毕业设计 区间上连续函数用多项式逼近的性态.doc

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1、区间上连续函数用多项式逼近的性态摘 要在实际的应用中，经常遇到这样的问题：为解析式子比较复杂的函数寻找一个多项式来近似代替它，并要求其误差在某种度量下意义下最小这就是用多项式来逼近函数问题的研究本文主要讨论了区间上连续函数用多项式逼近的性态首先给出了在闭区间上连续函数用多项式逼近的相关结论Weierstrass逼近定理，是Weierstrass于1885年提出的，这条定理保证了闭区间上的任何连续函数都能用多项式以任意给定的精度去逼近通过引用Bernstein多项式和切比雪夫多项式给出了相应的证明其次列出了Bernstein多项式以及由Bernstein算子推广得到的Kantorovich算子它

2、们的概念、一些具体的性质以及推广和应用 最后，引进推广到无穷区间上的SBernstein多项式，进一步研究了无穷区间上连续函数用多项式逼近的性态，并得到了相关结论关键词： Weierstrass逼近定理；Bernstein多项式；Kantorovich算子；SBernstein多项式；无穷区间Polynomial approximation of continuousfunctions on the interval propertyAbstract：In practical applications， often encounter this problem: to find a polyn

3、omial to approximate the more complex function of the analytical formula， and requested the minimum of the error is some kind of metric significance This is the polynomial approximation function problemsThis article focuses on the behavior of interval polynomial approximation of continuous functions

4、 Firstly， the conclusions continuous function on a closed interval with a polynomial approximation - Weierstrass approximation theorem， is weierstrass 1885， which Article theorem guarantees of any continuous function on the closed interval can use polynomials to approximate any given accuracy Throug

5、h quoted the Bernstein multinomial and the Chebyshev multinomial has given the corresponding proof Next has listed the Bernstein multinomial as well as the Kantorovich operator which obtains by the Bernstein operator promotion their concept， some concrete nature as well as the promotion and the appl

6、ication Finally， the introduction promotes to the infinite sector in the SBernstein multinomial， further has studied in the infinite sector the continuous function the condition which approaches with the multinomial， and obtained the related conclusionKey words：Weierstrass approximation theorem， Ber

7、nstein polynomials; Kantorovich operator; SBernstein polynomial; infinite interval目 录第1章绪论111 区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的背景112 区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的意义1第2章WEIERSTRASS逼近定理的证明及应用321 Weierstrass逼近定理的第一种证明3211 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明3212 闭区间上的weierstrass逼近定理622 Weierstrass逼近定理的第二种证明623 Weierstrass逼近定理的推广9231 W

8、eierstrass第二定理9232 Weierstrass-Stone定理10233 Weierstrass逼近定理的逆定理11第3章BERNSTEIN多项式和KANTOROVICH算子1331 Bernstein多项式13311 Bernstein多项式的定义13312 Bernstein算子的一些性质1432 Kantorovich算子19321 Kantorovich算子的定义19322 Kantorovich算子的性质20323 Lebesgue可积函数的Kantorovich算子逼近21324 加权的Kantorovich算子22第4章SBERNSTEIN多项式在无穷区间上的推广2

9、541 无穷区间上SBernstein多项式的定义2542 无穷区间上SBernstein多项式逼近定理25第5章结 论33参考文献35致 谢37第1章 绪论11 区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的背景 众所周知，逼近的思想和方法渗透于几乎所有的科学，其中包括自然学科和人文学科逼近论是一门研究各类函数性质的学科，同时它又是计算数学、科学工程计算诸多数值方法（包括函数计算、数值微分、微分、积分方程数值解，曲线、曲面生成以及数据处理等等）的理论基础和方法根据函数逼近论是一门历史悠久内容丰富而且实践性很强的学科，是数学中最蓬勃发展的领域之一其发展经历了一个相当漫长的时期早在十九世纪五十年代，人们

