概率论方法在数学分析中的一些应用.doc

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1、概率论方法在数学分析中的一些应用Some applications of probability theory in the mathematical analysis 摘 要概率论作为数学的一个分支，与其他学科分支有着密切的联系，具有广泛的应用性。著名的数学家王梓坤院士在文献中1指出：“用概率论的方法来证明一些关系式或者解决其他数学分析中的问题，是概率论的重要研究方向之一。”概率论方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可以解决一些确定的数学问题2，而且某些在数学分析中很难解决的问题，只要运用合适的概率论模型或是定理，就能得到很好的解决。然而现如今多数有关概率论与数学分析联系的文献不是很全面

2、，本文归纳概括了概率论在数学分析中的应用，选择了比较典型的五类：概率论方法解决极限问题、概率论方法解决无穷级数问题、概率论方法解决积分问题、概率论方法解决恒等式问题及概率论方法解决不等式问题，而且在每一类的问题讨论中引入很多概率论中的定理和公式，清晰地阐述概率论在数学分析知识间的运用。Probability theory as a branch of mathematics has close connection with other subjects and their branches, it has wide applicability. Famous mathematician an

3、d academician Wong Chi-Kun, in his literature1 pointed out: It is one of the most important research directions to use probability theory to prove some relationship or to solve the problems in mathematical analysis.” Probability theory can not only solve some random math problems, but also can solve

4、 some identified mathematical problems2, Whats more some very difficult questions in mathematical analysis can also be well resolved by using a suitable probability theory model or theorem. However, now most literatures which related to the relationship of probability theory and mathematical analysi

5、s are not very comprehensive, This article summarized the outlines of probability theory in mathematical analysis, selected five typical themes: probability theory in solving the ultimate problem, probability theory in solving the problem of infinite series, probability theory in solving the integra

6、l problem, probability theory in solving the identity problem and probability theory in solving the inequality problem. Furthermore in order to represent a clear idea on the use of probability theory in Mathematical Analysis, this article introduced a lot of theorems and formulas related to probabil

7、ity theory when discussing every theme.关键词：贝努利模型； 正态分布； 泊松分布； 中心极限定理； 大数定理；Cauchy-Schwartz不等式； 随机变量 Keyword: Bernoulli model; normal distribution; poisson distribution; central limit theorem; law of large numbers; Cauchy-Schwartz inequality; random variable目 录引 言（4）一、概率论方法解决极限问题（5） （一）概率论方法解决极限问题概述（

8、5） （二）典型例题分析与证明（5） （三）概率论方法解决极限问题的意义（8）二、概率论方法解决无穷级数问题（9）（一）概率论方法解决无穷级数问题概述（9）（二）典型例题分析与证明（9）（三）概率论方法解决无穷级数问题的意义（14）三、概率论方法解决积分问题（15）（一）概率论方法解决积分问题概述 （15）（二）典型例题分析与证明（15）（三）概率论方法解决积分问题的意义（19）四、概率论方法解决恒等式问题（19）（一）概率论方法解决恒等式问题概述 （19）（二）典型例题分析与证明 （19）（三）概率论方法解决恒等式问题的意义 （21）五、概率论方法解决不等式问题（21）（一）概率论方法解决不

9、等式问题概述 （21）（二）典型例题分析与证明 （21）（三）概率论方法解决不等式问题的意义 （26）结 论（26）参考文献（27）致 谢（28）引 言概率论作为数学的一个分支，它与其他学科分支有着密切的联系，具有广泛的应用性。著名的数学家王梓坤院士在文献中指出：“用概率论的方法来证明一些关系式或者解决其他数学分析中的问题，是概率的重要研究方向之一。”概率论方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可通过建立适当的随机模型，进而解决一些确定的数学问题，而且某些在数学分析中很难解决的问题，只要运用合适的概率论模型，就能得到很好的解决。例如：朱显康曾在文献中写到：用概率论方法求一类正项级数的和。陆晓

