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1、江门市普通高中2015届高三（上）调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知R为实数集，A=x|2x33x，B=x|x2，则AB=（）A x|x2Bx|x3Cx|2x3DR分析：求出不等式2x33x的解集A，再由并集的运算求出AB解答：解：由2x33x得，x3，则A=x|x3，又B=x|x2，则AB=x|x3，故选：B点评：本题考查并集及其运算，属于基础题2 i是虚数单位，则=（）A 1BiCiDi分析：利用复数代数形式的乘除运算法则求解解答：解：=故选：D点评：本题考查复数的乘除运算，是基础
2、题，解题时要注意运算法则的合理运用3已知三个实数：、c=log3，它们之间的大小关系是（）A abcBacbCbcaDbac分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质，以0和1作为中间量，可比较出a，b，c的大小解答：解：30=1、0=1、c=log3log31=0，abc，故选：A点评：本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答的关键4已知是非零向量，则“”是“”成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C非充分非必要条件D充要条件分析：根据“”成立，得到（）=0，结合是非零向量，推出，根据充要条件的判定方法可得结论解答：解：，（）=0，是非零向
3、量，故选：D点评：题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题5如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A 4B8C2D4分析：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，求出几何体的体积即可解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，该几何体的体积为V几何体=S底面h=3=2故选：C点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出该几何体是什么几何图形6在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=75，B=60，c=10，则b=（）A
4、 5B5C10D10分析：由A与B的度数求出C的度数，根据sinB，sinC，以及c的值，利用正弦定理求出b的值即可解答：解：在ABC中，A=75，B=60，c=10，C=45，由正弦定理=得：b=5，故选：B点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x4y4=0的位置关系是（）A直线经过圆心B相交但不经过圆心C相切D相离分析：求出圆心到直线的距离大于零且小于半径，可得直线和圆相交但不经过圆心解答：解：圆x2+y2+2x4y4=0，即 （x+1）2+（y2）2=9，表示以（1，2）为圆心、半径等于3的圆由于圆
5、心到直线=1的距离为=23，故直线和圆相交但不经过圆心，故选：B点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题8已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A（2，+）B（1，+）C（，2）D（，1）分析：分类讨论：当a0时，容易判断出不符合题意；当a0时，由于而f（0）=10，x+时，f（x），可知：存在x00，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则必须极小值f（）0，解出即可解答：解：当a=0时，f（x）=3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当
6、a0时，令f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，0） 0（0，）（，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增x，f（x），而f（0）=10，存在x0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x00，应舍去当a0时，f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，）（，0）0（0，+） f（x） 0+ 0 f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减而f（0）=10，x+时，f（x），存在x00，使得f（x0）=0，f（x）存在唯一的零点x0，且x
7、00，极小值f（）0，化为a24，a0，a2综上可知：a的取值范围是（，2）故选：C点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9双曲线9x216y2=144的离心率等于考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：双曲线方程化为标准方程，可得a=5，b=3，c=4，从而可求双曲线的离心率解答：解：双曲线9x216y2=144可化为，所以a=5，b=3，c=4，所以离心率e=故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双
8、曲线的几何性质，确定双曲线的几何量是关键10（5分）ABC是等腰直角三角形，已知A（1，1），B（1，3），ABBC，点C在第一象限，点（x，y）在ABC内部，则点C的坐标为（3，3），z=2xy的最大值是3考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：根据等腰直角三角形的定义先求出C的坐标，利用线性规划的知识即可得到结论解答：解：A（1，1），B（1，3），ABBC，点C在第一象限，|AB|=31=2，设C（x，y），则x0，y0，ABC是等腰直角三角形，|BC|=|x1|=2，解得x=3或x=1（舍），即C（3，3），由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2x
9、z经过点C时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大，此时z=2xy=233=3，故答案为：（3，3），3点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键11（5分）（2012四川）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90考点：异面直线及其所成的角专题：计算题分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，
10、1），=（2，1，2）=0，所以，即A1MDN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90，故答案为：90点评：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确否则容易由于计算失误而出错12（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是1考点：函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用分析：根据分段函数的表达式，分别求出对应的取值范围即可得到结论解答：解：作出函数f（x）的图象如图：当x0，f（x）=x0，当x0时，f（x）=x22x=（x1）211，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为1，故答案为：1点评：本题主要考查函数最值的求解，
11、根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题的关键13（5分）已知数列an满足a1=，an=1（n1），计算并观察数列an的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=5考点：归纳推理专题：计算题；推理和证明分析：确定数列an是以3为周期的周期数列，即可得出结论解答：解：a1=，an=1，a2=5，a3=，a4=，数列an是以3为周期的周期数列，a2015=a2=5，故答案为：5点评：本题考查归纳推理，确定数列an是以3为周期的周期数列是解题的关键三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（5分）计算定积分：2考点：定积分专题：导数的概念及应用分析：根据的导数为得到原函数是，写
12、出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减得到结果解答：解：=42=2故答案为：2点评：本题考查定积分，关键是求出原函数，属于一道基础题15已知定义在区间（，）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是，考点：两角和与差的正弦函数专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质分析：根据求导公式和题意求出f（x），结合定义域和余弦函数的性质求出f（x）0是x的范围，奇求出函数f（x）的单调递增区间解答：解：由题意得，f（x）=sinx+xcosxsinx=xcosx，根据余弦函数的性质得，当或时，f（x）0，所以f（x）的单调递增区间是和，故答案为：和点评：本题
