拉普拉斯变换27530.doc

《拉普拉斯变换27530.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《拉普拉斯变换27530.doc（30页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、14 拉普拉斯变换重点：1. 拉普拉斯反变换部分分式展开2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤4. 网络函数的的定义和极点、零点的概念； *5. 网络函数的零点、极点与冲激响应(ch7)的关系； *6. 网络函数的零点、极点与频率响应的关系难点： 1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用*3. 零点、极点与冲激响应的关系 *4. 零点、极点与频率响应的关系本章与其它章节的联系：1.是前几章基于变换思想的延续。2.是叠加定理的一种表现预习知识：积分变换 卷积积分学时安排：教学方式：课件：

2、参考资料：141 拉普拉斯变换的定义1. 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。2. 拉普拉斯变换的定义一个定义在 0,+) 区间的函数 f(t) ，它的拉普拉斯变换式 F(s) 定义为 式中s=+j为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。由 F

3、(s) 到 f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中 c 为正的有限常数。 注意：1）定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即： 它计及 t=0- 至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。2）象函数 F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t),u(t)。3）象函数 F(s) 存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1) 单位阶跃函数的象函数 2) 单位冲激函数的象函数 3) 指数函数的象函数 142 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。 表 14-1 拉氏变换的若干性质和

4、定理 特性和定理 表 达 式 条 件 和 说 明 线性 a 、 b 为常数 位移特性 时域延迟 为一非负实数 频域延迟 微分 若所有初值为零，则有积分 初值定理 或 存在终值定理 或 所有奇点均在 s 平面左半部 卷积定理 为 与的卷积 应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。 表 14-2 拉氏变换简表 1 Cos at Sin( at ) Cosh at Sinh( at ) 例14-1 已知 ，求函数 的像函数。解：例14-2 已知 ，求 f(t)= 的象函数。 解： 根据积分性质和时域延迟性质 例14-3 求函数 的像函

5、数。 解： 例14-4 求函数 的像函数。 解： 根据微分性质，因为 ，所以 例14-5 求函数 的像函数。 解： 例14-6 求 的像函数。 例14-7 求函数 的像函数。 143 拉普拉斯反变换的部分分式展开 1拉普拉斯反变换法 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有：1） 利用公式 2) 对简单形式的 F(S) 可以查拉氏变换表得原函数 3) 把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。 则 2. 部分分式展开法用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将展开成部分分式，成为可在拉氏变换表中查到的 的简单

6、函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数。设 ，的阶次不高于的阶次，否则，用除 ，以得到一个的多项式与一个余式（真分式）之和。部分分式为真分式时，需对为分母多项式作因式分解，求出=0的根。设象函数的一般形式： 即 F（s）为真分式。下面讨论 =0 的根的情况。 1） 若=0 有 n 个不同的单根 p1、p2pn 。利用部分分式可将F(s)分解为： 待定常数的确定： 方法一：按 ， i =1, 2, 3, , n 来确定。 方法二：用求极限方法确定ai的值 得原函数的一般形式为： 2） 若=0有共轭复根和 ，可将F(s)分解为： 则， 因为F(s)为实系数多项式之比，故和为共轭复数。设， 3） =

7、0 的具有重根时，因含有 的因式。 则， ； ； ；总结上述得由 F(s) 求 f( t) 的步骤： 1） n = m 时将 F(s) 化成真分式和多项式之和； 2） 求真分式分母的根，确定分解单元； 3） 将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数； 4） 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。例14-8 已知 求原函数 解法一： 设 其中 所以 解法二 例14-9 已知 求原函数 。 解： 因为 的根为： 所以 例14-10 已知 ，求原函数 解： ； ； ； 则， 例14-11 已知 ，求原函数 。 解： 原式 所以 144 运算电路 应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算

8、法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出 R 、 L 、 C 单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出 复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法 与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。1. 电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示： 把时间函数变换为对应的象函数： 得基尔霍夫定律的运算形式： 2.电路元件的运算形式 根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算

9、形式。1) 电阻 R 的运算形式 图 14.1（a） 图14.1(a)所示电阻元件的电压电流关系为：u=Ri，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件 VCR 的运算形式： 或 根据上式得电阻 R 的运算电路如图（b）所示。 图 14.1（b）2) 电感 L 的运算形式图14.2(a)所示电感元件的电压电流关系为 两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件 VCR 的运算形式： 或 根据上式得电感L的运算电路如图(b)和图(c)所示。图中表示附加电压源的电压，表示附加电流源的电流。式中分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。 图 14.2（a） 图 14.2（b） 图 14.2（c） 3) 电容

