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1、ABSTRACTTwo-state systems have two independent quantum states and can be described in a two-dimensional Hilbert space. In this paper, we introduce the concept of two-state systems and enumerate two typical examples, the polarization of light quantum and the electron spin. We represent how to study a
2、 two-state system generally and how to deal with problems using matrix algebra. We study ammonia molecule system in depth using the Schrdinger equation, write the matrix form of the equation by matrix algebra, and we can get the energy eigenvalues and eigenfunctions, the probability amplitude oscill
3、ation between two basis states of the system. We also introduce the level jump of the two-state systems in field, the quantum resonance happens when the frequency of the field is resonant frequency. At last, we introduce two applications of the two-state systems, one is the ammoina master, the other
4、 is nuclear magnetic resonance. Key words：two-state systems; the polarization of light quantum; electron spin; ammonia molecule; the matrix form of the Schrdinger equation; quantum resonance; ammoina master; nuclear magnetic resonance1.引言1.1双态量子系统的概念量子态可以用希尔伯特空间中的一个矢量表示，一种非常简单的情况就是量子态矢量可以在二维的希尔伯特空间中
5、表示，这样的量子态系统称为双态量子系统。双态量子系统是一种具有两个相互独立的量子态的量子系统，典型的双态系统如氨分子的两种结构对应的两个量子态，构成双态量子系统；自旋为的粒子，其自旋态可由自旋分量的本征态，为态基表示；光子以与光轴成角入射电气石晶体，其可能被吸收，也可能无阻碍的通过，光子的偏振态，可由平行于光轴的偏振态和垂直于光轴的偏振态迭加表示，这是一个双态量子系统。这些都是典型的双态系统。1.2具体的描述下面对光子的偏振态和电子的自旋态两个例子进行具体的叙述。1.2.1光子的偏振态将一束偏振光入射电气石晶体，其偏振面与电气石晶体光轴垂直，光会全部通过，偏振面与光轴平行，光被晶体吸收。偏振面
6、与光轴成角，光会部分通过，通过的光强与入射光强之比为sin2。如果上述实验中的一束光仅含有一个光子，得到的结果是垂直于光轴方向偏振的光子会通过晶体，平行于光轴方向偏振的光子会被晶体吸收。与光轴成角偏振的光子则可能被吸收也可能通过晶体，进行多次这样的实验，发现通过的光子数与全部光子数的比例是sin2。量子力学对上述实验的描述是将垂直于光轴方向偏振和平行于光轴偏振的光子的偏振态作为两个独立的量子态垂直偏振态和平行偏振态，任一其他的偏振态可由这两个偏振态迭加表示。偏振方向与光轴成角的光子通过晶体时可能表现出垂直偏振态，也有可能表现出平行偏振态，所以可能通过也可能被吸收。将垂直偏振态和平行偏振态用和表
