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1、东北大学秦皇岛分校数学建模课程设计报告运用微积分解决贮存问题系 别信息与计算科学专 业学 号姓 名指导教师 成 绩教师评语：指导教师签字： 2011年7月8日1 绪 论1.1 课题的背景在实际生活中，特别是在工程技术、经济管理和科学研究领域中存在着很多优化模型，如投资的成本最小、利润最大问题，邮递员的投递路线最短问题，货物的运输调度问题，风险证劵投资中的收益最大，风险最小问题。优化模型大致可以分成两大类：无约束优化模型和约束优化模型。无约束优化模型即求一个函数在定义域内的最大值或最小值，这类问题往往可以使用微分的方法得到最终的结论，如一元及多元函数的最值归结为求函数驻点；约束优化模型即求函数在
2、一些条件约束下的最优解，对于等式约束的问题，可以使用Lagrange乘数法求解，但是在数学建模中得到的优化模型往往不是等式约束问题，而是诸如不等式约束甚至更复杂的数学规划问题，这些问题需要使用Matlab等科技计算软件才能解决。数学规划问题包括线性规划、整数规划、非线性规划、目标规划、多目标规划以及动态规划等类型问题。本篇将就存贮模型具体分析，归结为微积分中函数极值问题。2 贮存模型配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。今已知某部件的日需求量为,生产准备费为，存贮费每日每件。如果生产
3、能力远大于需求，并且不允许缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。2.1 模型假设 1. 为了处理方便，考虑连续模型，即设生产周期和产量均为连续量；2. 生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。2.2 模型建立将贮存量表示为时间的函数,生产件，贮存量, 以需求速率递减，直到,如图1。图1 不允许缺货模型的贮存量rtTOQqA显然有 一个周期内的贮存费是，其中积分恰好等于图1中三角形的面积。因为一周期的总费用为 ,再注意到式，得到一周期的总费用为 于是每天的平均费用是 式即为这个优化模型的
4、目标函数。2.3 模型求解求使的最小，容易得到 代入式可得 由算出最小的总费用为2.4 结果解释由式，可以看到，当准备费增加时，生产周期和产量都变大；当准备费增加时，生产周期和产量都变小；当需求量增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果都是符合常识的。当然，式，的定量关系凭常识是无法猜出的，只能由数学建模得到。2.5 敏感性分析讨论参数，有微小变化时对生产周期的影响。用相对该变量衡量结果对参数的敏感程度，对的敏感度记作，定义为由式容易得到。作类似的定义并可得到。即增加，增加0.5%，而或增加，减少。，的微小变化对生产周期的影响是很小的。2.6 模型应用设生产速率为常数,销售速率为常数，。在
5、每个生产周期内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形。设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况。解：由题意可得贮存量的图形如下：k-rrTtgO图2 贮存量个的图形贮存费为又,贮存费变为于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为令 得易得函数在处取得最小值，即最优周期为： 当时，。相当于不考虑生产的情况当时，。此时产量与销售量相抵消，无法形成贮存量。结 论当打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们。当然，在这个过程中要对实际问题作若干合理的简化假设。最后，在用微分法求出最优决策后，要对结果做些定性、定量的分析和必要的检验。参考文献1 王高雄, 周之铭, 朱思铭等. 常微分方程（第3版）M. 北京: 高等教育出版社, 2007.2 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（第3版）M.北京:高等教育出版社，2003.8.
