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1、郑州市2013年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分考试时间120分钟，满分150分考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效第卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知集合A（x，y）xy10，x，yR，B（x，y）y1，x，yR，则集合AB的元素个数是 A0 B1 C2 D32已知x，yR，i为虚数单位，若x1yi，则xy的值为 A2 B3 C4 D53下列命题中的假命题是 AR，0 BR，0 CR，lgx1 DR，sinxcosx24设a为实
2、数，函数f（x）a（a3）x的导函数为，且是偶函数，则曲线yf（x）在原点处的切线方程为 Ay3x By3x Cy3x1 Dy3x1 5已知实数x，y取值如下表： 从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且095xa，则a的值是 A130 B145 C165 D1806已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题： lm；lm；lm；lm. 其中正确命题的序号是 A B C D7如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有A1个 B2个 C3个 D4个8已知z3xy，x，y满足且z的最大值是最小值的3倍，则m的值是A B C D9抛物
3、线8x的准线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为 A B C D210函数y2cos（x）（0）且，在区间，上单调递增，且函数值从2增大到2，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为 A1 B C D11已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点今有一水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c，当静止放在点A的小球（半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A，则小球经过的路径是 A4a B2（ac） C2（ac） D以上答案都有可能12在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b2，且12c
4、os（BC）0，则ABC的BC边上的高等于A B C D第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，第22题24题为选考题考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。共20分13如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为_（用分数表示）14已知数列的通项公式2013sin，则a1a2a2013_15已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4，8，h，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为100，则h_16已知函数yf（x）的图象与函数y1的图象关于直线y
5、x对称，则f（3）_.三解答题：本大题共6个小题。共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分） 已知数列是公差不为0的等差数列，a12，且a2，a3，a41成等比数列 （）求数列的通项公式； （）设，求数列的前n项和18（本小题满分12分） 2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准，其中规定：居民区的PM25的年平均浓度不得超过35微克立方米某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM25平均浓度的监测数据统计如下：（）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天? （）在（）中所抽取的样本
6、PM25的平均浓度超过75（微克立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克立方米）的概率19（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形PDCE为矩形，ABCD为直角梯形，且BADADC90，平面PDCE平面ABCD，ABADCD1，PD （）若M为PA的中点，求证：AC平面MDE；（）求原几何体被平面PBD所分成的左右两部分的 体积比20（本小题满分12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率e，短轴右端点为A，P（1，0）为线段OA的中点。 （）求椭圆C的方程； （）过点P任作一条直线与椭圆C相交于两点M，N，试问在x轴上是否存在定点Q，使得MQPNQP，若存在，求
7、出点Q的坐标；若不存在，说明理由21（本小题满分12分）已知函数f（x）（2a）lnx1，g（x）lnxax（aR），令（x）f（x）（x）。 （）当a0时，求（x）的极值； （）当a2时，求（x）的单调区间； （）当3a2时，若对，1，3，使得（）（）（mln2）a2ln3恒成立，求实数m的取值范围选做题（本小题满分10分，请从22、23、24三个小题中任选一题作答并用铅笔在对应方框中涂黑）22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图，AB是O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是O的割线，已知ACAB （）求证：FGAC； （）若CG1，CD4，求的值23（本小题满分
8、10分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数） （）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程； （）设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为M（x，y），求xy的取值范围24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数f（x）（2x1x2a） （）当a4时，求函数f（x）的定义域； （）若对任意的xR，都有f（x）2成立，求实数a的取值范围2013年高中毕业年级第三次质量预测数学（文科） 参考答案一、选择题CBDBB CCDAA DC二、填空题13 14. 2013 15. 16. -
9、2三、解答题17解：（）设数列的公差为，由和成等比数列，得， 2分解得，或，当时，与成等比数列矛盾，舍去. 4分即数列的通项公式为 6分（） 8分 12分18. 解：（）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，第一组抽取天；第二组抽取天；第三组抽取天；第四组抽取天. 4分（）设PM2.5的平均浓度在(75,115内的4天记为，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为所以6天任取2天的情况有：共15种 8分记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：共8种 10分所求事件A的概率 12分19.（）证明：连结,交于,连结，在中，分别为两腰的中点, 3分因为所以平
10、面. 6分（）由四边形为矩形，知又平面平面，三棱锥的体积为. 8分由已知又平面平面，四棱锥的体积为.10分所以原几何体被平面所分成的两部分的体积比. 12分yyyyNyyA20.解：()由已知，又，即，解得，所以椭圆方程为. 4分()存在.证明如下:假设存在点满足题设条件. 当轴时，由椭圆的对称性可知恒有，即； 6分 当与x轴不垂直时，设所在直线的方程为，代入椭圆方程化简得： ， 设，则 .， 9分 ，若， 则， 11分 即， 整理得，.综上,在轴上存在定点，使得. 12分21.解: () 其定义域为.1分当时，,. 2分令当时, 当时, 所以的单调递减区间为单调递增区间为所以当时, 有极小值
11、无极大值. 4分() 5分当时，.令,得,或.令,得.当时，的单调递减区间为单调递增区间为 8分()由()可知,当时，在上单调递减,所以所以因为对，恒成立，所以, 10分整理得又,所以又，得 所以第22题图故实数的取值范围是 12分22解：()因为为切线，为割线，所以，又因为，所以所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以 5分()由题意可得：四点共圆，.又，=4. 10分23解：（）直线的直角坐标方程 2分 曲线的直角坐标方程. 4分（）曲线经过伸缩变换得到曲线的方程为，则点参数方程为，代入得，=,的取值范围为. 10分24.解：（）由题意得， .， ,.,，.综上所述,函数的定义域为. 5分（）由题意得恒成立，即，恒成立，令显然时，取得最小值，. 10分