10、恒曾在文献中通过建立随机模型，应用中心极限定理，证明了。王大胄在文献中证明了自然倒数平方的级数和。李慧琼, 陈振龙一同撰写的文献中就提到了构造随机概率模型证明不等式。如证明，时构造了广义贝努利概率论模型；在证明时构造了泊松分布概率模型等等。但是这些文献仅仅是一个例子或几个例子来介绍用概率方法可以处理在数学分析中的一类问题。那么到底概率方法可以处理数学分析哪些问题，目前还没有一个详细全面的介绍。所以，在查阅了很多资料之后，笔者将这些资料做了整理，归纳了概率方法在数学分析中的应用，其中主要包括用概率方法解决无穷级数问题、概率方法解决极限问题、概率方法解决积分问题、用概率方法解决不等式问题和恒等式问

11、题这五大类。 本文下面就从上述这五个方面阐述概率方法在数学分析知识间的运用，通过大量例子说明用什么概率方法解决数学分析上这四种类型的问题。这祥, 我们就能在数学分析中找到概率论的应用。在每一部分的讨论中，笔者都充分展示了概率论方法解决数学分析优越性。虽然这些问题不一定具有代表性, 但笔者认为, 这样的讨论是别开生面的、很有趣的, 其方法是独特的。下面我们仅就与本文有关的的五个方面介绍一下概率论在数学分析的应用：一、概率论方法解决极限问题（一）概率论方法解决极限问题概述极限问题是数学分析中一个贯穿始终的问题，而难题也经常出现在极限这类问题中，很多复杂的极限问题若运用数学分析中得方法解决相当麻烦，

12、而用概率论方法解决则克服了这类缺陷，在这方面，本文通过构造泊松分布，借助林德贝尔格Levy定理、中心极限定理、辛钦大数定理等概率论中的重要定理，简便直观地解决了相关的问题。以下几个例题充分展示了概率论方法解决极限问题的优势所在。（二）例题与证明例1： 设，证明。证明 设随机变量独立同分布，都服从参数为1的泊松分布，那么。设，则，则服从参数为的泊松分布。由题设知 。由林德贝尔格Levy定理得： ，。本题用中心极限定理来求原在数学分析中比较困难的所谓泊松极限问题，先把要讨论的问题与泊松分布联系起来，然后应用中心极限定理得出相应的结果。本题还有更一般的表达形式，如下题：例2（3）： 求极限。解：令，

13、考虑个相互独立的随机变量，都服从参数为的泊松分布，即，令 ，则，由题设知 ，由林德贝尔格Levy定理得 ： ， 。 当时，式变为，即为上题。 当时，因为使得成立，当时，式变为，对以上的，当时有，从而，即。 当时，因为使得成立，仿时有：，从而结论也成立。对于更复杂的求极限问题，用概率论方法也能轻松解决，如下题：例3（4）： 设，求极限。解： 设，此时记，取，的分布弱收敛于正态分布。注意到的分布密度是：。引入，则有：，于是，由独立同分布的中心极限定理，有时，而 ，所以： 。本题的极限时一个比较复杂的极限问题，用通常的数学分析的方法难以计算，但本题利用独立同分布的中心极限定理和密度极限定理求极限的方

14、法成功算出了该题的极限。例4： 求多重积分时，用普通的近似方法往往无法实现，因为这时所需的运算次数是非常惊人的。而用大数定律作为理论基础，可获得重积分（很大时）的近似值。设，求极限：。解：设随机变量在上服从均匀分布，且相互独立，则有。因为独立同分布，可见独立同分布。根据辛钦大数定律，知：，从而得：，即得：。本题为求极限与重积分的综合，通过构造个服从均匀分布的随机变量，将重积分的问题，转化为概率论问题，然后根据辛钦大数定律，获得重积分的近似值，即得到了重积分的极限。显而易见，这样的概率论方法解决这个极限难题是非常巧妙的。（三）概率论方法解决极限问题意义通过以上四个例题的证明，不难发现概率论方法解