13、考查余弦函数的性质，以及导数与函数的单调性关系，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），xR（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；（2）若，求cos的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）化简可得f（x）=，可求最小正周期，最大值；（2）依题意得，即，从而可求，解答：解：（1）f（x）=sin2x+1cos2x（2分），=（4分）最小正周期（5分），最大值（6分）（2）依题意，（7分）即（8分），（10分）
14、（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查17（14分）已知an是等差数列，a2=3，a3=5（1）求数列an的通项公式；（2）对一切正整数n，设bn=，求数列bn的前n项和Sn考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项a1=1，公差d=2，所以可得到an=2n1；（2）根据an先求出bn并将它变成，看到该通项之后，可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消，并且通过求前几项的和会发现是可以的，并且是有规律的，根据这个规律即可求出bn的前n项和Sn解答：解：（1）由得，a1=1，d=2；an
15、=1+2（n1）=2n1；（2）=；Sn=b1+b2+b3+bn=；通过前几项的求和规律知：若n为奇数，则；若n为偶数，则点评：考查等差数列的通项公式，以及裂项的方法求数列前n项和，以及通过前几项求和的规律找到求数列前n项和的方法18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）证明PA平面EDB；（2）证明PB平面EFD； （3）求二面角CPBD的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定专题：空间位置关系与距离；空间角分析：方法一：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中
16、位线的性质，可得PAEO，利用线面平行的判定可得结论；（2）证明DEPC，BC平面PDC，DE平面PBC，可得DEPB，利用线面垂直的判定定理，可得PB平面EFD；（3）确定EFD是二面角CPBD的平面角，利用正弦函数即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明，这表明PAEG，可得结论；（2）利用向量的数量积公式，证明PBDE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；（3）确定EFD是二面角CPBD的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决解答：方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO底面ABCD是正方形，点O是AC的中点
17、在PAC中，EO是中位线，PAEO而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA平面EDB（2）证明：PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDCPD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC 同样由PD底面ABCD，得PDBC底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC而DE平面PDC，BCDE 由和推得DE平面PBC而PB平面PBC，DEPB又EFPB且DEEF=E，所以PB平面EFD（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角由（2）知，DEEF，PDDB设正方形ABCD的边长为a，则，在RtPDB中，在RtEFD中，所以，二面角CPBD的
18、大小为；方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且，这表明PAEG而EG平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB（2）证明；依题意得B（a，a，0），又，故PBDE由已知EFPB，且EFDE=E，所以PB平面EFD（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），则（x0，y0，z0a）=（a，a，a）从而x0=a，y0=a，z0=（1）a所以由条件EFPB知，即，解得点F的坐标为，且，即PBFD，故EFD是二面角CPBD的平面角，且，所以，二面角CPBD的大小为点评
19、：本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题19（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：计算题；应用题；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，由条件求得k，设航速为xkm/h时，总费用为y元，求得y=80x+，可由基本不等式或函数的导数，即可得到最小值解答：解：设每小时燃料费与航速平方的比例
20、系数为k，则80=k102，解得，设航速为xkm/h时，总费用为y元，则=（方法一）令，解得x=25（负值舍去），当0x25时，y0，x25时，y0，x=25是极小值点，也是最小值点，此时（元）（方法二）x0，=4000（元），等号成立当且仅当，解得x=25（负值舍去）答：航速为25km/h时，总费用最少，此时总费用为4000元点评：本题考查函数的最值的应用题，考查运用导数求最值，运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题20（14分）在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经
21、过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程考点：轨迹方程；直线的一般式方程专题：计算题分析：（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是，即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x2+2y2=18；（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程解答：解：（1）设M（x，y），则：（x0）；点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x0）；（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；
22、x=4带入轨迹方程可得y=1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；设直线L斜率为k，则方程为：y=kx4k+1，带入轨迹方程并整理得：（1+2k2）x2+4k（14k）x+16（2k2k1）=0；直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：=16k2（14k）264（1+2k2）（2k2k1）=0；解得k=2；直线L的方程为：y=2x+9点评：考查轨迹与轨迹方程的概念，以及求轨迹方程的方法，斜率公式，直线的点斜式方程，一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何21（14分）已知函数f（x）=x3+ax21（aR是常数）（1）设a=3，x=x1、x=x2是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x
23、）关于点对称；（2）是否存在常数a，使得x1，5，|f（x）|33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由（注：曲线y=f（x）关于点M对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点P，若点P关于M的对称点为Q，则Q在曲线y=f（x）上）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：（1）把a=3代入函数解析式，求出函数的导函数，得到导函数的零点，求出M的坐标，求出曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点Q，由Q的坐标适合函数解析式说明结论成立；（2）把|f（x）|33恒成立转化为，然后构造两个函数，由导数求其最值得答案解答：（1）证明：当a=3时，f（x）=x3
24、3x21，f（x）=3x26x，由f（x）=0，得x1=0，x2=2，=M（1，3），曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点为，则，点Q在曲线y=f（x）上，曲线y=f（x）关于点M对称；（2）解：由|f（x）|33，即|x3+ax21|33，得33x3+ax2133，x=0时，不等式恒成立；x0时，不等式等价于，作，则，解，得x1=4，解，得列表：x1，0）（0，4）4（4，5+0g1（x）极大值+g2（x）g1（1）=31，g1（4）=6，在1，0）（0，5的最大值为6；g2（1）=35，在1，0）（0，5的最小值为综上所述，a的取值范围为点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件，是压轴题
