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1、仁寿中学高2011级高三5月月考理科数学试题本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟第卷（选择题 共50分）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数，它的实部与虚部的和是（） A 4 B 6 C 2 D 32在ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b= 2ccos A，c=2bcos A，则ABC的形状为（） A直角三角形 B锐角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形3.给出下列三个结论：（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；（2）命题“若，则或”的否命
2、题为“若，则或”；（3）命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为(4)设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则且是的必要不充分条件（）A个 B个 C个 D个4已知不等式组，则其表示的平面区域的面积是（ ）A 1 B 3 C 3 D 45.执行右图所示的程序框图若输入的的值为3，则输出的的值为（）A B C D6.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（） A432 B288 C.216 D1447.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ） 8.的二项展开式的第三项为，则关于的
3、函数图像大致形状为（）9.已知双曲线的离心率为，一条渐近线为，抛物线：的焦点为，点为直线与抛物线异于原点的交点，则（） A B C D10已知函数的周期为2,当时,如果，则函数的所有零点之和为 （）A8B6C4D2二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为_ 12若函数的一个对称中心是，则的最小值是 _13一个几何体的主视图和俯视图如图所示，主视图是边长为的正三角形，俯视图是边长为的正六边形，则该几何体左视图的面积是 _ 14私家车具有申请报废制度。一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.
4、5万元，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年维修费为3000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限（使用多少年的年平均费用最少）是_ 年。15. 给出以下五个命题：对于任意的a0,b0，都有成立；直线的倾斜角等于已知异面直线a,b成角，则过空间一点P且与a,b均成角的直线有且只有两条。在平面内，如果将单位向量的起点移到同一个点，那么终点的轨迹是一个半径为1的圆。已知函数，若存在常数M0，使对定义域内的任意x均成立，则称为“倍约束函数”。对于函数，该函数是倍约束函数。其中真命题的序号是_三 解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）.)已知函数的图象过点（，0）.（
5、I）求实数的值以及函数的单调递增区间；（II）设的图象与轴、轴及直线（）所围成的曲边四边形面积为，求关于的函数的解析式.17.（本小题满分12分）已知等差数列的首项，公差，且第项、第项、第项分别是等比数列的第项、第项、第项（）求数列，的通项公式；（）设数列对，均有成立，求19.本小题12分）某中学的数学测试中设置了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个内容，成绩分为A、B、C、D、E五个等级。某班考生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人 （1）求该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应5分、4分、3分、
6、2分、1分，该考场共10人得分大于7分，其中2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求2人成绩之和的分布列及期望。20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x2P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程；（3）若，且，2，求的最大值21(本小题满分14分)已知函数f(x)ex，a，bR，且a0（1）若a2，b1，求函数f(x)的极值；（2）设g(x)a(x1)exf(x) 当a1时，对任意x(0，)，都有g(x)1成立，求b
7、的最大值； 设g(x)为g(x)的导函数若存在x1，使g(x)g(x)0成立，求的取值范围仁寿中学高2011级高三5月月考数学试题 理科答案本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟第卷（选择题 共50分）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数，它的实部与虚部的和是（C ） A 4 B 6 C 2 D 32在ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b= 2ccos A，c=2bcos A，则ABC的形状为C A直角三角形 B锐角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形3.给出
8、下列三个结论：B（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；（3）命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为(4)设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则且是的必要不充分条件A个 B个 C个 D个4已知不等式组，则其表示的平面区域的面积是（ D ）A 1 B 3 C 3 D 45.执行右图所示的程序框图若输入的的值为3，则输出的的值为BA B C D6.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为B A432 B288 C216 D144
9、7.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（A ） 8.的二项展开式的第三项为，则关于的函数图像大致形状为（ D ）9.已知双曲线的离心率为，一条渐近线为，抛物线：的焦点为，点为直线与抛物线异于原点的交点，则D A Z.XB C D10已知函数的周期为2,当时,如果，则函数的所有零点之和为 A A8B6C4D2二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 2 12若函数的一个对称中心是，则的最小值是 2 13一个几何体的主视图和俯视图如图所示，主视图是边长为的正三角形，俯视图是边长为的正六边形，则该几何体左