10、已经对函数逼近论有了深入的研究1859年Chebyshev提出的最佳逼近的特征定理、1885年Weierstrass所建立的关于连续函数可以用多项式逼近的著名定理，使得函数逼近成为现代数学的一个重要分支但函数逼近论作为一门独立的学科得以蓬勃发展却是上个世纪Jackson，Bernstein以及苏联学派的一系列深刻工作所推动的Bernstein多项式在函数逼近论中是一个古典的工具，也是迄今为止最受人们注意的正线性算子它在逼近论中的地位，显然是由Bernstein收敛定理确立的但是遗憾的是，它的收敛速度十分缓慢 此外，由Bernstein算子变形产生了许多算子沈燮昌对函数逼近论的发展做了一个较为详

11、尽的总结和概括，其中说函数逼近论不仅研究实变函数域多项式的逼近问题，而且还研究其他函数系诸如有理函数、指数函数、无理函数、逐段多项式的最佳逼近以及复数域上各种函数系的最佳逼近本文通过证明Weierstrass逼近定理，以及对Bernstein多项式和由Bernstein算子推广得到Kantorovich算子的研究，引入SBernstein多项式将对连续函数用多项式逼近的性态的研究闭区间推广到无穷区间等12 区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的意义在计算机的时代，逼近论正以前所未有的速度，迅速地向前发展着函数逼近问题是从绘图学、机械设计等实际需要中提出来的函数逼近理论的研究具有悠久的历史，其研

12、究的核心为用简单函数来逼近一类较为复杂的函数，其中心问题是研究各类函数的光滑性与逼近程度的相互关系 多项式问题的研究是一个古老但非常有意义的问题，它在现代数学中占有重要地位多项式逼近是数值分析中的最重要的方法之一，因为多项式便于计算，便于求导数，求积分因此多项式逼近在数学分析和数值逼近理论中一直占有十分重要的位置，人们不断从各个角度研究其逼近的方法和应用随着数学理论研究的深入和计算机技术的发展，由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计算机上计算函数必须用其他简单的函数来逼近（例如用多项式来逼近函数），且用它来代替原来精确的函数计算多项式函数由于其计算上的简单性 ，在数值近似理论以及工程计算方面

13、有着广泛的应用在实际的应用中，经常遇到这样的问题：为解析式子比较复杂的函数寻找一个多项式来近似代替它，并要求其误差在某种度量下意义下最小这就是用多项式来逼近函数问题的研究在现实生活中，对于某些具体问题，我们可以观察很多数据，用观察法很难发现规律，但利用多项式逼近来研究实际问题的规律，往往能简化用来拟合观测数据的复杂函数，使得问题简化，从而多项式逼近问题在数学领域和实际生活领域中得到广泛的应用因此，研究区间上连续函数用多项式逼近的性态，进而对其进一步研究有着十分重要的意义第2章 Weierstrass逼近定理的证明及应用在一致逼近的理论中，遇到的第一个问题是:在预先给定的精度下，能否用多项式逼近

14、任意给定的连续函数? 1985年，Weierstrass对这个问题给出了肯定回答Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一，该定理阐述了在预先给定的精度下，可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数Weierstrass逼近定理 设 ，则存在多项式 ，使 21 Weierstrass逼近定理的第一种证明211 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 对于这个著名的定理，有多种不同的证明方法下面将给出Bernstein的证明定义2.1 设，的第个Bernstein多项式由下式给出: （2-1）显见 引理2.1 下列恒等式成立: (1)， (2)， (3)引理2.

15、2 对任意给定的 及，有，其中求和号表示对固定的满足不等式的求和该引理的意义在于当很大时，在和式中，起主要作用的只是满足条件的那些值所对应的项的和，而其余的项对和的值无多大影响 证明： 我们从(1)知，因此两边同时乘以有对任意，我们有+由于在处连续，对任给，存在，使得当 时，故第一个和式 又由在上连续，所以存在，使得 故由引理2.2，第二个和因此，对任何，先取，使得当 时，然后固定，再取充分大，就有证毕 注意到我们在定理的证明中，对第一个和只用到在处连续，对第二个和只用到在上有界因此有Bernstein定理 ： 设在上有界，则在任何的连续点成立如果，则极限在上一致成立注 (1) 若有界函数在点

