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1、韶关市2015届高三级十校联考理科数学试题命题人 本试卷共4页，21题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并
2、交回。5参考公式：如果事件相互独立，那么一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1已知全集，集合，集合，则（ ）A；B；C；D2已知是实数，是纯虚数，则等于（ ）A.；B. ；C. ；D. 3. 若实数满足 且的最小值为，则实数的值为（ ）A. ；B；C.；D. 4若两个向量与的夹角为，则称向量“”为“向量积”，其长度。已知，则等于（ ）A-4；B3；C4；D55已知，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A；BC；D6将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（ ）A. ；B；C.
3、；D.7已知椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆上,则的最大值是（ ）A. ；B；C.；D. 8设表示不超过的最大整数（如，）。对于给定的，定义，则当时，函数的值域为（ ）A；B；C；D二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分。每小题5分，共30分）（一）必做题：第9至第13题为必做题，每道试题考生都必须作答。9 10不等式的解集为 11如图,按如下程序框图，若判断框内的条件为，则输出的结果为 开始12在的展开式中常数项为，则常数的值为 13设偶函数满足，则使成立的的取值范围是 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只按第一题计分。14（坐标系与参数方
4、程选做题）曲线：（为参数）上的点到曲线： （为参数）上的点的最近距离为 15(几何证明选讲选做题)如图,若直角的内切圆与斜边相切于点,且,则的面积为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。16（本题满分12分）已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的单调增区间.17（本小题12分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列
5、与方差18（本小题满分14分）图（1）是长方体截去一个角后得到的几何体，其中底面是正方形，为中点，图（2）是该几何体的侧视图。（）判断两直线与的位置关系，并给予证明；（）求直线与平面所成角的大小。19（本小题满分14分）已知在数列中，当时，其前项和满足。() 求的表达式；() 设，数列的前项和证明20（本小题满分14分）如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.（I）求曲线的方程；（II）若过定点的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围.21（本小题满分14分）已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（
6、3）求证：对于一切正整数，都有韶关市2015届高三十校联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案1解析因为，所以，故选2解析因为是纯虚数，所以，即，所以应选择3解析作出可行域如图中的阴影部分所示显然当直线时过点时取得最小值，而通过解方程组得点坐标为由题意得的最小值为，所以，故选择4解析由已知得，所以，所以根据定义，知，所以选5解析由及，知直线与有可能是异面直线，故是错误的；由及知直线有可能在平面内，故错误；若一个平面垂直于两条平行线中的一条，必然也垂直于另一条，故正确，应选6解析将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式
7、是，即，也即，应选7解析若椭圆的方程知其长半轴的长为，则因为（当且仅当时取“=”）故选8解析依定义，当时，因在上是减函数，所以，即当时，因为函数，即在上是增函数，所以，即，从而，即所以函数的值域为，所以选择二、填空题（每小题5分，共30分）9；10；11；12；13或；14；159解析 因为，所以10解析利用绝对值的几何意义得不等式的解集为11解析由题意知输出12解析 展开式的通项为，由题意得当，即时，所以13解析因为，且是偶函数，所以不等式即为，又由，知是增函数，所以由不等式得，解得或14解析曲线的普通方程为，曲线的普通方程为，显然曲线上的点到曲线上的点的最远距离为15解析 设到的内切圆的切
8、线长为，因为,，则， 由是以为斜边的直角三角形得，即所以的面积为三、解答题16解：（1） 2分 3分由，可得 5分所以 7分(2)当， 9分即时，单调递增.所以，函数的单调增区间是 12分17解：（1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则2分那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率4分（2）可能取值为1，2，35分，8分123P的分布列为：9分的数学期望为10分的方差为12分18解：（I）直线和是相交直线1分证明：（方法一）连结设与相交于点，连结（如图）则四边形是平行四边形2分ABCGFDHEO且，且， 四点共面4分又，与必相交6分（方法二）（向量法
9、）由长方体的性质知，两两垂直，又由侧视图知：，如图，以为原点，分别以、为、轴，建立空间直角坐标系2分相关各点坐标为：，ABCGFDHEzyx，4分，即四点共面5分又不存在，使得，与不平行，与相交6分（II）由长方体的性质知，两两垂直，如图，以为原点，分别以、为、轴，建立空间直角坐标系 7分又由侧视图知： 9分相关各点坐标为：， 10分又平面的一个法向量是记直线与平面所成角为， 12分又， 13分直线与平面所成角为14分19解：(1)当时，代入，得 2分，由于，所以 4分所以是首项为，公差为2的等差数列 5分从而，所以 8分(2) 10分 12分13分所以14分20【解】（）因为所以直线为线段的
10、垂直平分线，1分又因为，所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆3分且椭圆长轴长为焦距，4分曲线E的方程为5分（）当直线斜率存在时，设直线方程为6分代入椭圆方程得到7分依题意得，即，得8分设，则是方程的两根所以，9分因为，所以故，所以，所以，从而，将代入并整理得10分因为，所以，从而即，解得11分由题意知，所以12分又当直线斜率不存在时，故13分所以的取值范围是14分21解：（1）当时，其定义域为1分因为，所以在上是增函数3分故当时，；当时，；当时，4分（2）当时，其定义域为，令得，6分因为当或时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为7分又当时，；当时，因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅有一个交点。所以或9分（3）方法一：根据（1）的结论知当时，即当时，即12分令，则有从而得， 13分故得即所以14分（3）方法二：用数学归纳法证明：当时，不等式左边，右边因为，所以，即时，不等式成立10分假设当时，不等式成立，即那么，当时，11分由（1）的结论知，当时，即所以12分即即当时，不等式也成立13分综合知，对于一切正整数，都有14分