15、决这些极限问题的简便性。在今后的极限计算或是证明中，根据概率论中的的重要分布及一些重要定理如：林德贝尔格Levy定理、中心极限定理、辛钦大数定理等，我们或许可以轻松地的解决一些复杂问题，从中我们可以感受出数学各分支间的紧密联系。二、概率论方法解决无穷级数问题（一）概率论方法解决无穷级数问题概述在这个部分，本文主要通过构造概率论模型如广义贝努力模型，并根据相关概率论模型的性质，解决了许多无穷级数问题。不仅如此，在这部分的讨论中可以发现，有时有概率论方法解题能得到更精确的结果。（二）典型例题分析与证明例1（5）： 设试计算无穷级数。解这道题可构造概率模型：袋中有一个红球和一个黑球，它们除颜色不同外

16、，没有任何差异。现随机地有返回地从袋中两次取球。即第一次从袋中任取一球，记下它的颜色后放回袋中，搅匀后再第二次取球。如果两次取出的球都是红色，那么就认为该次实验成功；如果两次取出的球颜色不相同，那么就认为该次实验失败。假如实验失败了，就必须把一只型号相同的黑球加放在袋中，再进行实验，即有返回地两次取球，如果两次取出的球是红球，则认为该次成功了；假如失败了，再把一只型号相同的黑球加入袋中，如此连续进行以至无穷，求获得成功的概率。令 ， ， ， 。显然，且， 于是：。可见就是我们想要求和的无穷级数。这样我们便把无穷级数求和问题，转换成求概率的问题，下面从另一个角度考虑，求出概率，即得到无穷级数的和

17、。在上述所构造的概率论模型中，在各次不同的实验中取出两只红球的概率依次为：，。于是在各次不同的实验中取出两只红球不全是红球的概率依次为：，故在所有各次试验中所取出的两只球不全是红球的概率为： 。因此所以有。通过构造这个摸球的概率模型将这个复杂的无穷级数问题转化为一个较为简单的概率论问题，利用这个模型的概率特性，得到了结果。今后如果碰到这种类型的无穷级数或是其他的数学分析难题，这个模型都可以作为参考，下面这个例题正是说明了这个概率模型对另一种无穷级数模型的应用。例2： 求无穷级数的值。按照数学分析中知识，我们很容易可以判断出这个级数是收敛的，但至于收敛于什么值，我们借助类似上题的概率论模型求解。

18、解：先将原无穷级数进行变形，构造随机试验：假设有两个口袋，其中一个口袋装有两个红球，另一个口袋装有一个红球和两个黑球，有放回地从两个口袋中各取一只球，若取到的两个均为红球均为红球，则停止取球，否则在两个口袋中各加进一只黑球，然后按照上述规则取球，直到取到两个球均为红球为止。令停止取球，取了次球后停止取球，则，一般地，由于，每个两两互不相容，且，所以。另一方面，的对立事件=取球不止，容易得知： ，从而，即得： 。所以。所以，原级数和为。例3（6）： 求证：。证明 建立一个广义贝努利模型（7）：令只有在两种基本事件， ，试验独立重复次，在第次实验中，事件出现的概率为，事件出现的概率则为。令表示次独

19、立试验中首次出现在第次的概率，则有。令， 则有。取，则 。故：，命题得证。像上题这样的无穷级数，在数学分析中我们只能简单地判断它是收敛的，但若要求解确实相当复杂，而通过构造广义贝努利模型求解无穷级数，思路清晰，步骤简单，结果一目了然。其实构造的广义贝努利模型不仅能解决上述的题目，也能解决下题：例4： 证明：无穷级数证明 设随机试验：建立一个广义贝努利模型：令只有在两种基本事件 ，试验独立重复次，在第次实验中，事件出现的概率为，事件出现的概率则为。令表示次独立试验中首次出现在第次的概率，则有。令， 则有。取，则 。故。因为， 所以，命题得证。有些题用数学分析的方法也能解决，但用概率论方法却更为简

