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1、揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考数学（理）试题一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1. 若集合，则集合不可能是（ ）A B C D2.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）NY输入x输出y结束开始 A. B. C. D.3.已知且，则“”是 “1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过按元/收费，超过的部分按元/收费.相应收费系统的流程图如右图所示，则处应填（ ） 5.在ABC中，则ABC的面积为（
2、） DA.3 B.4 C.6 D.6. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A B C D7.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”现给出下列函数：；是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有其中是“倍约束函数”的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（913题）9.不等式的解集是 10若则a3= . 11.若等比数列的各项均为正
3、数,且,则 .12.设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为 .13.设、满足约束条件，若目标函数的最大值为4，则的最小值为 .（二）选做题：(考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分)14.（坐标系与参数方程选做题） 已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线 的距离是 . 15.（几何证明选讲选做题）如图，已知点在圆直径的延长线上，过作圆的切线,切点为若,则圆的面积为 . 三、解答题：（本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（本题满分12分） 设, ,（）求的最小正周期；（）求的最大值及取最大值时的集合；（）求满足且
4、的角的值17. （本题满分12分） 某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：中学 人数 为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查（）问四所中学各抽取多少名学生？（）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列，数学期望和方差18(本题满分14分)如图，在四棱锥中，/，平面，. （）求证：平面；（）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求 的值19 （本题满分1分） 若数列的前项和为，对任意正整数都有记 （）求,的值；（）求数列的
5、通项公式；（）令，数列的前项和为，证明:对于任意的,都有20（本题满分14分）如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点（）求椭圆的方程；（）求的最小值，并求此时圆的方程；（）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值21. （本题满分14分）设函数，；，.（）求函数的单调区间； （）当时，求函数的最大值； （）求证：理科数学参考答案（）当，即时，有最大值，此时，所求x的集合为 9分 （）由得 得10分又由得 ， 故，解得 12分17. 解：（）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名， 抽取的样本容
6、量与总体个数的比值为 应从四所中学抽取的学生人数分别为 4分（）由（）知，名学生中，来自两所中学的学生人数分别为 依题意得，的可能取值为， 5分 ， 8分 的分布列为： 10分 12分18（）证明：因为平面，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，. 2分所以 ，所以，.所以 ，. 4分因为 ，平面，平面，所以 平面. 6分 （）解：设（其中），线与平面所成角为.所以. 所以.即 . 9分由（）知平面的一个法向量为. 因为 ， 12分得 .解得 .所以. 14分法2：() 依题意：,所以，又因为，所以，所以 .2分又因为平面，所以 .4分因为 ，平面，平面，所以 平
7、面. 6分（）解：设（），直线与平面所成角为.记交于，连结.过作平行于，交于. 连结、.由（）知，平面，平面，即为与平面所成角. . 8分设（），则.在中，.易证，即， . 在中，.在中，.根据余弦定理有：， 12分即，解得 .将，代入，解得. 14分19解：（）由，得，解得 1分，得，解得 3分（）由 ， 当时，有 ， 4分得：，分数列是首项，公比的等比数列分，分分（）证明:由（2）有. 10分 12分13分. 14分20.解：（）依题意，得，；故椭圆的方程为 3分（）点与点关于轴对称，设， 不妨设由于点在椭圆上，所以 （*） 4分 由已知，则， 6分由于，故当时，取得最小值为由（*）式，故
8、，又点在圆上，代入圆的方程得到 故圆的方程为： 8分（） 设，则直线的方程为：，令，得， 同理：， 10分故 （*） 11分又点与点在椭圆上，故，12分代入（*）式，得： 所以为定值 14分21.解：（）的定义域为， 1分令，）当时：在区间上，恒成立，故的增区间为； 2分）当时：在区间上，恒成立，故的减区间为； 3分在区间上，恒成立，故的增区间为. 4分（）时，所以； 5分）时，易知，于是：，由（）可知， 下证，即证明不等式在上恒成立.（法一）由上可知：不等式在上恒成立，若，则，故，即当时，从而，故当时，恒成立，即. 7分（法二）令，则，列表如下：表：递减极小值递增由表2可知：当时，故恒成立，即. 7分由于，且，故函数区间内必存在零点. 8分又当时，指数函数为增函数为增函数，同理当时，指数函数为减函数也为增函数，于是，当时， 必为增函数，从而函数在区间内必存在唯一零点，不妨记为，则，易知当时，此时单调递减；当时，此时单调递增，又易知，故；
