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1、习题题三：求解的迭代法核心内容：1、 了解为什么已经有了直接法后，还要研究迭代法；2、 基本迭代法与近代迭代法；3、 基本迭代法不动点迭代法基本迭代法的构造：分裂迭代 迭代 迭代 4、 基本迭代法的收敛性与收敛率引理：定理：收敛5、 常用迭代法的收敛性迭代：，由此判断迭代：，由此判断至少有一个特征值为0特殊情况下，迭代、迭代、迭代的收敛性1、对角占优矩阵；2、对称正定矩阵。6、加速迭代法7、共轭梯度法 一、用迭代法、迭代法和超松弛迭代法求解，并判断收敛性。1、，讨论用迭代法、迭代法的收敛性。解：（1）迭代法迭代法发散特征方程可用原因是，故。即（2）迭代法迭代法收敛更方便地原因是，故。迭代法收敛
2、2、解：（1）迭代法特征值，故迭代法收敛。取迭代到此为止能解释这种规律吗？因（3重根），故存在非奇异矩阵使得故这是因为迭代收敛，故必为常数，此为问题的解。一般地，则，即迭代法第步为收敛！（本例迭代3步）（2）迭代法特征值，于是迭代发散。迭代法至少有一个零特征根。3、（1）用迭代法和迭代法收敛；（2）用迭代法到为止，取；（3）用迭代法，取同（2）一样的终止准则与初值；解：（1）为对角占优矩阵，故迭代法和迭代法收敛；（2）迭代格式，取迭代结果为10.60002.2727-1.10001.8752.272721.04731.7159-0.80520.88520.989830.93262.0860-1
3、.12141.13090.370144、是否可约？如果是，请求出置换矩阵。解：欲使，须找出左下角的零子块。已知中的零元素在把的第2行与第3行对换， 第2列与第3列对换，即可实现得，故是可约的。6、H为n阶实对称阵，A为n阶实对称正定阵，研究迭代格式（*）如果正定，证明：迭代格式（*）从任一初始向量均收敛.证明：如欲证（*）收敛，只需证明 设H的任一特征向量为，y为对应特征向量，即. 又正定，故对于y必有 另一方面由的正定性知故解，从而.这样就证明了，从而迭代必收敛7、矩阵A对称正定，证明：若2D-A正定，解Jacobi迭代求解Ax=b必收敛.证明：设求解Ax=b的Jacobi迭代阵，特征值为，
4、相应特征向量为y，即 两边乘D：. 两边再加上，即 故 于是 (*) 由于A正定，故. 从而D也正定; 又2D-A正定，故（*）右端为正. . 这样 则8、设矩阵A对称正定，证明迭代对任意初始向量都收敛到的解.证明：改写迭代式为显式因A对称正定，故必非奇异，有逆，故迭代阵设B的特征值为，对应特征向量为u，故，从而有为了求，在上式两边与u做内积：因A正定，故于是，即.所以该迭代收敛，且一定收敛于方程的解.9、设为对称正定矩阵，对角元素为1. 构作的高斯-塞德尔迭代（SG-S迭代）法如下：分解 证明该迭代收敛.证明：把SG-S迭代写成不动点迭代的标准形式把(1)改写为再把(3)代入(2):故欲证S
5、G-S迭代收敛，须证明.L为严格下三角矩阵 又也即故于是 在B的左右两端各乘和，得，即，注意到是正定对称矩阵，故与B的特征值皆为实数，相应特征向量也u也为实数，故B的特征向量u可写为： 把B的表达式代入：即两边做关于u的内积：左边：右边：故所以迭代收敛.10、设矩阵A非奇异，试证用Gauss-Seidel迭代求解必收敛。证明：设，因为A非奇异，故即正定正定阵为系数阵的线性方程组，用G-S迭代必收敛11、设A为正交阵，B=2I-A, 证明：线性方程组用G-S迭代必收敛.证明：分析如果证明B非奇异，即正定，则G-S迭代收敛. 而证明B非奇异的方法之一，是证明B的特征值均非零. 设为A的特征值，对应
6、特征向量为u. 即：两边与做内积： 故如果能直接的A的特征值为，则更好.B=2I-A，B的特征值不为零，从而B非奇异，从而正定.于是G-S迭代收敛.12、设求解Ax=b的迭代法收敛，试求证：对，迭代法也收敛证明：记.记B的特征值为，G的特征值为即 , 是1与的凸组合当时，当时，故于是(2)收敛.13、设矩阵A对称正定，. 证明：如2D-A对称正定，则求解Ax=b的Jacobi迭代必收敛.证明：设Jacobi迭代阵的特征值为，对应特征向量为，即： 两边加上，得：.两边与做内积，因为对称正定，恒正，A正定，故D也正定，从而 也恒定，因此又从(*)可得： 故由(+)和(+ +)得，即，从而Jacob
