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1、 北京市朝阳区高三统一考试 数学试卷 （理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至2页，第卷3至10页，共150分考试时间120分钟第卷（选择题 共40分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不能答在试卷上一、选择题 ：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若 ，且，则是 （ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角2对于向量、和实数，下列命题中真命题是 （ ）A若，则 B若，则C若，则或 D若，则=03设函数的图象关于点（2，1
2、）对称，且存在反函数若，则的值是（ ） A-1 B1 C2 D34已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，下列命题中的真命题是 （ ） A如果，那么B如果，那么C如果共面，那么D如果,，,那么5从原点向圆引两条切线，则两条切线所夹的劣弧的长是 （ ） A B C D6若集合，则“”是“”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2-2-11yxO7 在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） 8设为大于零的常数，则函数的最小值是 （ ）A B C D第卷（ 共110分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2答卷前将密封线内的
3、项目填写清楚题 号二 三总分9101112131415 16 17 18 19 20分 数得分评卷人 二、填空题 ：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9设为虚数单位，= 10的展开式中常数项是 11从5名学生中选出3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每科1人若学生甲不能参加物理竞赛，则不同的参赛方案共有 种(用数字作答) 12直线与的公共点的坐标是 ；设动点的坐标满足约束条件 且为坐标原点，则的最小值为 13已知双曲线的右焦点为，为双曲线左准线上的点，且交双曲线于第一象限一点，若为坐标原点，且垂直平分，则双曲线的离心率= 14 给出如下三角形数表：12 23 4 34 7
4、7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6此数表满足： 第行首尾两数均为， 表中数字间的递推关系类似于杨辉三角，即除了“两腰”上的数字以外，每一个数都等于它上一行左右“两肩”上的两数之和第行第个数是_三、解答题 ：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤得分评卷人 15（本小题满分13分）在中，角所对的边的长分别为，且满足（）求角的值；（）若，求的值得分评卷人 16（本小题满分13分）某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：血型ABABO人数2010515（）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；（）从这50位学生中随机
5、选出2人，求这2人血型相同的概率；（）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A,O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为，求随机变量的分布列及数学期望得分评卷人 17（本小题满分14分）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AA1=4，AB=2， E是棱CC1上的一个动 点ECDBAA1C1D1B1 （）求证：BE平面AA1D1D； （）当CE=1时，求二面角BEDC的大小； （）当CE等于何值时，A1C平面BDE得分评卷人 18（本小题满分13分）已知数列满足，点在直线上，数列满足，（）求数列，的通项公式；（）设，求数列的前项和得分评卷人 19（本小题满分13分）
6、已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右焦点，且到椭圆的右准线的距离为，点为上的动点，直线交椭圆于两点（）求椭圆的方程；（）求的面积的取值范围；（）设，求证为定值 得分评卷人 20（本小题满分14分）已知函数（）当时，求函数的单调区间；（）求函数在区间上的最小值北京市朝阳区高三统一考试 数学试卷答案(理科) 20092一选择题:题 号12345678答案DAAC CABB二填空题: 9 10 15 11 48 12； 5 13 14 三解答题:15解：（） 因为，所以所以即=0在中，,所以=0，得 5分（）因为，所以 又因为是的内角，所以所以 13分16 解：（）记“这2人血型都为A型”为事件A，
7、那么，即这2人血型都为A型的概率是 4分（）记“这2人血型相同”为事件B，那么，所以这2人血型相同的概率是 8分（）随机变量可能取的值为0，1，2且，所以的分布列是012的数学期望为E=0+1+2=13分17解法（一）（）证明： 由已知，为正四棱柱，HECDBAA1C1D1B1图1所以平面BB1C1C平面AA1D1D,又因为BE平面BB1C1C，所以，BE平面AA1D1D 4分（）解：如图1，过C作CHED于H，连接BH因为为正四棱柱，所以BC平面C1CDD1.则CH是斜线BH在面C1CDD1上的射影,所以BHED 所以BHC是二面角BEDC的平面角在RtECD中，易知因为,所以EOCDBAA
8、1C1D1B1图2在RtBCH中，,所以,所以,二面角BEDC的大小是9分（）如图2，连结AC交BD于点O, 因为为正四棱柱，ACBD，AA1平面ABCD，由三垂线定理可知，A1CBD连结B1C，因为A1B1平面B1BCC1，所以B1C 是A1C在平面B1BCC1上的射影要使A1C平面BDE，只需A1CBE，由三垂线定理可知，只需B1CBE 由平面几何知识可知，B1CBE BCEB1BC 由已知BB1=AA1=4，BC=AB=2，所以即当时, A1C平面BDE 14分解法（二）建立空间直角坐标系Axyz，如图EOEyEzExECDBAA1C1D1B1（）证明： 依题意可设E（2，2，z）,因为
9、B（2，0，0）, 所以=（0，2，z）又因为, 为平面AA1D1D的法向量且，所以， 而BE平面AA1D1D，所以，BE平面AA1D1D（）因为CE=1，所以E（2，2，1）,又B（2,0,0）,D(0,2,0),所以=（0，2，1）, 设平面BDE的法向量为,由得 所以所以又面,所以为平面CDE的法向量因为,所以由图可知,二面角的平面角小于,所以二面角BEDC的大小是（）解：连结AC交BD于点O因为为正四棱柱，所以ACBD要使A1C平面BDE，只需A1CBE由题意B（2，0，0），C（2，2，0），A1（0，0，4），设CE=x，则E（2，2，x）， 所以, 由，得，解得 所以CE=1时，
10、A1C平面BDE 18 解：（）由点在直线上，所以则数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以由，则 = ，()两式相减得：,即数列的前项和,当时，所以.当时，所以 7分（）因为，所以 当时， 当时，设令，则，两式相减得：，所以因此， 13分 又时，也满足上式，故.19 解：（）由题意得 解得，所以椭圆的方程为 4分（）因为右准线的方程为，所以可设动点的坐标为，由（）知焦点的坐标分别，所以直线的方程为设两点的坐标分别为，由得，于是，所以点到直线的距离，所以的面积，由题知且，于是，故的面积的取值范围是 9分（）由（）及，得，于是，所以因为，所以，即为定值 14分20（）解：当时, ,由得, 解得或注意到,所以函数的单调递增区间是由得,解得,注意到,所以函数的单调递减区间是 当时，由得,解得，注意到,所以函数的单调递增区间是由得,解得或，由,所以函数的单调递减区间是综上所述，函数的单调递增区间是，；单调递减区间是， 5分（）当时,，所以，设.当时，有, 此时,所以,在上单调递增 所以当时, 令,即,解得或(舍);令,即,解得若,即时, 在区间单调递减，所以若,即时, 在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以若,即时, 在区间单调递增，所以综上所述,当或时, ; 当时, ;当时, 13分