16、处存在有限的二阶导数，则，其中 (2) 若在上有连续的导数，则一致收敛于(3) 设，那么在上一致地成立(4) 若，那么， (5) 若在上是非减的，那么在上也是非减的 (6) 若在上是凸的，那么在上也是凸的由以上的推论可知，一个连续函数的Bernstein多项式逼近与被逼近函数的极值和高阶导数有关，并且单调的和凸的函数分别产生单调的和凸的逼近212 闭区间上的weierstrass逼近定理 设，则存在多项式，使得 （2-2）证明： 令，则有因为，所以是定义在上的连续函数，于是由Weierstrass逼近定理知存在多项式，使得对于一切，有也就是 证毕22 Weierstrass逼近定理的第二种证明

17、首先引入切比雪夫多项式(Chebyshevs polynomials)的一个多项式核引理2.3 恒等式cos为真，其中为某些常数推论2.3 当时，恒等式成立定义2.2 称多项式为次切比雪夫多项式设是次切比雪夫多项式，对任意，在 上令，其中 （2-3）如上定义的在定理证明中将起到多项式核的作用它具有下列性质:性质1 是次多项式，且是偶数性质2 由定义显然有下面的恒等式性质3 对于 何，及都有证明：由第一种证明可知，我们只需证明的情况即可首先将连续开拓到上例如，我们令 显然，在上一致连续对任意，当时，以为核构造函数 (2-4)由于 是次多项式，故所以，其中是常数，故而是一个次的多项式令，(2-4)

18、就变为 (2-5)由性质2，可得 =+ + +将上式中最后所得三个积分依次记为由于在上一致连续，故对任意，存在当时必有， (2-6)所以 设，那么所以 因此，对任意，先取定，使(2-6)成立，然后固定，再取充分大就有证毕23 Weierstrass逼近定理的推广231 Weierstrass第二定理Weierstrass逼近定理说明了可以用多项式来逼近上的连续函数，Weierstrass第二定理将给出关于三角多项式和周期连续函数的一个相应的结论 设，对任意，存在三角多项式，使得对于一切实数，都有其中表示上以为周期的连续函数集合也就是说，任何具有周期的连续函数都能用三角多项式一致地逼近引理2.4

19、 若，则对于任何，等式都成立引理2.5 对任何有下面的恒等式引理2.6 对于一切实数，一致地有 其中，要想由此推得Weierstrass第二定理，只须证明是一个三角多项式即可为此，我们需要下列引理定义2.3 若，则称三角多项式的阶为 （2-7）引理2.7 两个三角多项式的乘积仍为一个三角多项式，且其阶等于两因子阶之和引理2.8 若三角多项式为一偶函数，即，则它可以表示成的形式，即式中不含倍角的正弦232 Weierstrass-Stone定理 设是某个度量空间中的任意子集，它至少包含两个不同的元素，并且在上成立有限覆盖定理设定义在上的实函数系组成一个线性空间，且构成一个环，这个环包含常数，且对

20、于中任意两个不同的元素，在环中存在函数，使，于是对于上定义的任意一个实连续函数，对于任给，在上存在元素，使得有利用Stone定理可以得到很多有用的逼近定理，例如下面的有理函数逼近定理设，则任给，存在有理函数， 使，其中表示分子的次数不大于分母次数的全体实系数有理函数空间233 Weierstrass逼近定理的逆定理Weierstrass逼近定理从正面阐述了连续函数可以用多项式来逼近的重要性质，反之，如果一个定义在闭区间上的函数能用多项式逼近，则该函数必然是连续函数定理 在实数范围内，对定义在闭区间上的函数，如果满足对，都存在这样的多项式，使不等式 成立，那么函数必然是连续函数由此，我们得到如下

21、结论，这可以作为Weierstrass逼近定理的补充或充要条件结论1 的充分必要条件是: 对，都存在一个多项式使不等式 成立结论2 函数是连续函数或是与一个连续函数几乎处处相等的函数的充分必要条件是:对，都存在一个多项式使不等式成立这里为零测度集例1: 设函数定义在闭区间上，且在该区间上与一个连续函数几乎处处相等，则，成立的充分必要条件是在上几乎处处成立证明： 充分性显然，只需证明必要性由条件有，其中是上的零测度集 所以0= =因此可得，注意当时， ，所以，证毕注 设函数则，成立的充分必要条件是: ，第3章 Bernstein多项式和Kantorovich算子31 Bernstein多项式31