20、便，如下题：例5（8）： 试求自然倒数平方的级数和。证明 不妨假设有放回地抽取两正整数为，则可能出现的结果为：“与互素”；：“与有公因子2”；：“与有公因子3”； ：“与有公因子（为素数）”；由于 (且后按素数顺序取值)互斥，从而。再设=“中有公因子”， =“中有公因子”，则，从而，故 。根据Euler 变换无穷乘积的方法，可得：，于是可知：。这道题在数学分析中无穷级数中只能证明它是收敛的，至于具体收敛值却很难证明，利用Fourier级数可以证明它收敛于9。而在本文中，通过构造这样一个概率论模型，让证明过程简洁、明了。还有一类问题，用数学分析方法和概率论方法度可以解决，但用概率论方法解决却能得

21、到更为精确的结果，如下题：例6（10）： 证明 。证明 要证，只要证明即可。考虑概率模型中的泊松分布的概率函数：，其数学期望为：。构造一个辅助函数，知：， 。由于是凹函数，所以由詹森不等式，即， 取，式变为：，即命题得证。本题如果用数学分析的方法可得收敛，由于：，显然，用概率模型获得的下界比更加精确。本题用概率论方法解题和用数学分析解题的优劣较为明显。由于题中要证明的无穷级数跟泊松分布的概率密度函数相似，容易想到通过构造泊松分布模型，再结合凹函数的性质及詹森不等式，证明了本题。（三）概率论方法解决无穷级数问题的意义无穷级数是无穷多项相加，可能收敛，可能发散。当级数收敛时，其和存在，然而如何求出

22、收敛的无穷级数和，至今没有简便易行的统一求和公式。从上述六个例题中，不难发现，用概率论方法解决无穷级数问题避免了数学分析中求无穷级数的常见缺陷，利用广义贝努力模型等概率论模型，根据相关概率论模型的性质，直观地解决无穷级数问题，优势显而易见。三、概率论方法解决积分问题（一）概率论方法解决积分问题概述概率论是研究随机现象及其规律性的数学学科，它既有着自己独特的概念和方法，内容丰富，又与其他科学分支有着紧密的联系，具有广泛的应用性。在概率论中,连续性随机变量的概率分布函数、数学期望与积分有着一定联系, 这使得用概率论的思想方法证明某些积分不等式成为可能。下文将运用概率论的思想方法,重新推证一些积分问

23、题。（二）典型例题分析与证明例1（3）：求二重积分，其中为椭圆。解：设服从二维正态分布且两者相互独立：，则此二重积分恰为落在中的概率。于是，其概率为：，即：。若是用通常数学分析中方法解题，只能是通过换元的方法，将二重积分转化为二次积分，最后得出结果，但其过程是教务复杂的。然而本题通过构造二维正态分布，避免了换元，短短几个公式，直接计算出该二重积分。例2（3）： 证明：对，。证明 设是独立同分布的随机变量列，且，则也是独立同分布，所以：，由Kolmogorov强大数定律可得：，即：。同理可得： 。又，由控制收敛定理即以上两式可得：。根据解题的过程，我们若将题目变为：求的值，我们只需改动，得，从而

24、算出：。用概率论方法解决积分问题中，构造标准正态分布函数解决积分问题是比较典型的，如以下几道例题：例3（11）： 证明。证明 考虑为标准正态分布的密度函数，故可以利用：来解决。所以得到：，即 。正态分布的密度函数是一个复杂的函数，但却有很特殊的性质，即若表示正态分布的密度函数，则，。特别的，当表示标准正态分布的密度函数时，情况更为特殊：，根据这样的性质，我们可以根据题目，通过构造正态分布的密度函数解题。典型题目如下：例4（8）： 计算形如的值。解：通过构造正态分布的概率模型，根据正态分布的数字特征解题。如果，则，于是。由于，所以：原式。只要理解了本道题的做法，以后碰到更为特殊的，即当取不同的值

