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1、珠海市2013-2014学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题参考答案阅卷版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分BBBCCCAA二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置.9.（三角函数）已知,则 10.（数列）已知数列的前项和为，且,则 11.（线性规划）变量满足线性约束条件，则使目标函数取得最大值的最优解有无数个，则的值为 12.（导数）曲线在点处的切线方程为 13.（函数）定义在上的函数满足，则 14（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系中圆的参数方程
2、为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为： 则圆截直线所得弦长为 15（几何证明选讲选做题）如右图，是圆的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，若，则 . 三、解答题:本题共有6个小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分16.（三角函数）已知，(1) 求的值；(2)当时，求的最值.解: (1) 1分2分4分6分(2) ，8分10分11分，12分17.（概率）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/
3、立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。（1）在这15天的PM2.5日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及数学期望；（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.解：(1)由茎叶图可得中位数是2分(2) 依据条件，服从超几何分布：其中，的可能值为3分由，得， 4分，5分
4、，6分所以的分布列为：8分10分(2)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则11分 一年中平均有天的空气质量达到一级或二级12分 （第18题）18.（立几）如图，在三棱柱中，四边形为菱形，四边形为矩形，若，（1）求证：面；（2）求二面角的余弦值；解：（1）在中，满足，所以，即2分又因为四边形为矩形，所以又，所以ks5u又因为，所以4分又因为四边形为菱形，所以又，所以6分（2）过作于，连接由第（1）问已证又，所以，又因为，所以所以，就是二面角的平面角10分在直角中， 12分在直角中，所以14分19.（数列）设数列的各项都是正数，且对任意都有
5、，其中为数列的前项和. ks5u（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.解：（1）令，则，即，所以或或又因为数列的各项都是正数，所以2分令，则，即，解得或或又因为数列的各项都是正数，所以4分（2）由得化简得到7分由得化简得到，即当，所以9分所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列10分（3）因为对任意的，都有恒成立，即有化简得12分当为奇数时，恒成立，即当为偶数时，恒成立，即14分20.（导数）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：(1)当时，1分解得；解得
6、2分故的单调递增区间是，单调递减区间是3分（2）因为函数在区间上为减函数，所以对恒成立4分即对恒成立5分6分(3)因为当时，不等式恒成立，即恒成立，设，只需即可7分由当时，当时，函数在上单调递减，故成立 9分当时，令，因为，所以解得1)当，即时，在区间上，则函数在上单调递增，故在上无最大值，不合题设。2) 当时，即时，在区间上；在区间上函数在上单调递减，在区间单调递增，同样在无最大值，不满足条件。11分当时，由，故，故函数在上单调递减，故成立13分综上所述，实数的取值范围是14分21（圆锥曲线）已知椭圆的左、右焦点分别为，为原点. （1）如图1，点为椭圆上的一点，是的中点，且，求点到轴的距离； （2）如图2，直线与椭圆相交于两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围解：(1)由已知得，设,则的中点为，3分即整理得 4分又有 由联立解得或(舍) 5分点到轴的距离为6分(2)设，四边形是平行四边形线段的中点即为线段的中点，即，7分点在椭圆上，即化简得9分由得由得 且 11分代入式得整理得代入式得，又或的取值范围是 14分ks5u