22、1 Bernstein多项式的定义Bernstein多项式在函数逼近论中是一个古典的工具，也是迄今为止最受人们注意的正线性算子它在逼近论中的地位，显然是由Bernstein收敛定理确立的但是遗憾的是，它的收敛速度十分缓慢Bernstein逼近，就是利用著名的Bernstein算子: 对函数进行逼近，这是一类经典而丰富的研究课题，它可以追溯到1912年，从那时起已有近千篇关于这一课题的论文出版从提供计算工具的观点来看，由显式表示出来的算子(即在计算上具有能行性的算子)一般最受欢迎Bernstein算子作为具有显式表示的正线性算子，以其结构形式的简单优美及许多良好的性质吸引了许多人去研究推广它罗马

23、尼亚数学家DDStancu是研究Bernstein算子的大专家，它引进的一类广义Bernstein算子具有丰富的概括性，由于它所构造的都是显式表示的线性算子，所以在实际计算上都是可用的，而且也有逼近偏差的估计此外，由Bernstein算子变形产生了许多算子，诸如:Szasz一Mirakjan算子: BaskakoV算子: Kantorovich算子: 等等设对于任意的，定义多项式 （3-1）称它为f的n次Bernstein多项式，这中多项式是1912年由Bernstein给出的，他并且证明了：当f在上连续时 （3-2）对一致地成立Bernstein多项式一直是函数逼近论中的重要工具和研究对象我

24、们讨论连续函数f由Bernstein逼近定理当n充分大时，是f的一个很好的逼近，f称为被逼近函数312 Bernstein算子的一些性质 由Bernstein形式的已知性质得 （3-3）这就是说，在区间的两端，插值于被逼近函数f由端点导数的性质，可以得到 （3-4） 我们从变换的观点来看Bernstein多项式，把看成一个算子，的作用是把函数f映射成多项式则是一个线性算子，也就是说，对定义在上的函数f与g以及任何实数与，我们有 如果对成立，那么对成立，这表明是正线性算子定理31 如果f是上的上升（下降）函数，那么也是上的上升（下降）函数证明： 设f在上是上升的，特别地 由 ， 可得结论，证毕

25、定理32 设f是上的凸函数，于是1. 对于，在上是凸的；2. 对及成立；3. 如果f在上连续，那么由，可以导出f是子区间，上的线性函数；4. 如果f在上连续，则对及成立证明: 1由f的凸性可知对成立，由此导出对成立，故 是凸函数； 2由升阶公式得 因此 （3-5）由于f在上凸，则有，由（3-5）可得， 3由条件和f的凸性推知 （3-6）对成立因为f是凸函数，在子区间中，曲线应不在由与两点所确定的直线段的上方但是（3-6）表明曲线上的点恰在这一段直线上，所以曲线必定与这一段直线重合4对于任何固定的，由已经证明的第二个结论可知:任何则， 令，根据f的连续性以及Bernstein收敛定理得，其中证毕

26、 Bernstein多项式序列的单调下降性蕴含着其被逼近函数f的凸性 定理33 凸性逆定理（LKosmak）设f：有连续的二阶导数并且 （3-7）对以及成立，那么f必然是上的凸函数 证明: 首先，给出均差的概念，函数f在两点，处的一阶均差定义为 （3-8）当f有一阶导数时，由微分学中值定理可知：存在着与之间的一个实数使得 f的一阶均差的均差称为二阶均差： 当f有二阶导数时，二阶均差与二阶导数有以下关系 ， （3-9）其中介于的最小值与最大值之间利用均差的记号，（3-5）右边的Bernstein系数可以写为 ，从二阶均差的性质可知，有一点，以及，使得，则，（3-5）可以改写为 （3-10）观察上