25、时，只要沿着该题的解题思路，都能容易的得出积分值。根据概率论中的一些重要不等式，我们可以证明数学分析中比较常见的积分不等式，如例5（13），例6两题。例5： 证明：，其中，且。证明 设随机变量的密度函数为，的密度函数为，且与相互独立，则由Cauchy-Schwartz不等式知：，即：。Cauchy-Schwartz不等式是证明一些复杂不等式的有效手段，此处用来证明了这个积分不等式，在本文概率论方法在不等式中的应用中，这个公式的作用更是发挥的淋漓尽致。例6： 证明：若与在上连续，则。证明 设随机变量的概率分布及其概率密度函数分别为，则 ，由，可得：。该题其实是证明Cauchy 积分不等式，本文通

26、过巧妙的构造概率分布函数和概率密度函数，利用随机变量的期望不等式，证明了改积分不等式。（三）概率论方法解决积分问题的意义通过上述六个典型例题，我们可以看出概率论中概率分布函数与积分的密切联系。因此，将概率论中的概率分布函数与数学分析中的某些积分建立联系，利用概率分布尤其是标准正态分布的数字特征解决一些积分问题是解题的一种新思路。四、概率论方法解恒等式问题（一）概率论方法解决恒等式问题概述恒等式“”的证明，一般方法是“”型，“ ”型，“ ，”型三种代数形式；而用概率论思想方法及适当的概率论模型可以较方便地解决一些看似比较难的恒等式的证明。这不仅拓宽了恒等式证明的思路，还说明了概率论方发具有广泛的

27、作用。本文借助概率论中的古典概率论模型、巴拿赫火柴问题及二项分布概率模型，证明了数学分析中的一些恒等式问题。例1： 证明下面的恒等式：，其中为正整数，且。证明：可通过构造古典的概率模型：考虑有个产品，其中有个正品，个次品。现将它们编号，从中取个（每次取一个，做不放回抽取）。则第次抽取首次出现正品的概率为：。由于次品的总数为个，故若抽取次全为次品，那么第次一定为正品，即次后应全为正品，此即事件：“第次首次出现正品”， 的并为必然事件，即：。又因为是不放回地抽取，每次取一个，所以有下式：，即：。因为为正整数，两边同除以得：。通过上述概率论方法对此类问题的解决，感受了一种新思路，诱发了数学思想方法的

28、新视野，为数学问题的解决注入了新活力。下题是通过构造另一种概率模型证明一道复杂的恒等式问题。例2（14）： 对于，求证。证明：假设和两队参加一项体育竞赛，竞赛中不存在平局，先赢得场胜利的一个队将成为冠军，设是队在任何比赛中获胜的概率，于是就是队获胜的概率，在场比赛中（可取），队只有取得最后一场胜利，并在前场比赛中取得场胜利后才获得冠军，于是队在场比赛中获胜的概率：。同理，队在这场比赛中获胜的概率：。由于，所以通过一个实际的例子，将项求和变成一个比赛输赢的概率题，可谓是别出心裁，直观而且简单。例3（15）： 证明恒等式：。证明： 可利用巴纳赫火柴问题16来证。设某人带有两盒火柴，每盒火柴有根，每

29、次取用时，他在两盒中任抓一盒，从中任取一根。这种连续的抽取构成了一串的贝努力试验。考虑到他第一次发现空盒的时候，设从第一盒被选取为“事件”，否则则为“事件”，“当发现第一盒火柴空了，第二盒还有根”这一事件等价于“恰有次事件发生在第次事件之前”，该事件的概率由巴斯卡分布17知为：。因为两盒火柴所处地位相同，因此：，取到到的各事件之和为必然事件，所以，即是：。令，并注意到对应从变到，而是从变到，所以得：。巴纳赫火柴问题是概率论中一个比较经典的问题，本身的问题不难，再加上引入的巴斯卡分布，使原来的证明变得更为简单。（三）概率论方法解决恒等式问题的意义复杂恒等式的证明在数学分析中一直比较麻烦的，然而通