10、C 的运算形式图14.3(a)所示电容元件的电压电流关系为： 两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件 VCR 的运算形式： 或 根据上式得电容 C 的运算电路如图(b)和图(c)所示。图中表示附加电流源的电流，表示附加电压源的电压。式中 分别为电容的运算阻抗和运算导纳。 图 14.3（a）图 14.3（b）图 14.3（c）4) 耦合电感的运算形式图14.4（a）所示耦合电感的电压电流关系为： 两边取拉普拉斯变换，得耦合电感 VCR的运算形式：图14.4（a） 根据上式得耦合电感的运算电路如图(b)所示。图中和都是附加电压源。式中 分别称为互感运算阻抗和互感运算导纳。 5) 受

11、控源的运算形式图14.5（a）所示 VCVS 的电压电流关系为： 两边取拉普拉斯变换，得运算形式为： 图14.4（b）根据上式得 VCVS 的运算电路如图（b）所示。 图14.5（a） 图14.5（b）3. 运算电路模型 图14.6（a）图14.6（b）图14.6为RLC 串联电路，设电容电压的初值为，电感电流的初值为，其时域方程为： 取拉普拉斯变换，得运算方程 或写为 即： 上式称运算形式的欧姆定律，式中称运算阻抗。根据上式得图（b）所示的运算电路。因此，运算电路实际是：（1） 电压、电流用象函数形式（2） 元件用运算阻抗或运算导纳表示；（3） 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。例14

12、-12 给出图（a）所示电路的运算电路模型。已知 例 14-12 图（a）例 14-12 图（b）解： 运算电路如图（b）所示。 例14-13 给出图（a）所示电路的运算电路模型，已知 t=0 时打开开关。 例 14-13 图（a）例 14-13 图（b）解：由图（a）可知：uc(0-)=25V，iL(0-)=5A，则运算电路模型如图（b）所示。 注意图中的附加电源。145 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤为： 1. 由换路前的电路计算 uc(0-) , iL(0-) 。 2. 画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。 3. 应用电路分析方法求

13、象函数。 4. 反变换求原函数。 注意：1）运算法直接求得全响应；2）用 0- 初始条件，跃变情况自动包含在响应中；例14-14 电路如图（a）所示，开关 S 原来闭合，求 S 在 0 时刻打开后电路中的电流及电感元件上的电压。其中，R1=2，R2=2，L1=0.3H，L2=0.1H，Us=10V 。 例 14-14 图（a）例 14-14 图（b）解：图（b）是开关 S 打开后的运算电路图。 L1 中的初始电流为 Us/R1=5A 。则 故 A 所以 V V例14-15电路如图(a)所示，t=0 时刻开关 S 闭合，用运算法求 S 闭合后电路中感元件上的电压及电流。已知 。 例 14-15

14、图（a）解： (1)首先计算初值由已知条件和图(a)得： (2)画运算电路如图(b)所示。其中 例 14-15 图（b） (3)应用回路法，回路电流方向如图示，得回路方程： 从中解得： (4) 反变换求原函数有三个根： 令 注意： 例14-16 电路如图（a）所示，已知，用运算法求电路中电容元件上的电压及电流。 例 14-16 图（a）例 14-16 图（b） 解： 由已知条件知：，运算电路如图（b）所示。有： 例14-17 电路如图（a）所示，t=0 时打开开关 k , 求电流 i1,i2。 已知： 例 14-17 图（a）例 14-17 图（b）解： 由 图（b）所示的运算电路得： 所以

15、14.6 网络函数的定义 1. 网络函数的定义 电路在单一的独立激励下，其零状态响应 r(t) 的象函数 R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比定义为该电路的网络函数H(s)，即： 2 网络函数的类型 设图 14.1 中，为激励电压、为激励电流；为响应电压、为响应电流。 根据激励 可以是独立的电压源或独立的电流源，响应 可以是电路中任意两点之间的电压或任意一支路的电流，故网络函数可以有以下几种类型： 图 14.1 驱动点阻抗： ； 驱动点导纳： ； 转移阻抗： ； 转移导纳： ；电流转移函数： ； 电压转移函数： 。 注意： 1）根据网络函数的定义，若 E(s)=1 ，即e(t)=(t)，

16、则 R(s)=H(s) ，即网络函数就是该响应的象函数。所以，网络函数的原函数 h(t) 为电路的单位冲激响应，因此如果已知电路某一处的单位冲激响应 h(t) ，就可通过拉氏变换得到该响应的网络函数。 2）网络函数仅与网络的结构和电路参数有关，与激励的函数形式无关，因此如果已知某一响应的网络函数 H(s)，它在某一激励 E(s) 下的响应 R(s) 就可表示为R(s)=H(s)E(s)例141 图示电路中，已知时，。求时， 例 14-1 图解： 网络函数 = 当 时， 所以 例142 图示 电路激励 i(t)= d(t) ，求冲击响应 h(t) ，即电容电压 uC(t) 。 例 14-2 图（