27、式可以发现，如果在它的右边用来代替，那么除了一个数量因子之外便是的次Bernstein多项式这里我们指出，在n无限增大至无穷的过程中，这种代替对于极限函数是没有影响的，事实上，由于对都成立，由在上的一致连续性，存在：使得，对任何，则有 ， (3-11)其中为任意给定的正数因此，当时将（3-10）改写为 ，上式右端的第一项将随而趋向于，第二项趋于零则得到由于条件（3-7），由上式可得对，成立由此可知在上是非负的，因此f是凸函数 证毕32 Kantorovich算子321 Kantorovich算子的定义 在逼近问题中，对于不同的目标函数，采用的逼近算子也有所不同，Kantorovich算子是Be

28、rnstein算子的一种推广 在讨论函数逼近问题时，所逼近的目标函数往往仅为Lebesgue可积的这时通常采用的是Kantorovich算子 设，Kantorovich算子定义为：， (3-12)并且有 其中，D是微分算子，S是定积分算子，即 ，由此，可以把Bernstein算子的一些性质传递到Kantorovich算子观察Bernstein算子，可以发现将其中的换为区间上的值，就可以得到Kantorovich算子322 Kantorovich算子的性质特别的，当时，Kantorovich算子具有如下性质：性质3.1 若f在上单调，则也在上单调性质3.2 为凹连续模【9】，满足 ， ，则对于一

29、切有 ， 性质3.3 设，对于一切成立 ，若为凹连续模，则有 ，性质3.4 若f是Lipschitz函数，则对于一切，也是Lipschitz函数323 Lebesgue可积函数的Kantorovich算子逼近先考虑Kantorovich算子对连续函数的逼近情况，有下面定理成立定理34 设，那么对于任意给定的，总可以找到一个充分大的，使得当时，恒有，成立然而，只有当目标函数仅为Lebesgue可积时，Kantorovich算子的作用才能真正的得以发挥考虑空间 内的可测函数，即存在对于任意的，它们之间的距离定义为并且有Minkowski不等式成立，以及，若，上式可化为 如果，那么，我们说强收敛于所

30、以，对于，Kantorovich算子强收敛于 定理35 设是紧的，对，则对任意给定的，总可以找到一个充分大的，使得当时，存在上具有紧支集的连续函数，有， ， (3-13)324 加权的Kantorovich算子 在这些Kantorovich算子逼近性质的基础上，我们可以对Kantorovich算子进行推广，从而得到加权的Kantorovich算子函数的积分可以看成在上的平均值，而在某些情形下，考虑f的不同的平均值也是很重要的例如考虑，这也是f的一种平均，但此时在中接近于1的点与接近于0的点上，对f求平均时的分量是不同的（3为正规化常数）这种“偏重”的平均一般用一个“权”函数 来描述，即f在上的

31、加权平均为由此，定义加权的Kantorovich算子为： ， （3-14） 注 若，（）为与t无关的常数，则有 设（）在上有上界和下界，分别记为M和m，且，则得到下面定理 定理36 设，如（3-14）式，那么对于任意给定的，总可以找到一个充分大的，使得当时，恒有 ，证明： 由定理34对于任意给定的，总可以找到一个充分大的，使得当时，恒成立 ， 取，则 证毕第4章 SBernstein多项式在无穷区间上的推广41 无穷区间上SBernstein多项式的定义引进推广到无穷区间上的SBernstein多项式的更一般的形式 （4-1）其中是定义在上函数，为正整数 证明了，在的任一连续点处，有由于（4-

32、1）式中是任意的正整数，故可根据已知函数结构适当的选择，使得的SBernstein多项式的形式简单42 无穷区间上SBernstein多项式逼近定理 首先介绍三个引理 引理 4.1 设是定义在上的函数，在任一有限区间上有界， 为的连续点，则对于任意的，对任一正整数存在，使得当时，有；且对于任意的，当时，有 其中 引理4.2 （，） 引理4.3 对，有 ， 定理 4.1 设函数在上有定义 ，对每一个，在上有界，且存在正整数，使得当时，那么在的任一连续点处，有 证明：当时，结论显然成立当时，记，由于当时，于是对于固定的，当充分大时，有 ， （为常数）因此当充分大时，有 由收敛，于是有收敛，于是得到

