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1、2014年青浦区高考数学一模卷（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.3.可使用符合规定的计算器答题.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.(2014年1月青浦)在直角坐标系内，到点（1,0）和直线距离相等的点的轨迹方程是 【解析】（解释性理解水平/点的轨迹方程）由题意知，该点的轨迹是抛物线，其中抛物线的焦点坐标为，故点的轨迹方程为.2. (2014年1月青浦)已知全集U=R，集合,且=R，则实数a
2、的取值范围是 【解析】（探究性理解水平/集合的并集、补集运算，集合的描述法）由，且，则易得.3. (2014年1月青浦)各项为实数的等比数列中，则 【解析】（探究性理解水平/等比数列的性质，等比中项）由等比数列的性质得：,.4. (2014年1月青浦)已知点，则向量在方向上的投影为 【解析】(探究性理解水平/平面向量的数量积，向量的投影) 依题意，来源:Zxxk.Com,设与夹角为，则，在方向上的投影为.来源:学科网ZXXK5. (2014年1月青浦)已知，且，则 【解析】(探究性理解水平/同角三角比的关系，诱导公式) ，则，所以.6. (2014年1月青浦)已知圆锥底面圆的周长为4，侧棱与底
3、面所成角的大小为，则该圆锥的体积是 【解析】(探究性理解水平/圆锥的体积)设圆锥底面圆的半径为r，高为h，侧棱与底面所成角为，则，又，所以圆锥的体积为 .7. (2014年1月青浦)要使函数在区间2,3上存在反函数，则实数a的取值范围是 或 【解析】（探究性理解水平/反函数，函数的单调性）要使函数在区间上存在反函数，则函数在区间上单调，则或，即或.8. (2014年1月青浦)已知，则实数q的取值范围是 【解析】（解释性理解水平/极限的计算）因为，故，故，则的取值范围为.9. (2014年1月青浦)已知定义域为R上的偶函数f(x)在上是减函数，且，则不等式的解集为 来源:Z#xx#k.Com【解
4、析】（探究性理解水平/函数的奇偶性、单调性）由题意可知函数在上是增函数，则有，即，所以不等式的解集为.10. (2014年1月青浦)已知集合，从A的非空子集中任取一个，该集合中所有元素之和为奇数的概率是 【解析】（解释性理解水平、探究性理解水平/随机事件的概率，加法原理，组合与组合数）因为A中有5个元素，所以其非空子集的个数为.该集合中所有元素之和为奇数的情况有5种情况：集合中含有1个元素的情况有种；集合中含有2个元素的情况有种；集合中含有3个元素的情况有种；集合中含有4个元素的情况有种；集合中含有5个元素的情况有1种，故该集合中所有元素之和为奇数的概率为：.11. (2014年1月青浦)点P
5、在上，若,则 26 【解析】(探究性理解水平/双曲线的简单几何性质)由题意知，设分别为双曲线的左、右焦点，则点P在双曲线的右支上，根据双曲线的几何性质，有，所以.12. (2014年1月青浦)已知扇形的周长为定值l，写出扇形的面积y关于其半径x的函数解析式 【解析】（探究性理解水平/扇形的周长、面积公式）由题意，扇形的半径为x，周长为l，则扇形的弧长为，所以扇形的面积为.又，解得，故13. (2014年1月青浦)*已知直角坐标平面上任意两点，定义来源:Zxxk.Com为两点的“非常距离”.当平面上动点到定点的距离满足时，则的取值范围是 【解析】（探究性理解水平/数学概念的新定义，数形结合的思想
6、）由题意可知点M在以A为圆心，为半径的圆周上，如图所示：第13题图由“非常距离”的新定义可知：当时，取得最小值，；当或时，取得最大值，故的取值范围为14. (2014年1月青浦)*若不等式对任意自然数n恒成立，则实数a的取值范围是 【解析】（探究性理解水平/不等式恒成立，求参数）当为奇数时，不等式可化为，要使不等式对任意自然数n恒成立，则；当为偶数时，不等式可化为，要使不等式对任意自然数n恒成立，则，即.综上，.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. (2014年1月青浦)指
7、数函数在R上是减函数，则函数在R上的单调性为 （D）A.单调递增 B.单调递减C.在上递减，在上递增 D.在上递增，在上递减【解析】（探究性理解水平/指数函数的单调性，二次函数的单调性）因为指数函数在R上是减函数，则，所以，故函数开口向下，故在区间上递增，在区间上递减，故选D.16. (2014年1月青浦)直线的倾斜角的取值范围是 （C）A. B. C. D.【解析】（探究性理解水平/直线的倾斜角与斜率的关系，基本不等式）当时，斜率不存在，即倾斜角为；当时，直线的斜率，即直线的倾斜角的取值范围为.当时，直线的斜率，即直线的倾斜角的取值范围为.综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选C.17. (2