30、过上述三道例题的证明，我们可以看出通过构造合适的概率模型解决恒等式问题的相当方便的。只要我们等构造合适的概率论模型，根据概率论中的相关知识，我们可以将数学分析中的恒等式问题转化为概率论问题，从而解决恒等式问题，这样的方法简单、直接，是解决这类问题的好方法，不仅如此，用概率论方法解决恒等式问题还使得一些抽象数学在现实生活中找到具体的模型，使其具体化、直观化。五、概率论方法解决不等式问题（一）概率论方法解决不等式中问题概述不等式的证明方法很多，技巧也很灵活，可以用初等数学的方法证明，也可以用高等数学的方法解决，不少问题综合运用初等数学和高等数学。概率论方法作为数学领域的一个重要分支，与数学分析有着

31、重要联系。利用概率论方法解决不等式中的一些问题的关键是根据不同的数学问题建立相应的随机概率模型，然后利用密度函数、概率之间的相关性质给出了问题的答案。（二）典型例题分析与证明例1： 证明，其中。证明 设事件相互独立，且。因为 若，为相互独立事件，则，。所以有：即： ，所以原命题证明完毕。特别的，取时，可得到，而这个不等式用常规的方法是不容易证明的。例2: 证明：为，上的连续函数，则。证明 构造随机变量，则：。根据Jensen不等式可得：，从而 。所以命题得证。本题运用了比较基础的概率论知识，构造结合了在上满足均匀分布的随机变量，并结合Jensen不等式，证明了该不等式。例3： 设，求证：。证明

32、 观察题目，由，可以联想到构造一个概率模型证明该题。构造一个二项分布概率模型，即：，。根据离散型随机变量及其分布概率，得：，；， ； 由于，从而。将上式代入该式得：，所以原命题得证。构造概率分布模型解决数学分析的题目是较为常见的，本题通过构造二项分布模型，利用二项分布的期望极其性质，证明了该道题。以下还有很多内容是通过构造正态分布模型解题。应用概率论中的一些重要不等式证明数学分析中的一些复杂不等式是比较简单的方法，如用Cauchy-Schwartz不等式及其他相关性质证明下题：例4：设为任意实数，证明：。证明 对于不等式的前半部分，设两两互不相容，且。当发生时，当不发生时，。令：，其中，则且，

33、由概率中Cauchy-Schwartz不等式知:。所以。对不不等式的后半部分，设随机变量与相互独立，且的概率分布为；的概率分布为；则，。根据数学期望的性质及当随机变量与相互独立时有，所以：，更进一步，我们可以得到。从而有：，即，所以，原不等式成立。在本题的解答过程中，主要是应用了概率论中数学期望的性质及Cauchy-Schwartz不等式证明了一个较为复杂的不等式，在以后解决数学分析中的一些不等式问题时，若常规的方法无法证明，不妨可以尝试下本题的解题思路。概率论中的重要不等式除了Cauchy-Schwartz不等式外，Markov不等式也是重要的不等式，用它证明不等式问题也是比较简便的。例5（

34、13）：证明：。证明 设随机变量，则，由Markov不等式得可知：，所以，即：。该题的证明过程应用概率论中一个特殊的不等式Markov不等式，轻而易举的解决了这个复杂的级数不等式，足见概率论方法解决数学分析中部分问题的优越性。概率论中著名的不等式：切比雪夫不等式在不等式中的应用如下题：例6： 证明：当时，有：。证明 先考虑不等式的后半部分。由于被积函数是标准正态分布的密度函数，因此，考虑用概率论方法证明。设是相互独立的随机变量，且都服从，则，显然，其中分别为如图所示的正方形和圆。而:，由，有： 。所以。再观察不等式的前半部分，这时我们发现如果用同样的办法解这部分似乎行不通，因此现在我们用切比雪

35、夫不等式证明。设随机变量，显然的密度函数，故由切比雪夫不等式得：,，即：。所以原不等式证明完毕。例6： 证明：当时，。证明 构造随机变量，则， 。因为，由不等式有，所以：。以上我们用了概率论中的一些办法，证明了这个不等式，过程简洁明了，显示了概率论在数学分析中应用的巧妙性和优越性，也体现了数学分支之间的联系。（三）概率论方法解决不等式问题的意义上述六个例题显示了在数学分析上一些常见的用代数方法不好解决的不等式，怎样运用概率论方法较方便地得到证明，通过利用概率论方法中的著名不等式：Jensen不等式、Cauchy-Schwartz不等式、Markov不等式、切比雪夫不等式等，并且适当地构造随机变