33、 故只需证明 我们有 （4-2）应用引理4.1和引理4.2，并采用前面的记号，选取，使得，则有 （4-3）对于 （4-4）由于在点连续及引理4.1，则有 （4-5）对于，由已知，即存在正数，使得当时，有又由已知条件存在，使得对任意，有，以及引理4.3，当充分大时， （4-6）由于以及（4-2）、（4-3）、（4-4）、(4-5)、（4-6）式得，当时，结论成立证毕定理4.2 若在上满足条件 ，其中为常数，当时，对于一切， ，那么当时，若及，有，对成立;若，对成立证明：当时， 所以 ，当时，若，结论显然成立若，应用引理4.2及已知条件 当时，对一切对，由上述推导有 所以，对于一切， （）证毕第5

34、章 结 论多项式问题的研究是一个古老但非常有意义的问题，它在现代数学中占有重要地位 为解析式子比较复杂的函数寻找一个多项式来近似代替它，并要求其误差在某种度量下意义下最小，这就是用多项式来逼近函数问题的研究多项式逼近是数值分析中的最重要的方法之一，由于多项式便于计算，便于求导数，求积分因此多项式逼近在数学分析和数值逼近理论中一直占有十分重要的位置，人们不断从各个角度研究其逼近的方法和应用本文主要是研究区间上连续函数用多项式逼近的性态首先给出了在闭区间上连续函数用多项式逼近的相关结论Weierstrass逼近定理： 设，则存在多项式，使 该定理是Weierstrass于1885年提出的， 保证了

35、闭区间上的任何连续函数都能用多项式以任意给定的精度去逼近通过引用Bernstein多项式和切比雪夫多项式分别给出了相应的证明其次了解Bernstein多项式以及由Bernstein算子推广得到的Kantorovich算子，它们的概念、一些具体的性质以及推广 最后，引进推广到无穷区间上的SBernstein多项式，进一步研究了无穷区间上连续函数用多项式逼近的性态，并得到了相关结论 由于时间和能力的有限，对上述问题只进行了简单的分析总结参考文献1 林成森 数值分析M 北京:科学出版社，20062 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法M 北京:高等教育出版社19933 常庚哲、史济怀 数学分析教程M

36、高等教育出版社，20034 肖江 Bernstein型算子的逼近研究J 江苏大学学报，20035 徐利治、王仁宏、周蕴时 函数逼近的理论与方法M 上海科学技术出19836 孙永生 函数逼近论M 北京师范大学出版社，19897 刘洋、李宏 关于Weierstrass逼近定理的几点注记J 数学的实践与认2009年第2期8 丁春梅 Bernstein型算子同时逼近误差J 数学物理学报，2010年第01期9 莫国端、刘开第 函数逼近论方法M 北京科学出版社，200310 程丽 Bernstein-Kantorovich算子线性组合同时逼近的等价定理J 浙江大学学报，2010年第5期11 高义、黄永东

37、一种递推的Kantorovich型算子的逼近J 内蒙古大学学报，2011年第6期12 蔡冦华关于Bernstein多项式( ， )区间上的推广形式J南京工学院学报，1988，18(5)：134-13813 Achieser，NI Theory of ApproximationJ， New York: Dover Publication， INC， 199214 吴华英 Bernstein 多项式在无穷区间上的推广J数学进展19865(2)：185-13815 Lorentz GG Bernstein PolynomialsJ，Toronto:Univof Toronto Press，1953 16 李文清 关于伯恩斯坦康托洛维奇多项式的逼近J 厦门大学学报， 1962年01期 17 何甲兴 关与Bernstein多项式导数的迭代极限J 数学研究与评论，1995年01期 18 蒋红标、谢林森 Bernstein算子线性组合同时逼近的正逆定理J 工程数学学报，2003年03期 19 王白银 多项式序列一致逼近连续函数的两个结论J 贵州师范大学学报，2010年02期 20 保怀、杜芳琦 BernsteinKantorovic多项式算子在Ba空间的一致逼近J 南都学坛，1990年S1期