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1、安徽省淮北一中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷（解析版）一、选择题1已知全集，集合，集合，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，故选择A.考点：集合的运算.2设全集是实数集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：首先化简集合或，图中阴影部分所表示的集合是，选择C.考点：集合的图形表示及运算.3下列命题：幂函数的图象都经过点和点；幂函数的图象不可能是一条直线；时，函数的图象是一条直线；幂函数，当时是增函数；幂函数，当时，在第一象限内函数值随值的增大而减小幂函数的图象不可能在第四象限；其中正确的是（ ）A. B.
2、 C. D. 【答案】B【解析】试题分析：幂函数，只有当时，则其图象才都经过点和点，故错误；幂函数，当时，则其图象就是一条直线，故错误；幂函数，当时，则其图象是这条直线上去除点后的剩余部分，故错误；根据幂函数的性质可知：只有是正确的.考点：幂函数的图象和性质.4设函数是奇函数，在内是增函数，有，则的解集是（ ）A.或B. 或C.或D.或【答案】D【解析】试题分析：函数是奇函数，在内是增函数，又，可知：在内也是增函数，且，对于不等式，当时，必有，此时；当时，必有，此时，综合得不等式的解集为或，故选择D.考点：函数性质的综合应用.5设，都是定义在上奇函数，且，若，则等于（ ）A. B. C. D.
3、【答案】A【解析】试题分析：由，得，从而，故选择A.考点：函数的奇偶性.6已知，则的定义域为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：函数有意义，则必须满足，即，从而，所以函数的定义域为，那么的应满足，由此，故的定义域选择D.考点：复合函数的定义域.7已知映射，其中，对应法则，对应实数，在集合中不存在原像，则取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：首先由，可知当时，此函数的值域为，所以对应实数，在集合中不存在原像，则，从而有，故选择D.考点：映射的定义及二次函数的值域.8已知函数是定义在上的奇函数，当时，那么不等式的解集是（ ）A. B.或C. D. 或
4、【答案】B【解析】试题分析：由函数是定义在上的奇函数，当时，则当时，有，则，又函数为定义在上的奇函数，所以，即，因此不等式等价于：或或，解得或或，故不等式的解集应选择B.考点：函数的奇偶性及函数的解析式.9已知函数是上的增函数，则实数的范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：在上为增函数，首先分段函数的每段都要是增函数，则需满足，即，其次，还需满足在时，即，综上实数的范围是，故选择A.考点：分段函数的单调性.10已知是定义在上的偶函数，且当时，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：当时，由此可知在为增函数，又是定
5、义在上的偶函数，所以在为减函数，且它的图象关于轴对称. 若对任意实数，都有恒成立，即恒成立，即对任意实数，恒成立，两边平方得：，问题转化为：对任意实数，都有恒成立，此时只需满足，解得或，故选择A.考点：函数性质的综合应用.二、填空题11已知幂函数的图象过，则_.【答案】【解析】试题分析：设幂函数，因为图象过，则，所以，从而，因此.考点：幂函数的图象与性质.12设函数，则_.【答案】【解析】试题分析：依分段函数的定义，得，即.考点：分段函数求函数值.13集合，若，则实数的集合是_.【答案】【解析】试题分析：化简，因为，所以或或，从而或或，实数的集合是，不要忘了空集.考点：集合之间的关系.14已知
6、与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】试题分析：与函数的图象有两个交点，转化为方程有两个相异实根，即有两个相异实根，进而转化为与函数的图象有两个交点，作的图象（如图），则或，即或.考点：函数与方程及数形结合思想.15设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、，、 （除数），则称是一个数域.例如有理数集是数域；数集也是数域.有下列命题：数域必含有，两个数；整数集是数域；若有理数集，则数集必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是_.（把你认为正确的命题的序号填填上）【答案】【解析】试题分析：因为，故正确；任意两个整数相除，商不一定都是整数，
7、故错误；若，则就不是数域，故错误；因为必为任意一个数域的子集，故数域必为无限集，故正确；例如在数域中，可将换成其它的任意一个无理数，得到的集合都是数域，所以存在无穷多个数域，故正确.综上正确的有.考点：对及时定义的概念的理解和运用.三、解答题16（本题满分12分)已知集合，若，求实数的取值范围.【答案】或.【解析】试题分析：因为，则实数的取值必须满足两个集合没有公共元素，这就会得到关于实数的不等式从而求出实数的取值范围，但不要忘了的情形，以及端点是否可带等号，否则就会出错.试题解析：（1）当时，有；（2）当时，有；又，则有或或，或综上所述：实数的取值范围是或.考点：集合的运算.17（本题满分1
