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1、广东省惠州市2015届高三第三次调研考数学理试题 2015.1本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
2、 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1若集合，则( )A. B. C. D.2下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数为( )A. B. C. D.3“”是“”成立的( )条件A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要4设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.5空间中，对于平面和共面的两直线、，下列命题中为真命题的是( )A.若，则 B.若，则C.若、与所成的角相等，则 D.若，则6某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为( )A.840 B.72
3、0 C.600 D.307数列，满足对任意的，均有为定值若 ，则数列的前100项的和( )A.132 B.299 C.68 D.998在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为给出下列命题：(1)若，则的最大值为；(2)若是圆上的任意两点，则的最大值为；(3)若，点为直线上的动点，则的最小值为其中为真命题的是( )A. (1) (2) (3) B. (2) C. (3) D. (2) (3)二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答高一高二高三女生男生9某校有名学生，各年级男、女生人数如右表，已
4、知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为_10已知，若，则实数_11已知复数 ()，若，则实数的值为_12已知，使不等式恒成立，则实数的取值范围是_13是平面内不共线的三点，点在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在内，则这粒黄豆落在内的概率为_（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。图114（坐标系与参数方程选做题）已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是_15（几何证明选讲选做题）如图1，点都在圆上，过点的切线交
5、的延长线于点，若，则线段的长为_三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题满分12分）已知函数，（其中），其部分图像如图2所示图2（1）求函数的解析式； （2）已知横坐标分别为、的三点都在函数的图像上，求的值17（本小题满分12分） 惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望； （2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到个新球的概率 参考公式：
6、互斥事件加法公式：（事件与事件互斥）独立事件乘法公式：（事件与事件相互独立）条件概率公式：18（本小题满分14分）正视图侧视图俯视图三棱柱的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，为的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值19(本小题满分14分)已知数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）令，是否存在，使得、成等比数列若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由20（本小题满分14分）已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，求的值；（3）直线交
7、椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，若点满足，证明：点在椭圆上21（本小题满分14分）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为， （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）设，求函数的表达式； （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在个数使得不等式成立，求的最大值惠州市2015届高三第三次调研考试数 学 (理科）参考答案与评分标准一选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案ACBADBBD1【解析】由得，；由得，。故选A.2【解析】首先是偶函数，且在上单减，而，故满足条件。故选C.3【解析】由不等式的性质知，当时，成立；反之，例如取，显然，而不成立。故选
8、B.4【解析】由已知知，所以，所以。选A.5【解析】当，时，必有或与异面直线，而与是共面的两条直线，所以。故选D.6【解析】分两类。第一类：甲、乙两人中恰有一人参加，方法种数为 种，第二类：甲、乙两人同时参加，方法种数为种，根据分类计数原理，满足条件的方法种数为480+240=720种。故选B.7【解析】对任意的，均有为定值，故，是以3为周期的数列，故，。选B.8【解析】对于（1），的最大值为，故（1）不正确。对于（2），要使最大，必有两点是圆上关于原点对称的两点，可设，则。故（2）正确；对于（3），设，则，去掉绝对值后可知当 时，取得最小值。故（3）正确。故选D.二填空题：共7小题，每小题5
9、分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题930 108 11 12 13 14. 159【解析】由条件有，而抽样比例为，故高二抽取的学生人数为人。10【解析】，。11【解析】，。12【解析】易知的最小值为4，故实数的取值范围是。13【解析】解析：由,得，设到距离，如图，则，所以，所以所求概率为 .14【解析】因为直线的普通方程为，圆C的普通方程为，故圆C的圆心到直线的距离，解得。15【解析】由切割线定理知，又易知，故，故。三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本小题满分12分）解：（1）由图可知， ， 1分最小正周期 所以 3分
10、 又 ，且 所以， 5分所以 6分(2) 解法一: 因为，所以， 8分，从而， 10分由，得. 12分解法二: 因为，所以， 8分, 则. 10分由，得. 12分17.（本小题满分12分）解：（1）的所有可能取值为0，1，2 1分设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以， 3分， 5分 7分所以的分布列为012的数学期望为 8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件而事件、互斥，所以由条件概率公式，得，9分，10分11分所以 12分所以第二次训练时恰好取到一个新
11、球的概率为。18.（本小题满分14分）解：由三视图可知，几何体为直三棱柱，侧面为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形，2分（1）直三棱柱中，平面，平面， ，D为AC的中点，又面，面，且，平面，又面，.6分ABCDO 又，又面，面，且，面，面，在正方形中，又面，面，且，面，又面，.8分由，又面，面，且，面. 9分（2）解法一（空间向量法）以为原点建系，易得设平面的法向量由，得令，得.12分又平面的法向量设二面角的平面角为，ABCDHE所以.14分解法二：所求二面角与二面角互余，取中点，有平面，过作垂线，垂足为，所以二面角的平面角是11分，ACDOS因为二面角与二面角互余，所以二面角的正切值为；
12、.14分解法三（补形）如图补成正方体，易得为二面角的平面角，.14分19（本小题满分14分）（1）解法1：当时，2分即4分所以数列是首项为的常数列5分所以，即 所以数列的通项公式为7分解法2：当时， 2分即 4分5分因为，符合的表达式 6分所以数列的通项公式为 7分（2）假设存在，使得、成等比数列，则8分因为，所以 11分 13分这与矛盾故不存在，使得、成等比数列14分20（本小题满分14分）解：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，.1分抛物线 .2分同理由椭圆上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得： 4分得椭圆.5分（2）设直线的方程为，则联立方程组，消去得：.6分且 .7分由得：整理得： .8分 .9分（3）设，则由得 .10分 .11分 12分由+得 .13分满足椭圆的方程，命题得证.14分21. （本小题满分14分）【解】（1）当时， -1分解得.-2分因为所以函数有单调递增区间为-3分（2）设，两点的横坐标分别为、，所以切线的方程为：-4分所以切线过点，所以有即同理，由切线过点，得 -5分由（1）、（2），可得的两根， -7分-8分把式代入，得因此，函数的表达式为 -9分（3）易知在区间上为增函数，则恒成立，所以不等式恒成立，即恒成立，-12分，由于为正整数，. -13 分又当，存在任意的正整数满足条件因此，的最大值为6. -14分