8、014年1月青浦)设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为 （C）A. B. C. D.【解析】(探究性理解水平/等差数列的性质及其前n项和) 由于，所以可得且公差.所以又且，所以在中最大的项是，故选C.18. (2014年1月青浦)*对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”，若为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是 （B）A. B.C. D.【解析】(探究性理解水平/函数奇偶性的新定义，二次函数的性质，换元法）为“局部奇函数”，存在实数满足，即，令，则，即来源:学科网在t0有解，再令，则在有解.函数关于h的对称轴为h=m，当时，解得；当时，则，即，解得.综合，可
9、知.故选B.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (2014年1月青浦) (本题满分12分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题6分.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，,且.（1）求角C的大小；（2）若,且，求c的边长.【解】(探究性理解水平/向量的数量积，二倍角公式，余弦定理）（1），2分，,4分且，6分（2）, 8分又， 11分 12分20. (2014年1月青浦) (本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.如图，在直三棱柱中，,.（1）求证：平面;（2）若D为的中
10、点，求异面直线与所成的角的大小.【解】(解释性理解水平、探究性理解水平/空间线面垂直关系的判定和异面直线的夹角，余弦定理，空间向量及其运算）（1）由题意知四边形是正方形，故. 2分由得.又,所以，故 4分从而得. 6分(第20题图)（2）解法一：在线段上取中点M，连结OM 直线OM与所成角等于直线AD与所成的角. 8分设，在中，, 11分 13分，异面直线AD与所成角的大小是. 14分解法二：设，以为坐标原点建立空间直角坐标系可得， 10分直线AD与所成的角为，向量的夹角为 12分又，即异面直线AD与所成角的大小是.14分（说明：两种方法难度相当）21. (2014年1月青浦) *(本题满分1
11、4分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.已知数列的前n项和为，且对一切正整数都成立.（1）求的值；（2）设，数列的前n项和为，当n为何值时，最大？并求出的最大值.【解】(探究性理解水平/等差数列的性质及其前项和，对数的运算，解不等式组）（1）由已知数列的前n项和为，且对一切正整数n都成立即解方程组得或或. 各2分（2） 7分又，当时，作差得， 10分令，则可知是首项为1，公差为的等差数列 11分解法一： 13分由计算器可得，所以n=7时的最大值为 14分解法二： 14分解法三：也可以用两边夹的方法计算得到 14分22. (2014年1月青浦) *(本题满分16分)本题共3小题,
12、第(1)小题4分,第(2)小题8分，第(3)小题4分.椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、，且、恰好构成等比数列，记的面积为S.（1）求椭圆C的方程.（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的最大值.【解】(探究性理解水平/椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，等比数列的性质，基本不等式）（1）由题意可知且， 2分所以椭圆的方程为 4分（2）设直线的方程为，由 5分 且 6分 恰好构成等比数列.=即 8分此时，即 9分= 11分所以是定值为5. 12分（3） 13分= 14分=当且仅当
13、即时，的最大值为1. 16分 23. (2014年1月青浦)*(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分，第(3)小题8分.设集合.（1）已知函数，求证：;（2）对于（1）中的函数，求证：存在定义域为的函数，使得对任意成立.（3）对于任意，求证：存在定义域为的函数，使得等式对任意成立.【证明】(探究性理解水平/函数性质的综合运用）（1）由可得， 3分因此.又，所以. 4分（2）由=，设函数，当时，2=2. 8分则=. 10分即存在定义域为的函数，使得等式对任意成立.（3）当时，设=,则，可得，解得， 12分设函数=，当时，2=2. 13分则.14分当时，=16分当时，=. 18分即存在定义域为的函数，使得等式对任意成立.