7、i迭代收敛.14. 给定方程组，(*)。设非奇异对角矩阵，则对，（+），使用Jacobi迭代与G-S迭代的收敛性与（*）相同。证明： 故 因此，结论成立。15. 设A为n阶对称正定阵，证明：当参数满足时，下列迭代格式收敛： k=0,1,2,证明：设A的特征值为，则迭代阵的特征值16. 证明：对任何二阶线性方程组，Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散。证明： 因此，Jacobi迭代收敛的充要条件为 1另一方面： ； ； 1可见： G-S迭代收敛的充要条件为1这样，两种迭代收敛的充要条件相同。17. 设为对称正定阵。、分别为其最大与最小特征值。给定跌带格式，k=0,1n(1) 求的范围，使迭
8、代收敛(2) 求最佳，使迭代收敛最快解：（1）方法一使迭代收敛的充要条件为：迭代矩阵的特征值为，i=1,2n欲使 ，对所有的成立，应有：方法二本迭代格式为Richardson迭代： k=0,1,选择合适的可加快迭代收敛。对于一般的A，分析比较复杂。（P147）。现在讨论特殊情况，设A为对称正定矩阵，那么A的特征值为实数，这样Richardson迭代矩阵的特征值应满足：如果 ，那么，至少有一个特征值大于1，即；如果 ，那么，特征值可能小于1为此，进一步假设A为对称正定阵，这样欲使，即，即有：， 第一个条件意味着：；第二个条件要求：综合起来为： 时Richardson迭代收敛（2）进一步问题是：什
9、么是最优参数？此问题等价于：取何值时最小？因为因此，求解极小化问题：A对称正定时，以为自变量，函数为两条直线； 以为自变量，函数为两条直线；把它们话在一张图上，取代在数域取正的斜率的部分，与数域取负的斜率的部分的变量处达到。此时： 18. 求解，其中， （1）推导SOR迭代法的迭代阵的特征值与Jacobi迭代阵的关系 （2）求出最佳的SOR迭代参数使SOR的收敛速度最快 （3）当时，SOR迭代的谱半径与A的条件数有何关系 解：（1）Jacobi迭代阵 ， SOR迭代阵 记的特征值为 因 ，故即 19. 若A为对称正定阵，、分别为其最大与最小特征值，为求解，设计若下迭代方法： （双参数Richa
10、rdson迭代）（1） 给出：上述迭代法的相容性条件（2） 找出：、，使迭代速度尽可能快。解：（1）把前一式代入后一式： 如果迭代收敛，的极限为，则应有： （*）合并同类项后有：如果矩阵为非奇异，则向量为零向量，从而为的解。而这个条件意味着，也即换言之 不是矩阵A的特征值，这就是使上述迭代相容的条件（2）（*）该迭代法的迭代矩阵是 如记A的特征值为，i=1,2,n,那么B的特征值：问题是要选择、使取最小20. 求解，已知A的特征值分布在右半平面中以（a，0）为圆心，r(ra)为半径的闭圆中，使用的迭代法为：。问能否找到实参数，使得迭代法收敛？最优参数是什么？解：还是对第17题：Richards
11、on迭代法的进一步研究。 设A的特征值，则 。（这里为复数模）那么Richardson迭代的迭代阵 的特征值则为 故迭代收敛二、根据迭代收敛条件构作收敛等价方程组。1适当调整方程组的未知数的排列顺序，使其G-S迭代收敛。解：A= 由 知再由 =2.给定Ax=b,其中A=，b=，用迭代式Richardson格式. K=0,1,2. 求解Ax=b， 问取什么实数时，可使迭代最快？解： 迭代阵 的特征方程当 0a1/2时， （B）1a=2/5时，（B）=3/5 此时收敛最快3.设实数a0，考察矩阵 .Ax=b 建立Jacobi迭代与G-S迭代的计算公式，讨论a取何值时迭代收敛。解： 当且仅当时，J法收敛，即时，J法收敛故当且仅当2a21时， G-S迭代收敛，即时，G-S收敛。4.设Ax=b:系数阵为求使Jacobi迭代收敛的a的取值范围。解：当a0时， 可得由 得5.用G-S迭代法解，其中a为实数，求使方法收敛的a应满足的条件解：6.设为不可简约弱对角化矩阵，且0w1，证明Ax=b的SOR方法收敛。证：SOR迭代的迭代阵我们的问题是求证当0w1时，即的任一特征值用反证法，设存在特征值，满足 则即因 故或即
