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1、广东省惠州市2015届高三第三次调研考数学文试题 2015.1 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将答题卡
2、一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1若集合则集合（ ）A B C D2已知0a2，复数(i是虚数单位)，则的取值范围是（ ）A B(1,5) C(1,3) D3函数的定义域为（ ）A B C D4等差数列的前项和为，且，则公差等于（ ）A1 B C D35已知，则“”是“”成立的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6圆与圆的位置关系为（ ）A内切 B相交 C外切 D相离7下列命题正确的是（ ）
3、A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3334正视图侧视图俯视图8设变量满足约束条件,则的最大值为（ ） A B C D9右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（ ）A72 B36 C24 D1210已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）A B C D二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分20分）（一）必做题：第11至13题为
4、必做题，每道试题考生都必须作答11已知向量，且，则实数_12在中，内角对边的边长分别是，若，则_13是平面内不共线的三点，点在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在内，则这粒黄豆落在内的概率为_（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。DABCO14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为_15（几何证明选做题）如图，已知内接于圆，点在的延长线上，切圆于，若,则的长为_三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知向量.令，（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取
5、得最小值时的值.17.（本小题满分12分）甲高中乙高中丙高中女生153男生9790惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如右表：已知在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为（1）求表中的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001,002，,800进行编号。如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6
6、721 7633 5026 8392 6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439 1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率。18（本小题满分14分）（第18题）如图，在直三棱柱中，、分别是，的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，求三棱锥的体积19（本小题满分14分）已知递增等差数列中的是函数的两个零点数列满足，点在直线上，其中是数列的前项和（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前n项和20
7、.（本小题满分14分）已知直线上有一个动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足(为坐标原点)，记点的轨迹为（1）求曲线的方程；（2）若直线是曲线的一条切线，当点到直线的距离最短时，求直线的方程21(本小题满分14分)已知函数的导函数（1）若，不等式恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程；（3）设函数，求时的最小值惠州市2015届高三第三次调研考试数 学 试 题 (文科）参考答案 2015.1一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案ADCCABCBDD1【解析】直接可得,故选A .2【解析】，而，即，故选D .3【解析】函数式若有意义需满足条件： 取交集可得：，故
8、选C .4【解析】等差数列中，由，且得，则，故选C .5【解析】因为，所以，则“”是“”的充分而不必要条件。先解出，再进行判断即可。故选A .6【解析】通过求出两圆心的距离为：5，即，因此选B .7【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；两平面相交时也可以有三个点到另一个平面的距离相等，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.8【解析】目标函数可以变形为，则表示为可行域内的点和原点连线的直线的斜率，由图可知：当其经过点时，直线的斜率最大，即有最大值为，故选B .9【解析】本题的直观图是一个三棱
9、锥.由三视图知底面三角形的高为3，底边长为6，则底面三角形的面积为，由侧视图知有一条侧棱与底面垂直，三棱锥的高为4，直接代公式可求体积，故选D .10【解析】函数是定义在上的奇函数，则关于原点对称，由函数的图像向左平移一个单位得到函数的图像，则函数的图像关于点对称；又对于任意的满足不等式可知，函数在上单调递增，结合图像可知得，则，故选D二、填空题：（每小题5分，共20分）11、 0 12、 13、 14、 15、11【解析】，且，解之可得x=0故答案为0.12【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故答案为.13【解析】由，则点是边的三等分点（靠近点），得长度关系，且与的高
10、相等，则：，所以所求概率为.14【解析】直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为，因为圆心（0,0）到直线的距离d=2,半径r=4，所以截得的弦长为.15【解析】OA=OC，且，AOC是等边三角形，OA=AC=2，OAD=90，D=30，AD=AO=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）【知识点】的图像及性质.【解析】 .2分 .4分 5分 （1）由最小正周期公式得： 6分 （2），则7分 令，则，.8分 从而在单调递减，在单调递增 .10分 即当时，函数取得最小值 12分【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开，再利用辅
11、助角公式进行化简，（1）由最小正周期公式得结果；（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。17.（本小题满分12分）【解析】（1）由，得，即表中的值为 2分（2）依题意，最先检测的3个人的编号依次为165,538,629； 5分（3）设“丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多”的事件为，其中女生男生数记为.由（1）知，则，且， 满足条件的有：（145，155）；（146，154）；（147，153）；（148，152）；（149，151）；（150，150）；（151，149）；（152，148）；（153，147）；（154，146）；（155，145）共11组，且每组出现的
12、可能性相同. 9分其中事件包含的基本事件，即满足的有：（151，149）；（152，148）；（153，147）；（154，146）；（155，145）共5组. 11分 丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多的概率. 12分18（本小题满分14分）证明：（1）连结， 因为直三棱柱中，四边形是矩形，故点在上，且为的中点在中，因为 E，F分别是，的中点， 故 2分又因平面，平面，所以平面 4分（其它方法参照给分）（2）在直三棱柱中，平面，所以 6分由（1）知，且，则因，故平面 9分 又平面，故平面平面 10分（3） 12分 14分（其它方法参照给分）19（本小题满分14分）【知识点】等差、等比数列
13、的通项公式；错位相减法求数列的和.【解析】（1）因为，是函数的两个零点，则 ，解得：或.2分 又等差数列递增，则，所以 .4分因为点在直线上，则。当时，即.5分当时， ，即.6分所以数列为首项为，公比为的等比数列，即.7分(2)由（1）知：且， .8分则 .9分所以 . 10分-得： .12分所以. 或写 . 14分【思路点拨】（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可。20（本小题满分14分）（1）解:设点的坐标为,则点的坐标为. , . （或者用向量：，且得出） 当时,得,化简得. 2分当时, 、三点共线，不符合题意，故.曲线的方程为. 4分
14、(2) 解法1: 直线与曲线相切,直线的斜率存在. 设直线的方程为, 5分 由 得. 直线与曲线相切, 则 ,即. 直线的方程为 6分 点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立.此时. 12分直线的方程为或. 14分 解法2：由，得， 5分 直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立. 12分直线的方程为或. 14分 解法3：由，得， 5分 直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立,此时. 12分直线的方程为或. 14分21（本小题满分14分）解：(1)因为，所以， 1分又因为，知所以在时恒成立，因为， 2分所以 3分 因为，所以，所以，则或 4分当时，所以或； 5分当时，或，所以或或； 6分当时，所以或 7分因为，若，则时，所以，从而的最小值为； 9分若，则时，所以，当时，的最小值为，当时，的最小值为，当时，的最小值为 11分若，则时，当时，最小值为；当时，最小值为因为，所以最小值为 13分综上所述， 14分
