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1、一次函数知识点总结与典型例题知识点一：变量、常量及函数定义函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 x的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为是 x 的函数。【注：判断 y 是否为 x 的函数，只要看 x 取值确定的时候， y 是否有唯一确定的值与之对应】例 1 、下列函数关系式中不是函数关系式的是（D ）x、y 各表示什么】 关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方数大于等于零； 当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零； 当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围一般为非负数。例
2、 1、函数 y 1 的自变量 x 的取值范围是例 2、函数 y x 3的自变量 x 的取值范围是x3例 3、函数 y （x 2） 例 1 、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间 x（小时）之间关系的函数图象，小强9 点离开家， 15 点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？（3 ）返回时平均速度是多少？解;（ 1） 小强到离家最远的地方需要 12小时：此时离家 30km.（ 2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是1510.5= 10km/h7 km
3、/h（3 ）返回时平均速度是 30（ 15-13 ） =15km/h知识点四、一次函数和正比例函数的定义 正比例函数定义： 一般地，形如 y=kx（k 是常数， k0） 的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数 .【注：正比例函数一般形式 y=kx k 0 x 的指数为 1】 一次函数定义： 一般地，形如 y=kx b（k,b 是常数， k0） ，那么 y叫做 x的一次函数 .当 b=0时， y=kx b即y=kx ，所以说正比例函数是一种 特殊的一次函数 . 【注：一次函数一般形式 y=kx+b k 0 x 指数为 1 b 取任意实数】 k2 例 1 函数 y （k 1）xk k 1 是
4、一次函数，则 k 值为 k=1 . 例 2 函数是 y （m2 m）xm 1 正比例函数，则 m值为 m=-2 。的自变量 x 的取值范围是 知识点三、阅读函数图像【注：阅读函数图像时必须先弄清楚知识点五：专题 1 一一次函数 y=kx+b 中 k、b 的作用k- 决定了直线大致经过的象限及一次函数的性质：k0 直线经过第一、 三象限， y随x的增大而增大； k0直线与 y轴的正半轴相交； b0,n 0,n2 C. m 0,n2 D. m 2一次函数 y=kx+b 与 x 轴的交点例 2、如果 ab 0,bc 0,那么一次函数 ax by c 0 的图像的大致形状是（ A ）令 y=0，则 k
5、x+b=0 ，解出 x 即为直线与 x 轴的交点的横坐标。一次函数 y=kx+b 与 y 轴的交点 令 x=0，则 y=b, 即直线与 y 轴交点坐标为（ 0， b）两个一次函数 y=k1x+b1 与 y=k 2x+b2的交点 联立 y=k 1x+b1 组成关于 x、y 的二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标 y=k 2x+b 2例 1、一次函数 y= -2x+4 的图象与 x 轴交点坐标是（ 2，0），与 y 轴交点坐标是 （0,4） 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 4例 2 、两直线 y=2x-1 与 y=x+1 的交点坐标为（ D ）A（2，3）B（ 2， 3）C（ 2， 3）D（2
6、，3）知识点七：专题 3 一一次函数解析式的确定待定系数法确定一次函数解析式 先设出一次函数解析式为 y=kx+b 只需两个点的坐标代入建立 k 与 b 的二元一次方程组 解出 k、b 即可。1）求两个函数的解析式（2）求 AOP的面积例 1、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点P（-2, 2 ），一次函数与 x 轴、y 轴交与 A、B两点，且 B（0，6）正比例函数解析式为： y=-x把 p(-2,2) B(0,6)代入 y= y=k 1x+b，得-2 k 1+b=2k 1=2b=6 b=6一次函数解析式为：y=2x+6(2) 令 y=0, 则 2x+6 =0 x=-3 A(-3 ， 0)
7、OA=3把 p(-2,2) 代入 y=kx ，得 -2k=2 k=-1 AOP的面积 =1 OA OB= 1 3 6=9 22解 ;（1） 设正比例函数、一次函数的解析式分别为y=kx,y=k 1x+b例 2、 求与直线 y=-2x+3 平行，且经过（ 2，-2 ）的直线的解析式。解: 设直线的解析式为 y=kx+b直线与 y=-2x+3 平行 k=-2把（ 2， -2）代入 y=-2x+b, 得-2 2+b=-2b=2设直线的解析式为 y=-2x+2知识点八：专题 4 一一次函数与方程方程组一次函数与一元一次方程 一次函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程kx+