7、示，任一偏振态用表示，a是光子任一偏振态在垂直偏振态上的概率幅，其模平方是测量中光子处于的概率。b是光子在态上的概率幅，是测量中光子处于态的概率。由实验我们可知a=sin，所以1.2.2电子的自旋态电子置于磁场中，与磁场发生作用，在施特恩盖拉赫实验中我们知道，其作用方向是与磁场方向相同或相反。电子自旋产生磁矩会与磁场发生作用，作用力与磁场方向相同其自旋为态，相反为态。电子的任一自旋态可以由这两个相互独立的自旋态迭加表示，其与磁场发生作用时自旋态可能表现为态或态1。用表示电子的任一自旋态是电子自旋态在态上的概率幅，是测量中电子处于自旋态的概率。是电子自旋态在态上的概率幅，是测量中电子处于自旋态的
8、概率。m，n满足1.3双态量子系统的研究方法研究一个双态量子系统，例如一个偏振方向与电气石晶体光轴成角入射的光子，我们研究的目的是光子被晶体吸收的概率与光子无阻碍通过的概率是多少，以及他们的变化规律。即要研究光子的偏振态在平行偏振态上的概率幅和垂直偏振态上的概率幅以及他们之间的关系。所以我们要关注的是系统量子态处于其两个独立量子态上的概率幅及其变化规律。在理论处理上，一般采用这样的方法，系统的量子态可以在二维的希尔伯特空间中表示，系统中两个独立的量子态归一化后可作为空间中的一组态基。将系统的量子态用这两个态基分解表示，那么就得到系统量子态在这两个态上的概率幅，再代入薛定谔方程，就可以解出概率幅
9、的具体表达式。在数学处理上我们利用矩阵代数可以将方程化为矩阵形式，再求解。一个多能级的量子系统，在特定情况下只需考虑其中的两条能级，这样就变成一个双态量子系统2，本文讨论的氨分子就是这样的情况，在这里说明清楚。氨分子中的氮原子能够穿过三个氢原子构成的平面，即在氢原子平面形成的势场中运动3，计算可得到系统的能级分布，其能级数据为，(是所有其它的能级)，并且，2A10-4ev，2A1 510-3ev，E1-E00.12ev4。在热平衡条件下的氨分子气体，根据玻尔兹曼分布律在时，1，10-6，1由以上结果可知，100K的氨分子气体中氨分子处于,之外能级的概率非常小，可近似看作系统只有两条能级,5。本
10、文讨论的便是处于这样条件下的氨分子。在这种情况下系统的任一量子态可由两个能量本征态线性迭加得到，也可将氨分子两种结构对应的量子态作为一组态基。氨分子具有n条能级，量子态矢量所在的希尔伯特空间是n维的，经过上述近似后，其就可以在一个二维的希尔伯特空间中表示。2.一个典型的双态量子系统2.1氨分子氨分子是一种比较简单和典型的双态量子系统，通过对氨分子的研究，我们能了解处理双态系统的一般方法和双态系统的性质。氨分子的具体结构如图所示6：HHHHHHNN 图2.1 氨分子的两种结构一个氮原子与三个氢原子构成一四面体，其稳定结构有两种形式，其中下面的结构中氮原子的位置是上面的结构中氮原子在三个氢原子平面
11、的镜像对称位置，这是两种不同的结构，这两种结构对应两个独立的量子态，设为、。这是一个双态量子系统，这两种结构有相同的能量E0。将系统的量子态用表示，薛定谔方程为 （1）将态、归一化，、可作为一组正交归一化的态基，将在、态上分解， （2）其中，=1，2，Ci即是系统量子态处于、态的概率幅将（2）式代入（1）式右边，得到进一步用左失（=1，2）乘等式两端，得到 （3）将（3）式写成矩阵形式为 （4）、态对应的经典能量为E，其量子表示为，即由于哈密顿算符是厄米的可以假设，为一实数，那么式变为 （5）可以分开写成我们可以通过以下的变换，找到系统的能量本征值和本征态，将两式分别相加和相减，得到 （6）
12、（7）从上式可知系统能量本征值为E0+A，E0-A，令， （8）即，可得，、是系统的能量本征态（6），（7）式变为 （9） （10）由（9），（10）式可解得 ， （11），皆为定值，即，是定态概率幅，系统处于能量本征态的概率不变7。由（8）式可得， （12） （13）C1，C2不是定态概率福，系统处于、态的概率是变化的。假设系统的初始状态是处于态，即时，C1=1，C2=0，可得，代入（12），（13）式， （14） （15）系统处于、态的概率为 （16） （17）其变化规律用图像表示为P图2.2 氨分子概率振荡曲线 由图2.2可知，系统处于、态的概率是振荡变化的，其对应的经典图像可以理解为一
