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1、 高三自主诊断试题数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上3第卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效第卷（选择题 共5
2、0分）一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知，其中是实数，是虚数单位，则A B C D2. 已知集合，则A B C D3. 高三（3）班共有学生人，座号分别为，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为的样本已知号、号、号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A B C D4. 已知函数，则使的的集合是A B C D结束开始输入输出是否5. 已知函数是一个求余函数，其格式为，其结果为除以的余数，例如. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为时，则输出的结果为A B C D 6. 设满足约束条件，则下列不等式恒成立的是
3、A B C D7. “”是“函数在上单调递增”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8. 将甲、乙等名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有A种 B种 C种 D种9. 定义在上的奇函数满足，当时，则在区间内是A减函数且 B减函数且C增函数且 D增函数且10. 已知双曲线的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为A B C D第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 已知不共线的平面向量，满足，那么 ； 12. 某
4、班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有 人； 13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；俯视图正（主）视图侧（左）视图第13题图第14题图14. 若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；15. 若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为 三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量,实数为大于零的常数，函数,，且函数的最大值为.（）求的值；（）在中，分别为内角所对的边，若，,且,求的最小值.17（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改
5、委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过公里的地铁票价如下表：乘坐里程（单位：）票价（单位：元）现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过公里.已知甲、乙乘车不超过公里的概率分别为，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为， .（）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望18（本小题满分12分）如图，在正四棱台中，、分别是、的中点. （）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做
6、正四棱台.19（本小题满分12分）设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）若数列满足（），且，试求的通项公式及其前项和20（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为，且点在圆上（）求抛物线的方程；（）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆上存在关于直线对称的两个不同的点，求椭圆的离心率的取值范围21（本小题满分14分）已知函数（为实数）（）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；（）已知，求证：高三自主诊断试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题
7、共10小题每小题5分，共50分 D C B A B C A C B C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 12. 13. 14 15三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本小题满分12分）解：（）由已知2分 5分因为，所以的最大值为，则 6分（）由（）知，所以化简得 因为，所以则，解得 8分因为，所以则，所以 10分则所以的最小值为 12分17（本小题满分12分）解：（）由题意可知，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 2分所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 4分（）由题
8、意可知，则 10分所以的分布列为则 12分18（本小题满分12分）证明：（）连接，分别交于，连接由题意，因为平面，平面，所以平面 2分又因为，所以又因为、分别是、的中点，所以所以又因为，所以所以四边形为平行四边形所以因为平面，平面，所以平面因为，所以平面平面 5分（）连接，因为，又所以四边形为平行四边形，所以由题意平面，平面，因为，所以因为为正方形，所以所以，以分别为轴建立如图所示的坐标系则，所以， 7分设是平面的法向量，则 ，令，则，所以 9分设是平面的法向量，则令，则，所以 11分所以所以二面角的余弦值的大小为12分19（本小题满分12分）解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且 即 解
9、得：，或，由于是各项都为正整数的等比数列，所以2分从而， 4分（） ， 两式相除：，由，可得：是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列 6分当为偶数时， 7分 9分当为奇数时，10分为奇数为偶数为奇数为偶数 ， 12分20（本小题满分13分）解：（）设点的坐标为，由题意可知 2分解得： 所以抛物线的方程为： 4分（）由（）得抛物线的焦点 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合椭圆半焦距5分设是椭圆上关于直线对称的两点， 由（*）则，得：7分对于（*），由韦达定理得：中点的坐标为将其代入直线得：9分由消去，可得：， 椭圆的离心率， 13分21（本小题满分14分）解：（）当时，则，函数的图象在点的切线方程为：，即 4分（），由由于函数在区间上不存在极值，所以或 5分由于存在满足，所以6分对于函数，对称轴当或，即或时，由，结合或可得：或当，即时，由，结合可知：不存在； 当，即时，；由，结合可知： 综上可知： 或9分（）当时，当时，单调递增；当时，单调递减，在处取得最大值 即，11分令，则，即，故 14分