17、a）解： 电路的运算图如图（b）所示，有： 例 14-2 图（b） 注意：H(s) 仅取决于网络的参数与结构，与输入E(s)无关，因此网络函数反映了网络中响应的基本特性。例143 图(a)所示电路激励为，响应为 求阶跃响应 。 例 14-2 图（a）例 14-2 图(b) 解： 电路的运算图如图（b）所示，有： 14.7 网络函数的极点和零点 网络函数的 H(s) 的分母和分子都是 s 的多项式，故一般形式为 其中，H0是一个常数，zi(i=1,2,m )是N(s)=0 的根，pj(j =1,2, n)是D(s)=0 的根。当s =zi时，H(s)=0，故zi(i =1,2, m )称为网络函

18、数的零点；当s =pj时，H(s)=，故 pj( j=1,2, n )称为网络函数的极点。在复平面（也称为 s 平面）中， H(s) 的零点用“ ”表示，极点用“ ”表示，构成网络函数的零、极点分布图如图 14.2 所示。 图 14.2例 14-4 图例144 已知网络函数， 绘出其极零点图。解： 即 的零点为： 即 的极点为： 零极点图如例 14-4 图所示。 14.8 零点、极点与冲激响应H(s) 和 E(s) 一般为有理分式，因此可写为 式中，而、都是 s 的多项式。用部分分式法求响应的原函数时，的根将包含和的根。 令分母D(s)=0，解出根pi,( i=1, n )， 同时，令分母Q(

19、s)=0，解出根 pj,(j=1, m ) 。那么， 则响应的时域形式为： + 其中响应中包含的根，属于自由分量或瞬态分量；响应中包含的根（即网络函数的极点），属于强制分量。因此，自由分量是由网络函数决定的，强制分量是由强制电源决定的。可见，D(s)=0 的根对决定R(s)的变化规律起决定性的作用。由于单位冲激响应h(t) 的特性就是时域响应中自由分量的特性，所以分析网络函数的极点与冲激响应的关系就可预见时域响应的特点。若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为： 上式说明： 1)若的极点 都位于负实轴上，为负实根时，为衰减指数函数，则将随t 的增大而衰减，称这种电路是稳定的；若有一

20、个极点为正实根时，为增长的指数函数，则将随t 的增长而增长；而且越大，衰减或增长的速度越快，称这种电路是不稳定的。 2)当极点 为共轭复数时，由于 是以指数曲线为包络线的正弦函数，其实部的正或负确定增长或衰减的正弦项。 3)当 为虚根时，则将是纯正弦项。 图14.3画出了网络函数的极点分别为负实数、正实数、虚数以及共轭复数时，对应的时域响应的波形。注意：仅由网络的结构及元件值确定，因而将称为该网络变量的自然频率或固有频率。图 14.3例145 已知网络函数有两个极点分别在 s=0 和 s=-1 处，一个单零点在 s=1 处，且有 ，求 H(s) 和 h(t）。 解： 由已知的零、极点可知： 所

21、以 由于 ， 解得： k =-10 所以 14.9 零点、极点与频率响应令网络函数 H(s) 中复频率 s 等于 j ，分析 H(j) 随 变化的情况，就可预见相应的网络函数在正弦稳态情况下随 变化的特性。对于某个固定的，H(j)通常为一个复数，可表示为 / 式中， 为网络函数在频率 处的模值， 随频率 变化的关系为幅度频率响应，简称幅频特性； 随频率 变化的关系为相位频率响应，简称相频特性。由于： 所以幅频特性为： 相频特性为： 若已知网络函数的极点和零点，则按上式便可计算对应的频率响应，同时还可通过s 平面上零极点位置定性描绘出频率响应。例146 定性分析图（a）所示 RC 串联电路以电压

22、 uC 为输出时电路的频率响应。 例 14-6 图（a）解： 网络函数 ， 极点为 令 sj，则 或写为： H(s)的极点分布见图(b)所示。由图(b)可得图(c)所示的幅频特性和(d)所示的相频特性(a) (b) (c)14.*卷积1拉氏变换的卷积定理 1）卷积积分 2）卷积定理 若 则 2. 应用卷积定理求电路响应 设 E(s) 表示外施激励，H(s) 表示网络函数，响应 R(s) 为 R(s)= H(s)? E(s) 求 R(s) 的拉氏反变换，得到网络零状态响应的时域形式 这里 e(t) 是外施激励的时域形式， h(t) 是网络的冲激响应。例147 已知图示电路 ，冲击响应 。 例 14-7 图解法 1： K1 =3 , K2 =-3 所以 解法 2 ： 例 14-8 图例148 图示电路中，R =500k，C=1F ，电流源电流 is(t)=2e-tA。设电容上原无电压。求 uc(t) 。 解： 电路的冲激响应为 则电容电压为：