36、量来证明不等式，使不等式的证明过程变得简单、清晰，也体现了数学分支间的联系。结 论数学分析与概率论作为数学的两个分支，它们之间一定有必然的联系。然而传统的概率论应用让我们很容易忽略概率论方法在解决数学分析中的应用18，通过本文五个方面：概率论方法解决极限问题、概率论方法解决无穷级数问题、概率论方法解决积分问题、概率论方法解决恒等式问题、概率论方法解决不等式问题，对概率论方法在数学分析中的应用介绍，我们对用概率论方法解决数学分析中的问题有一定启发：利用概率论方法解题的关键，是根据不同的数学问题，建立合适的随机模型，然后利用概率论中的相关定理，直接得到答案。概率论方法不仅在数学分析中能方便的应用，

37、在其他的数学分支中也应该有其重要的应用。本文为我们在今后的解题过程中提供了一种新的思虑，新的方法，有利于我们开阔视野，丰富想象，培养创新精神。 参考文献1王梓坤.概率论基础及其应用M.北京：科学出版社，1979：21.2胡迪鹤.高等概率论及其应用M.北京：高等教育出版社，2008：66-70.3胡学平.概率论方法在数学分析中的若干应用J.高等数学研究，2007,10(01)：88-89.4刘淼.概率论与数学分析知识的相互运用J. 伊犁师范学院学报，2006,(03)：6-7.5张志民，陈书勤.概率方法在数学分析中的应用J.周口师专学报，1994，11(1)：44-49.6陆晓恒.概率方法在证明

38、数学问题中的应用J.高等数学研究，2003，6(03)：43.7薛留根.概率论解题方法与技巧M.北京：国防工业出版社，1996：87-89.8王大胄.例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用J.沈阳工程学院学报（自然科学版），2008，4(03)：284-285.9陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中.数学分析M.4.北京：高等教育出版社，2006：95-98.10李慧琼，陈振龙.不等式证明中的概率方法研究J.长江大学学报（自然科学版），2008，5(01)：158.11原全,董魏莉.某几类积分的概率技巧解法J.高校讲坛，2008，32：223.12陈萍.利用正态分布计算一类广义积分J.衡水学院学报

39、，2008：10(1)：20-22.13杨雪梅，马俊青，周海涛.利用概率方法证明等式与不等式J.高等数学研究，2006， 9(03)，42.14乔希民.几个代数问题的概率模型J.数学通讯，2005，1：18.15陈陵. 概率方法与恒等式的证明J. 重庆工贸职业技术学院学报，2008，9(01)： 29-30.16沈恒范.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，2003：36.17杨雪梅.关于几何分布与巴斯卡分布的几个定理J.咸阳师范学院学报，2003，（02）：9-10.18马文.概率应用及思维方法M.重庆：重庆大学出版社，1989： 15-16.19Jay L.Devore.Proba

40、bility and StatisticsM.Higher Education Press,2004: 159-160.20P.E.Pfeiffer. Probability for ApplicationsM.Springer-Verlag,2003: 276-278.致 谢在毕业论文即将完成之际，我的心情难以平静，从选题到写初稿直至现在，我身边的很多人给了我很大的帮助，没有他们的支持，我将难以完成这篇论文，因此我要向他们致谢。首先我要感谢我的毕业论文指导老师侯艳艳教授，她严谨细致、一丝不苟的作风是我学习的榜样，在导师的耐心指导下，我一次次地修改论文，使论文逐渐成形。我还要感谢我的同学，在他们的提醒之下，我注意到了论文当中的很多细节，避免了在这些细节上出现错误。在这里，我衷心地向所有帮助过我的人致谢。