8、b=0 的解一次函数与二元一次方程组两个一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b 2 的交点坐标即为二元一次方程组y=k 1x+b1 的解y=k2x+b2例 1、一次函数 y=kx b的图象如图所示，则方程 kx+b=0 的解为（ C ）Ax=2 B y=2 C x=-1 D y=-1例 2、若函数 y=x+b 和 y=ax+3 的图象交于点 P，则关于 x、 y 的方程组 y x b 的解为 y ax 3知识点九：专题 5 一一次函数与不等式一次函数值大于（小于） 0 由直线与 x 轴交点的横坐标数形结合分析。两个一次函数的大小 例 1 、如图，直线y=kx+b（k 0）与 x 轴交于
9、点（ 3,0 ），关于 x 的不等式 kx+b 0 的解集是（A x 3B x 3C x 0D x 0例 2 、如图，函数y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于 A（m，3）, 则不等式 2x ax+4 的解集为 （ ）Ax32B x 3知识点十：专题 6 一一一次函数的平移与翻折一次函数的平移一次函数的翻折口诀“上加下减，左加右减” 沿 x 轴翻折将 y 换成“ -y注：上下是指在表达式的尾部加减，左右是指在 x 上加减】 沿 y 轴翻折将 x 换成“ -x ”y 3 x 1例 1 、直线4 向下平移 2 个单位，再向左平移1 个单位得到直线3yx4例 2 、直线 y= -3x+7 关于
10、x 轴对称的直线解析式为 y=3x-7 ; 关于 y 轴对称的直线解析式为 y=3x+7知识点十一：专题 7 一一一次函数的应用例 1、【新疆 2014年中考试题】 如图 1所示，在 A，B两地之间有汽车站 C站， 客车由 A 地驶往 C站，货车由 B 地驶往 A 地两车同时出发，匀速行驶图 2 是客车、货车离 C 站飞路 程 y 1，y2（千米）与行驶时间 x（小时）之间的 函数关系图象（1）填空： A， B 两地相距千米；（2）求两小时后，货车离 C站的路程 y2与行驶时间 x 之间的函数关系式；（3）客、货两车何时相遇？解：（ 1）填空： A，B两地相距 420 千米；2）由图可知货车的
11、速度为 602=30 千米/ 小时，货车到达 A地一共需要 2+36030=14 小时，设 y2=kx+b，代入点（ 2，0）、（14， 360）得，解得，所以 y2=30x 60；由两条直线的交点向 x 轴作垂线将平面分成两部分数形结合分析3）设 y1=mx+n，代入点（ 6，0）、（0， 360）得解得 ，所以 y1=60x+360由 y1=y2得 30x 60= 60x+360 解得 x=答：客、货两车经过 小时相遇例 2、某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售甲店标价477 元克，按标价出售，不优惠乙店标价530 元克，但若买的铂金饰品重量超过 3 克，则超出部分可打八折出售 分别写出到甲、
12、乙商店购买该种铂金饰品所需费用 y （元）和重量 x （克）之间的函数关系式； 李阿姨要买一条重量不少于 4 克且不超过 10 克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？解：(1) y 甲=477x y530乙= 530x (x 3)3+530 0.8 ( x-3 ) (x 3)即： y 乙= 530x424x+318 (x(x3)3)(2) 当 y 甲= y 乙时， 477 x=424x+318x=6即：买该种铂金饰品重量为6 克时甲乙两商店一样。当y 甲y乙时，477 x 424x+318 x 6即：买该种铂金饰品重量在4xy乙时，477 x 424x+318 x6 即：买该种铂金饰品重量在
13、6x10 时到乙商店购买最合算例 3、【新疆 2012 年中考试题】库尔勒某乡 A，B 两村盛产香梨， A 村有香梨 200 吨， B村有香梨 300 吨，现将这些香梨运到 C，D两个冷藏仓库。已知 C仓库可储存 240 吨，D仓库可储存 260 吨，从 A村运往 C，D两处的费用分别为每吨 40元和 45 元；从 B村运往 C，D两处的费用分别为每吨 25 元和 32 元。设从 A村运往 C仓库的香梨为 x 吨， A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为 yA 元， yB 元。（1）请填写下表，并求出 yA， yB与 x 之间的函数 关系式；2）当 x 为何值时， A村的运费较少？ 3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。解：（ 1）填写如下：CD总计Ax吨（200x）吨200 吨B（240x）吨（60+x）吨300 吨总计240 吨260 吨500 吨由题意得： yA=40x+45（200x）= 5x+9000； yB=25（ 240 x） +32（ 60+x）=7x+7920；（2）对于 yA=5x+9000 （0x200） ，k= 5 0， 此一次函数为增函数， 则当 x=0时， W 有最小值， W 最小值为 16920元
