：主要内容课时建议教与学的方法建议按60课时计按40课时计一、预备知识86教师讲授二、曲线论1612三、曲面论3218四、总复习22五、机动22（二）教学组织形式与教学方法的要求1、教学班是主要教学组织，班级授课是教学的主要组织形式。根据几何学种的特点，尽可能使用多媒体教学手段。2、充分利用习题课课时，灵活地组织学生进行有利于培养学生发现问题，分析问题与解决问题的能力的各种教学活动。3、评价教学方法要以实
6、现课程标准规定的教学目标为依据，好的教学方法应有助于学生对教学内容的理解，并能激发学生的学习热情，更好地培养学生的空间思维及几何直观想象能力。五、教材编写与选用本课程选用梅向明、黄敬元编写的由高等教育出版社出版的教材微分几何（第二版）六、学习评价与考核1、这门课程的评价依据本课程标准规定的课程目标、教学内容和要求。该门课程的成绩评定采用平时考核（30%）和期末考试（70%）相结合的形式。2、考试时间：120分钟3、考试方法、分制与分数解释采用闭卷、笔试的方式，以百分制评分，60分及格，满分100分。4、题型比例判断题10%；填空题10%；计算题50%；证明题30%。5、样题与目标定位示例A、判断题：（着重考查学生对知识的理解程度）例：常高斯曲率曲面的平均曲率必为常数。（ ）B、填空题：（着重考查学生对知识的理解程度）例：曲面=在()=(0，0)处的法线方程是_。C、计算题：（着重考查学生对知识的理解与掌握程度）例：求曲面=的渐近曲线D、证明题：（着重考查学生对知识的理解与掌握程度）例：证明：直纹面的高斯曲率k0。制定该课程标准小组成员：谭建中、池雄标审核者：简国明