10、视图的面积是 14私家车具有申请报废制度。一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年维修费为3000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限（使用多少年的年平均费用最少）是 10 年。15. 给出以下五个命题：对于任意的a0,b0，都有成立；直线的倾斜角等于已知异面直线a,b成角，则过空间一点P且与a,b均成角的直线有且只有两条。在平面内，如果将单位向量的起点移到同一个点，那么终点的轨迹是一个半径为1的圆。已知函数，若存在常数M0，使对定义域内的任意x均成立，则称为“倍约束函数”。对于函数，该函数是倍约束函数。其中真命
11、题的序号是_三 解答题（本大题共6小题，共75分）（本小题满分12分）.)已知函数的图象过点（，0）.（I）求实数的值以及函数的单调递增区间；（II）设的图象与轴、轴及直线（）所围成的曲边四边形面积为，求关于的函数的解析式. 本小题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想解法一：（I） 3分因为的图象过点（，0），所以，解得. 4分所以，由，得，.故的单调递增区间是，. 7分（）由（I）得，.所以 8分 12分所以（）. 12分解法二： ()因为函数的图象过点（，0），所以.又. 3
12、分所以，解得. 5分以下同解法一.（II）由（I）得.所以 9分. 12分所以（）. 13分（本小题满分12分）已知等差数列的首项，公差，且第项、第项、第项分别是等比数列的第项、第项、第项（）求数列，的通项公式；（）设数列对，均有成立，求解： （） 解得 又所以，等比数列的公比（） 当时，两式相减，得 当时，不满足上式 故18（本小题满分12分）解：()证明： 因为平面，所以. 因为是正方形，所以，所以平面, 从而 -（4分）()解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示. 设，可知. 则 ,，所以， 设平面的法向量为，则，即，令，则. 因为平面，所以为平面的法向量， ，所以 因为二面角
13、为锐角，所以二面角的余弦值为. -（8分）()解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以， 即，解得. 此时，点坐标为，符合题意. -（12分）本小题12分）某中学的数学测试中设置了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个内容，成绩分为A、B、C、D、E五个等级。某班考生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人 （1）求该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应5分、4分、3分、2分、1分，该考场共10人得分大于7分，其中2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求2人成绩之和的分布列及期望
14、。解：（1）由题意得该班总人数是人 .1分“阅读与表达” 科目中成绩等级为A的人数为 3分（2）的值可以为16,17,18,19,20， 8分所以的分布列为 1617181920P .12分20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x2P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程；（3）若，且，2，求的最大值（1）解：由题意得 解得c1，a22，所以b2a2c21 所以椭圆的方程为y21 2分 （2）因为P(0，1)，F1(1，0)，所以PF1
15、的方程为xy10由 解得或所以点Q的坐标为(，) 3分解法一：因为kPFkPF1，所以PQF2为直角三角形 5分因为QF2的中点为(，)，QF2，所以圆的方程为(x)2(y)2 6分解法二：设过P，Q，F2三点的圆为x2y2DxEyF0，则 解得 所以圆的方程为x2y2xy0 8分（3）解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x11，y1)，(1x2，y2)因为，所以即所以解得x2 10分所以x1x2y1y2x2(1x2)yx22(1)x2()2(1)() 12分因为，2，所以22，当且仅当，即1时，取等号所以，即最大值为 13解法二：当PQ斜率不存在时， 在y21中，令x1得y 所
16、以，此时 2 当PQ斜率存在时，设为k，则PQ的方程是yk(x1)， 由得(12k2)x24k2x2k220， 韦达定理 4设P(x1，y1)，Q(x2，y2) ， 则 的最大值为，此时 821(本小题满分14分)已知函数f(x)ex，a，bR，且a0（1）若a2，b1，求函数f(x)的极值；（2）设g(x)a(x1)exf(x) 当a1时，对任意x(0，)，都有g(x)1成立，求b的最大值； 设g(x)为g(x)的导函数若存在x1，使g(x)g(x)0成立，求的取值范围解：（1）当a2，b1时，f (x)(2)ex，定义域为(，0)(0，)所以f (x)ex 2分令f (x)0，得x11，x
17、2，列表x(，1)1(1，0)(0，)(，)f (x)f (x)极大值极小值由表知f (x)的极大值是f (1)e1，f (x)的极小值是f ()43分（2） 因为g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex，当a1时，g (x)(x2)ex因为g (x)1在x（0，）上恒成立，所以bx22x在x（0，）上恒成立 6分记h(x)x22x（x0），则h(x)当0x1时，h(x)0，h(x)在（0，1）上是减函数；当x1时，h(x)0，h(x)在（1，）上是增函数所以h(x)minh(1)1e1 所以b的最大值为1e1 8分解法二：因为g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex，当a
18、1时，g (x)(x2)ex因为g (x)1在x（0，）上恒成立，所以g(2)e20，因此b0 10分g(x)(1)ex(x2)ex因为b0，所以：当0x1时，g(x)0，g(x)在（0，1）上是减函数；当x1时，g(x)0，g(x)在（1，）上是增函数所以g(x)ming(1)(1b)e1 12分因为g (x)1在x（0，）上恒成立，所以(1b)e11，解得b1e1因此b的最大值为1e1 10分解法一：因为g (x)(ax2a)ex，所以g (x)(axa)ex由g (x)g (x)0，得(ax2a)ex(axa)ex0，整理得2ax33ax22bxb0存在x1，使g (x)g (x)0成立
19、，等价于存在x1，2ax33ax22bxb0成立 12分因为a0，所以设u(x)（x1），则u(x)因为x1，u(x)0恒成立，所以u(x)在（1，）是增函数，所以u(x)u(1)1，所以1，即的取值范围为（1，） 14分解法二：因为g (x)(ax2a)ex，所以g (x)(axa)ex由g (x)g (x)0，得(ax2a)ex(axa)ex0，整理得2ax33ax22bxb0存在x1，使g (x)g (x)0成立，等价于存在x1，2ax33ax22bxb0成立 8分设u(x)2ax33ax22bxb(x1)u(x)6ax26ax2b6ax(x1)2b-2b 当b0时，u(x) 0此时u(x)在1，)上单调递增，因此u(x)u(1)ab因为存在x1，2ax33ax22bxb0成立所以只要ab0即可，此时10 10分当b0时，令x01，得u(x0)b0，又u(1)ab0于是u(x)0，在(1，x0)上必有零点即存在x1，2ax33ax22bxb0成立，此时0 12分综上有的取值范围为（1，）14
