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1、北京市西城区高三抽样测试高三数学试卷（文科） 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.题号分数 一 二 三总分151617181920 第卷(选择题 共40分)一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.若集合，则集合等于（ ）A. B. C. D. 2.若向量，则等于（ ）A. B. C. D.3. 若，且，则等于（ ）A. B. C. D. 4.已知函数，那么函数的反函数的定义域为（ ）A. B. C. D. R5.已知m是平面的一条斜线，点，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能
2、出现的是（ ）A. B. C. D. 6. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种7已知圆的圆心为M，设A为圆上任一点，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线P4 ma mDCAB8如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0a12)、4m，不考虑树的粗细. 现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD. 设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内
3、，则函数（单位m2）的图象大致是（ ）A B. C. D.O aSO aSO aSO aS。 第卷( 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9.若双曲线的离心率为2，两焦点分别为，则此双曲线的方程为_.10. 已知实数x, y满足则的最大值为_.11. 在展开式中，常数项为_ .12. 若A,B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2，则此球的表面积为_， A,B两点间的球面距离为_.13. 对于函数，有如下三个命题： 的最大值为；在区间上是增函数；将的图象向右平移个单位可得的图象.其中真命题的序号是_.14. 已知
4、f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的函数.设f (x)=x2+x、g(x)=x+2，若h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个偶函数，且，则函数h (x)=_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分） 在中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，设a=4，c=3，.（）求的值； （）求的面积. 16.（本小题满分12分）在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验. 已知甲、乙批次
5、每件产品检验不合格的概率分别为，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响.（）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率； （）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率.17.（本小题满分14分） 如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，PC=PD=CD=2.PA BD C（）求证：； （）求二面角的大小；（）求点D到平面PBC的距离.18.（本小题满分14分）设函数R)在其图象上一点A处切线的斜率为-1.（）求函数f(x)的解析式；（）求函数f(x)在区间(b-1, b)内的极值.19.（本小题满分14分）给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线l
6、与C相交于A、B两点，O为坐标原点.（）设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（）设，求直线l的方程.20.（本小题满分14分）已知数列的前n项和为Sn，a1=1, 数列是公差为2的等差数列.（）求；（）证明数列为等比数列；（）判断是否存在Z)，使不等式对任意的N*成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.北京市西城区 2009年抽样测试参考答案 高三数学试卷（文科） 2009.1题号12345678答案 DBABCCBC一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 10. 14 11. 160
7、 12. 13. 14. -3x2+6 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（）解：因为, -3分 在中，由余弦定理，得，所以b=； -6分（）解：由（）知，所以， -9分由三角形的面积公式，得.所以的面积为. -12分16.（本小题满分12分）（）解：记 “至少有2件甲批次产品检验不合格” 为事件A. -1分由题意，事件A包括以下两个互斥事件：事件B：有2件甲批次产品检验不合格. 由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式，得； -3分事件C：3件甲批次产品检验都不合格. 由相互独立事件概率乘法公式，得； 所
8、以，“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为-6分（）解：记“甲批次产品检验不合格件数比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D. 由题意，事件D包括以下两个互斥事件： 事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有1件乙批次产品检验不合格. 其概率； -9分事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格. 其概率；所以，事件D的概率为. -12分17.（本小题满分14分）PA BD CEF方法一：（）证明：平面平面ABCD, 又平面平面ABCD=CD，, 平面PCD, -3分 平面PCD, ； -4分（）解：取PD的中点E，连接CE、BE，为正三角形，由（）知平面PCD,是BE
9、在平面PCD内的射影,为二面角B-PD-C的平面角, -7分在中, , BC=2, ,二面角B-PD-C的大小为； -10分（）解：过D作于F, 平面PCD， , , 平面PBC, 且平面PBC=F, 为点D到平面PBC的距离, -13分 在等边中, , , 点A到平面PBC的距离等于. -14分 方法二：（）证明：取CD的中点为O，连接PO，PA M BD CEyxzOPD=PC，平面平面ABCD, 平面平面ABCD=CD， 平面ABCD, -2分 如图，在平面ABCD内，过O作OMCD交AB于M， 以O为原点, OM、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则, ,；
10、-4分（）解：取PD的中点E，连接CE、BE，如（）建立空间坐标系，则，为正三角形，,为二面角B-PD-C的平面角, -7分 ， ， 二面角B-PD-C的大小为； -10分（）解：过点D作平面PBC于F， 为点D到平面PBC的距离, 设|DF|=h， ， ，即, 的面积，三棱锥D-PBC的体积，即，解得，点D到平面PBC的距离为. -14分18.（本小题满分14分）（）解：函数的导数, -2分 由题意，得, 所以, 故； -5分（）解：由（）知, 由, 得x=1, 或x=3. x变化时，的变化如情况下表： 13 0 - 0 + 极大值极小值0 -8分所以，当b1或时，函数无极值； -10分 当
11、b-11时，函数在x=1时，有极大值，此时函数无极小值； 当b-13时，函数在x=3时，有极小值0，此时函数无极大值； 当b1，且时，函数无极值. -13分 故当时，函数无极值； 当时，函数在x=1时，有极大值，此时函数无极小值； 当时，函数在x=3时，有极小值0，此时函数无极大值.-14分19.（本小题满分14分） 方法一：（）解：由题意，得，直线l的方程为.由, 得,设A, B两点坐标为, AB中点M的坐标为,则, 故点 -3分所以,故圆心为, 直径,所以以AB为直径的圆的方程为；-6分（）解：因为, 三点A, F, B共线且点A, B在点F两侧, 所以,设A, B两点坐标为, 则, 所以
12、 因为点A, B在抛物线C上, 所以, -10分 由，解得 所以, -13分 故直线l的方程为或.-14分 方法二：（）解：由题意，得，直线l的方程为.由, 得,设A, B两点坐标为, AB中点M的坐标为,因为所以, 所以, 故圆心为, -3分由抛物线定义，得,所以(其中p=2).所以以AB为直径的圆的方程为； -6分（）解：因为, 三点A, F, B共线且点A, B在点F两侧, 所以,设A, B两点坐标为, 则, 所以 -9分 设直线AB的方程为或(不符合题意，舍去). 由，消去x得 ， 因为直线l与C相交于A, B两点，所以,则, , 由，得方程组，解得 或 -13分 故直线l的方程为或.-14分20.（本小题满分14分）（）解：数列是公差为2的等差数列, 即 -2分 ； -4分（）证明：由题意，得 ， 是首项为-1，公比为的等比数列； -8分（）解：由（）得, , 是首项为，公差为2的等差数列, , -9分设存在整数，使不等式对任意的N*成立,即存在整数，使不等式对任意的N*成立,当n=1时，不等式成立，解得, -10分以下证明存在最大的整数，使不等式对任意的N*成立.当n=2时，不等式化简为，成立；当n时，, 成立. 综上，知存在整数，使不等式对任意的N*成立，且的最大值为1. -14分