8、2分，每小题6分)（1）已知是一次函数，且满足：，求的解析式；（2）已知满足：，求的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：函数解析式的求法主要有三种：一、待定系数法：若已知函数类型，则可先设函数解析式，然后根据已知条件确定其系数；二、换元法：对于复合函数，求其外函数时，可考虑用换元法；三、函数方程法：即将所求函数作为未知数，建立关于函数作为未知数的方程组，通过解方程组，得到函数的解析式，通常变量以相反数或倒数形式出现，或函数具有奇偶性时，可以考虑用此方法.此处问题（1）可用待定系数法；问题（2）可用换元法和解方程组法.试题解析：（1）设一次函数（），则，因此有且，即有，所以；（2）
9、设，则，代入，则，再用去替换上式中的，又有，接下解方程组，得，所以.考点：函数解析式的求法.18（本题满分12分)若函数对任意的，恒有.当时，恒有.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数的单调性，并证明你的结论；（3）若，解不等式.【答案】（1）为奇函数，证明详见解析；（2）为上的减函数，证明详见解析；（3）解集为：.【解析】试题分析：（1）抽象函数奇偶性的判断更要紧扣定义，用好所取的特殊值，及它们之间的特殊关系，如取一些特殊值，等，问题往往就有所突破；（2）抽象函数单调性的判断也要紧扣定义，用好已知条件中的不等关系；（3）解抽象不等式主要是运用抽象函数本身的单调性，这里是运用
10、（2）得出的结论解题.试题解析：（1）令，可知，解得又，移项，所以为奇函数； （2）设，且，则，由已知条件知，从而，即，对照定义知：为上的减函数；（3）由已知条件知，又，所以原不等式可化为，又因为为上的减函数，所以，解得，即原不等式的解集为：.考点：抽象函数性质的研究及运用.19（本题满分13分)二次函数的图像顶点为，且图象在轴上截得线段长为.（1）求函数的解析式；（2）令 若函数在上是单调增函数，求实数的取值范围； 求函数在的最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）求二次函数的解析式可用待定系数法，关键是要建立关于系数的三个方程，这里依据条件不难得到，若运用二次函数的顶点式
11、，则显得更方便；（2）二次函数的单调性以对称轴为界，一边增，一边减，因此单调区间必须在对称轴的一侧；（3）二次函数在给定区间上的最值的研究，一定要掌握好分类讨论思想的运用，即按对称轴与给定区间的相对关系，分轴在区间的左、中、右三种情况进行讨论.试题解析：（1）由条件设二次函数（），设设的两根为，且，因为图象在轴上截得线段长为，由韦达定理得：，解得，所以函数的解析式为：；（2），而函数在上是单调增函数，对称轴在的左侧，所以实数的取值范围是.，对称轴，当时，当时，当时，.综上所述：.考点：二次函数的综合运用.20（本题满分13分)设二次函数在区间上的最大值，最小值分别为.集合（1）若，且，求和的值
12、；（2）若，且，记，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求和的值，首先必须求出二次函数的解析式，即求出系数的值，然后再求在给定区间上的最值；（2）首先求出含字母的二次函数的解析式，然后对照动对称轴与所给区间的关系，求出在给定区间上的最值，接下得到的表达式，由单调性得的最小值.试题解析：（1）由，可知.又，故是方程的两个实根，解得，当时，即；当时，即(2)由题意知，方程有两相等实根，即 ，其对称轴方程为，又，故，.，又在区间上为单调增函数，当时，.考点：二次函数的综合运用.21（本题满分13分)已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立.（1）判断在上的单调性，并证明你的
13、结论；（2）解不等式；（3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在上为增函数，证明详见解析；（2）解集为：；（3）或或.【解析】试题分析：（1）抽象函数的单调性应紧扣定义，从条件出发，若能了解一些函数单调性的等价定义：如且，为区间上的增（减）函数（），则判断更快捷些；（2）利用（1）的单调性结论解题，但不要忘记定义域；（3）恒成立求参数范围，常用的方法有：一、分离参数；二、数形结合；三、变更主元；四、等价转化.这里可先运用参数分离，然后用变更主元法，求实数的取值范围.试题解析：（1）任取，则，由已知，又，即，所以在上为增函数；（2）在上为增函数，故有，由此解得，所以原不等式的解集为：.（3）由（1）可知：在上为增函数，且，故对于，恒有.所以要使，对所有，恒成立，即要成立，故成立.设，即对，恒成立，则只需，解得或或，所以实数的取值范围为：或或.考点：函数的综合应用及恒成立含参数问题的研究.
