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1、高等数学重积分摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。关键词：重积分；曲面面积；重心；转动惯量；引力；应用. 在高等数学中，重
2、积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用
3、，对于重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。I.重积分的应用归纳如下:1.1曲面的面积 设曲面的方程为在面上的投影为，函数在上具有连续偏导数，则曲面的面积为：若曲面的方程为在面上的投影为，则曲面的面积为：若曲面的方程为在面上的投影为，则曲面的面积为：例1：计算双曲抛物面被柱面所截出的面积。解：曲面在面上投影为,则即有:从而被柱面所截出的面积如上所示。例2:求半径为的球的表面积.解:取上半球面方程为,则它在面
4、上的投影区域.又由 得 因为这函数在闭区域上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域为积分区域,算出相应于的球面面积后,令取的极限就得半球面的面积.利用极坐标,得 于是 这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为1.2质量1.2.1平面薄片的质量 若平面薄片占有平面闭区域，面密度为，则它的质量为，其中称为质量元素.1.2.2物体的质量若物体占有空间闭区域，体密度为，则它的质量为例3：由螺线，与直线，围成一平面薄片，它的面密度为，求它的质量。 解：如图所示，1.3质心1.3.1平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域，面密度为，则它的质心坐标为：，其中为平面薄片的质量.1.3.2物体
5、的质心若物体占有空间闭区域，体密度为，则它的质心坐标为：，其中为物体的质量.例4：求位于两球面，和之间的均匀物体的质心.解：由对称性可知，质心必须位于轴上 ，故由公式由面常数，不妨设，则 ，所以 ，从而质心坐标为。例5:求位于两圆和之间的均匀薄片的质心。解：如图所示： 因为闭区域对称于轴轴，所以质心，必位于轴上，于是。 再按公式计算，由于闭区域位于半径为1和半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两圆面积之差，即。再利用极坐标计算积分 因此 所以质心是。1.4转动惯量1.4.1平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域，面密度为，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:1.4.2物体的转动惯量若
6、物体占有空间闭区域，体密度为，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:例6：求半径为的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。 解:建立坐标系如图所示: 又半圈薄片的质量 .例7：求均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量。解:取球心为原点, 轴为轴,设球所占域为则1.5引力1.5.1平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域，面密度为，质量为的质点位于，设薄片对质点的引力为，则, 其中,为引力常数.1.5.2物体对质点的引力若物体占有空间闭区域，体密度为，质量为的质点位于，设薄片对质点的引力为，则其中,为引力常数.例8：求一高，底面半径为的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。解:以圆锥的
7、顶点为原点,对称轴为轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为， 设密度为，所求用微元法讨论，在圆锥任意一点处取微元，则此小块质量为，它对原点处单位质点引力为：，其中由对称性可知，因为，所以，从而所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为。例9：求半径为的均匀球对位于点的单位质量质点的引力.解：利用对称性知引力分量II.重积分小谈2.1积分学与微分学积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单的认识。对复杂的认识，我们必
8、须基于极限这种思想去处理。可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。2.2浅谈积分学思想积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。在此，我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。一重积分，即定积分，通过NewTon.Leibniz公式处理，关键是确定原函数，即不定积分。二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别可基于型型区域去处理。型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影。只不过不同的对象可
9、能有所区别，需要具体问题具体分析。三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或着先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是，定出这些重积分的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力等的过程。2.3浅谈积分学的计算直角坐标系下的二重积分
10、、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的），则可以回到NewTon Leibniz公式。三重积分的先一次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影，但我们一般向平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量，如具有明确上下限，而由所确定的平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。主要适用于：球体，半球体，锥体，椭球体，以及类形体。关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此，换元后微元都发生了改变，（这是尤为要强调记住的）。其它过程则跟直角坐标系下一致。平面极坐标主要适用于积分的区域有：圆域，环域，扇形域，
11、及类区域。柱面坐标本质是对某一个变量，如，用直角坐标系表示，对用平面极坐标表示。强调当用极坐标表示后，也要用半径跟角度表示。其主要适用于：圆柱，圆锥，球体，半球体，等类形体。关于空间极坐标，其主要适用于圆锥，球体，半球体。总之，所有计算方法，都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示，主要注意在不同坐标系下的微元即可。以上仅是我个人在学习重积分以后的一些想法，如果有谈的不适的地地方，请大家多多指教，谢谢。参考文献：1 王贵鹏. 数学分析M. 北京：高等教育出版社, 2001, 6.2 田国华. 数学分析辅导及习题全解M. 北京：人民日报出版社, 2007, 8.3 骆一丹. 辅导及习题精解M. 上海：同济大学出版社，2004, 7.4 同济大学数学教研组. 高等数学学习方法指导书M. 上海：同济大学出版社，1981, 10.5 闫晓红, 王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解M. 北京：中国时代经济出版社, 2006, 3.6 强文久, 李元章, 黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法M. 上海：高等教育出版社,1989, 4.7 同济大学数学系. 高等数学M. 北京：高等教育出版社，2007，6.
