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1、武昌区2015届高三年级元月调研考试理 科 数 学 试 卷本试题卷共5页，共22题。满分150分，考试用时120分钟祝考试顺利 注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。2选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。4考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题
2、卷，评讲时带来。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i为虚数单位，若 ,则A1 B C D22已知,，“存在点”是“”的A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件C充要条件 D既不充分也不必要的条件3若的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为A1 B2 C3 D44根据如下样本数据x34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为.若，则每增加1个单位，就A增加个单位 B减少个单位 C增加个单位 D减少个单位 5.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶
3、点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上.用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为和，那么A B= C D不确定俯视图正视图侧视图36426一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是A24+和40 B24+和72 C64+和40 D50+和72 7已知x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A.或1 B2或 C2或1 D2或1CBxyOAEDFf(x)=sinxg(x)=cosx8如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(,1)，C(,1)，D(0,1)，正弦曲
4、线f(x)=sinx和余弦曲线g(x)=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A B C D 9抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足设线段的中点在上的投影为，则的最大值是A B C D10已知函数是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线对称，且.若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 A B C D 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（1114题）11已知正方形的边长为,为的中
5、点, 为的中点,则_.12根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是_.13.设斜率为的直线与双曲线交于不同的两点P、Q，若点P、Q在轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是 .14. “渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）. （）共有 个五位“渐升数”（用数字作答）； （）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是 .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按
6、第15题作答结果计分.）15（选修4-1：几何证明选讲）过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，则AB_16（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是（为参数，a为实数常数），曲线的参数方程是（为参数，b为实数常数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是. 若与分曲线所成长度相等的四段弧，则 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分11分）已知函数的在区间上的最小值为0.（）求常数a的值；（）当时，求使成立的x的集合.18（本小题满分12分
7、） 已知等差数列an的首项为1，前n项和为，且S1，S2，S4成等比数列 （）求数列的通项公式；（）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由. 19（本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.（）求证：A1FC1E；ABCDEFA1B1C1D1（）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值.20（本小题满分12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录： 日车流量x频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立（）求
8、在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望21（本小题满分14分）已知椭圆C：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为（）求椭圆C的标准方程；（）设F为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；（）在（）的条件下，当最小时，求点T的坐标22（本小题满分14分）已知函数(a为常数)，曲线yf(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为1.()求a的值及函数f(x)的单调区间；()证明：当时
9、，；()证明：当时，.武昌区2015届高三年级元月调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1A 2B 3B 4B 5.B 6C 7D 8B 9C 10C二、填空题：11 0 12 an2n，或aN2N 13. 14.（）126；（）34579 15 4 16 2三、解答题：17解：（）因为，所以.因为时，所以时的取得最小值.依题意，所以；（6分）（）由（）知.要使，即.所以，即.当时，；当时，.又，故使成立的x的集合是.（11分）18解：（）设数列的公差为，依题意，1，成等比数列，所以，即，所以或.因此，当时，；当时，.（6分）（）当时，此时不存在正整数n，使得；当时，.由，得，解得.故
10、的最大值为1006. （12分）19解：设.以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：，,，,CABDEFA1B1C1D1xyz,.（）因为，所以.所以.（4分）（）因为，所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.因为，所以当时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1-BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为,.设平面的法向量为， 则得取，得.显然底面的法向量为.设二面角的平面角为，由题意知为锐角.因为，所以，于是.所以，即二面角的正切值为.（12分）20解：（）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日
11、车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”则P(A1)0.350.250.100.70，P(A2)0.05，所以P(B)0.70.70.0520.049. （6分）（）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为，.X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343因为XB(3，0.7)，所以期望E(X)30.72.1. （12分）21解：（）由已知可得解得a26，b22.所以椭圆C的标准方程是. （4分）（）（）由（）可得，F点的坐标是(2，0).设直线PQ的方程为xmy+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y2+4my20，其判别式16m28(m
12、23)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2.于是x1x2m(y1y2)+4.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.因为，所以直线FT的斜率为，其方程为.当时，所以点的坐标为，此时直线OT的斜率为，其方程为.将M点的坐标为代入，得.解得. （8分）（）由（）知T为直线上任意一点可得，点T点的坐标为.于是，.所以.当且仅当m21，即m1时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1)（14分）22解：（）由，得.又，所以.所以，.由，得.所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. （4分） ()证明：由（）知.所以，即，.令，则.所以在上单调递增，所以，即.（8分） ()首先证明：当时，恒有.证明如下：令，则.由()知，当时，所以，所以在上单调递增，所以，所以.所以，即.依次取，代入上式，则，.以上各式相加，有所以，所以，即.（14分）另解：用数学归纳法证明（略）