13、个初始状态为态的氨分子，其氮原子穿过氢原子势垒，到达氢原子平面的另一侧形成稳定结构的概率为。要考察系统处于、态的概率的具体变化过程，可以对（16），（17）式作短时近似处理，可以这样来理解上式，原来处于纯态的系统，时间后会有大小的概率跃迁至态，跃迁的概率幅度为，即单位时间跃迁的概率幅为。2.2双态系统中的能级跃迁在处理实际问题时，一个系统往往不只有两个能级，但如果有两个靠的很近的能级，它们到其他的能级的间隔要大的多，在特定的情况下，我们只考虑这两个能级，那么这也是一个双态系统问题。假设在一个原子中，我们只考虑某两条相邻的能级，其能量本征值为Ea和Eb。将系统的量子态在两个能量本征态上分解表示，
14、代入薛定谔方程，可得形式如（3）式的方程，由能量本征态的正交归一性，可得即，薛定谔方程的矩阵形式为 （18）在外场作用下，电子可能会发生能级之间的跃迁设外加电场为，以原子核为坐标原点，电子的势能为 ，系统的哈密顿算符，是无外场时的哈密顿算符，矩阵形式为其中，薛定谔方程为 （19）即 （20） （21）上式的解在无外场时具有与（11）式相同的形式，包含，项，加外场时，解的形式为，代入（20），（21）式，得其中是两条能级之间跃迁发出的光子的圆频率，上式中+0，频率较大，振动快，-0频率小，振动慢，较长一段时间内振动频率快的，其平均作用效果近似为0，所以可以将上式中的+0，项忽略不计，简化为在电子
15、的状态是处于Ea低能级的初始条件下，解得其中 （22） （23）P是t时间内电子从低能级跃迁到高能级的概率，现在研究外电场频率刚好与系统能级跃迁发出的光子频率相等时的情况，即， （24） （25）图像见图2.3由图2.3可知，系统初始状态处于E低能级态，P=1，C=1，在时，系统完全处于高能态。电子在两个能级态上概率幅的变化达到最大，我们可以将系统在两个能级态上的概率幅看作是来回振荡变化的。外电场频率=0时，概率幅的振荡达到最大，这称为量子共振现象。与经典力学中的共振现象类比，一个固有频率为0的系统，受到一个频率为的外力扰动，当逐渐接近0时，系统的振幅逐渐变大，=0时，振幅达到最大，这时系统与
16、外界的能量交换效率也达到最大。P图2.3 量子共振图像3 双态量子系统的应用3.1氨分子频标双态量子系统两条能级之间的跃迁会发出频率高度稳定的信号，可作为频率标准，这称作量子频标。量子频标可用于精确的时间计量，其精确度是目前所有计量手段中最高的。第一个在实验上实现的量子频标是氨分子频标，其利用的装置如下8。输出谐振腔输入氨分子源FOCUSER氨分子束图3.1 氨分子激射器 氨分子射出后会经过一个装置，其横截面如图9，图3.2 FOCUSER装置横截面图这是一个电四极装置10。在电磁场中氨分子有一个电偶极矩元素与两个能态相联系，图中的装置是要挑选出处于高能态的氨分子。在电四极电场中，中间电场弱，
17、边缘电场强。处于高能态的氨分子会通过该装置到达谐振腔，低能态的氨分子则会被分离开11。在谐振腔内，如果一个氨分子发生能级跃迁，其发出的频率为共振频率的光子，会留在谐振腔内，激发其他分子发生能级跃迁，跃迁产生的光子又会激发新的能级跃迁，这样整个过程速度会越来越快，类似于核反应堆中的链式反应12。我们可以向谐振腔内输入微波，用于激发氨分子的能级跃迁，在输出端会得到放大的频率为共振频率的微波，其带宽可以达到10-3Hz13，氨分子共振中心频率约为24000MHz，相对带宽为10-13数量级，这样就得到了频率高度稳定的微波信号14。3.2核磁共振恒磁场中的原子束，加一个交变磁场，原子核会发生能级之间的
18、概率跃迁，设在Z方向加恒磁场，X方向加交变磁场，哈密顿矩阵为薛定谔方程为其解与（22）式类似，初始状态为态，t时刻后处于态的概率为其中P是振荡变化的，当时，有最大振幅，发生共振，共振时对外界能量吸收最大。实验上，测得核磁共振的吸收曲线，其吸收峰处对应着共振情形。在实际中，测得物体的核磁共振曲线，可以对其结构进行分析。医学家们利用人体中水分子的氢原子的核磁共振，可以获取人体内水分子分布的信息，从而精确绘制人体内部结构。其方法是将人体置于静磁场中，用无线电射频脉冲激发人体内氢原子核，引起氢原子核共振，并吸收能量。在停止射频脉冲后，氢原子核按特定频率发出射电信号，将吸收的能量释放出来，在体外用接收器记录，经计算机处理可获得核磁共振图像15。
