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1、2014年甘肃省第二次高考诊断试卷理科数学一、选择题1、若复数,其中是虚数单位,则在复平面内对应的点在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析】,那么,答案B2、已知的角所对的边分别为,若,则边 ( )A. B. C. D.【解析】由正弦定理得,答案B3、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若 则 ( )A. B. C. D.【解析】由抛物线的性质知道,答案C4、下列选项中,是的必要不充分条件的是( )A. B. UUC. D. 【解析】A:是的充分不必要条件;B:是的充要条件;C:是的充分不必要条件;答案D5、已知棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长
2、为的正三角形,该三棱锥的侧视图可能为( )【解析】侧视图是从左向右看,侧视图的底边长应当是正三角形的高,答案B6、在区间上随机取一个,则的值在到之间的概率为( )A. B. C. D.【解析】几何概型,答案A+7、如图所示,给出一个程序框图,若要使输入的值与输出的值相等,则输入的这样的的值有( )个A. B. C. D. 【解析】这样的的值只有,答案C8、若等边的边长为,平面内一点,满足,则 ( )A. B. C. D. 【解析】,,答案A9、定义:若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同,则称变换是的“同值变换”.下面给出的四个函数及对应的变换,其中不属于的“同值变换”的是(
3、 )A. 将函数的图像关于轴对称B. 将函数的图像关于点轴对称 C. 将函数的图像关于轴对称 D. 将函数的图像关于点轴对称【解析】的值域是,图像关于轴对称后值域变为答案C10、下列四个命题: 其中的真命题是( )A. B. C. D. 【解析】错误,正确,错误,正确,答案D11、已知是不等式组所确定的平面区域,则圆在区域内的弧长为( )A. B. C. D. 【解析】设两条直线之间的夹角为,分析区域知为锐角,则,由弧长公式,答案B12、已知函数,下列命题:是奇函数;是偶函数; 对定义域内的任意恒成立;当时,取得最小值正确的个数有( )个A. B. C. D. 【解析】分析的图像知道错误;正确
4、;正确;错误,答案B二、选择题13、的展开式中的常数项等于 .(用数字作答)【解析】由二项展开式的通项公式,展开式中的常数,,常数项,答案14、已知,则 .【解析】,由正切的二倍角公式,答案15、设双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率为 .【解析】设切点为,斜率为,则切线方程为,整理后得到,另一方面双曲线的焦点在轴上,切线与双曲线的渐近线重合,即就是切线过原点,那么将代入直线的方程得到,直线的斜率为,此即,答案16、如图,已知正方体中,为线段的中点,为线段上的动点,则下列四个结论:存在点,使;存在点,使平面;与所成的角不可能等于;三棱锥的体积随动点而变化.其中正确的是 .【解析】设正
5、方体的边长为,以点为坐标原点,以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,则,点,则,而,,,因此,,对于而言就是否存在实数,使,而, 此即,这样的不存在,错误;对于而言就是否存在实数,使平面,首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量,不妨就找和,于是,即就是当为的中点的时候,正确;同理,对于而言,还是判断这样的实数是否存在,设其夹角为,则,令,此即,将上式平方解得,将回代原式结论成立,这样的存在;错误;对于来说,点无论在上怎样移动,底面的高不变,故而底面面积不变,三棱锥的高为定值,所以其体积不会随着点的变化而变化,故错误,答案三、解答题17、已知数列的前项和为且为正整数.()求的通项公式;()
6、若恒成立,求实数的最大值.【解析】()当时,;当时,,因此,此即,所以数列是首项,公比的等比数列,;()恒成立,此即,令,单调递增,只需小于等于的最小值即可,当时取得最小值,实数的最大值为.18、如图,平行四边形中, ,将沿折起到的位置,使平面平面.()求证:;()若点为的中点,求直线与平面所成角的正弦值.【解析】()在中,由余弦定理:,,和为直角三角形,此即而又是平面和平面的交线,且平面平面平面且平面,平面,同时平面,;()由()知,以为坐标原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,则,则,设平面的法向量为,则有,此即,令则,设直线与平面所成角为,则有.19、某次考试按科目、科目依次进行,
7、只有当科目成绩合格时才可参加科目的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这次考试,科目每次考试成绩合格的概率为,科目每次考试成绩合格的概率为,假设每次考试成绩与否互不影响.()求该生不需要补考就可以获得证书的概率;()在这次考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求 的数学期望.20、已知点为圆的圆心,是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足.()当点在圆上运动时,求点的轨迹方程; ()若直线与()中所求的点的轨迹交于不同的两点和, 为坐标原点,且,求的取值范围. 21、设函数.()求的单调区间;()若,为整数,且当时,求的最大值.22、如图,是的直径, ,为上的点,是的角平分线,过点作交的延长线于,垂足为点.()求证:是的切线;()求证:.23、在直角坐标系中,曲线的参数方程是:为参数,以原点为极点,的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.()求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;()设为曲线上的动点,求点到曲线上点的距离的最小值,并求此时点的直角坐标.24、若不等式与不等式同解,而的解集为空集,求实数的取值范围.