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1、2015-2016学年湖北省孝感高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列反映两个变量的相关关系中，不同于其它三个的是( )A名师出高徒B水涨船高C月明星稀D登高望远2重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是( )A19B20C21.5D233某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )一年级二年级三年级女生373xy男生37
2、7370zA24B18C16D124从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A“至少有一个红球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“都是黑球”C“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”5执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是( )Ak6Bk7Ck8Dk96下列关于概率的理解中正确的命题的个数是掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0.4；某种体育彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票一定能中奖；孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70%是指明天孝感有70%的区域下雨，30%的区域
3、不下雨( )A0B1C2D37已知（1+x）10=a0+a1（1x）+a2（1x）2+a10（1x）10，则a8=( )A180B180C45D458已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y2.24.34.54.8t且回归方程是=0.95x+2.6，则t=( )A6.7B6.6C6.5D6.49程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=( )A0B2C4D141020152015除以8的余数为( )A1B3C5D711对于两随机事件A，B若P（AB）=P（A）+P（B）=1，则事件A，
4、B的关系是( )A互斥且对立B互斥不对立C既不互斥也不对立D以上均有可能12如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，若an=2015，则n=( )A83B82C39D37二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上）13如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数现从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为_14回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数如121，94249是回文数，则4位回文数有_个15已知离散型随机变量X的分布列为X0
5、12P0.512qq2则常数q=_16关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，没人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计的值假如统计结果是m=34，那么可以估计_（用分数表示）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图如图观察图形，回答下列问题：（1）49.569.5这一组的频率和频数分别为多
6、少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的中位数及平均成绩18x的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数x（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；（2）求输出的y（y5）的概率；（3）求输出的y（6y8）的概率19已知的展开式中前三项的系数成等差数列（）求n的值；（）求展开式中系数最大的项20设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率21（1）求证：C=C；（2）求和：C+22C+32C+k2C+n2C22
7、在（1+x+x2）n=D+Dx+Dx2+Dxr+Dx2n1+Dx2n的展开式中，把D，D，D，D叫做三项式系数（1）当n=2时，写出三项式系数D，D，D，D，D的值；（2）类比二项式系数性质C=C+C（1mn，mN，nN），给出一个关于三项式系数D（1m2n1，mN，nN）的相似性质，并予以证明；（3）求DCDC+DC+（1）kDC+DCDC的值2015-2016学年湖北省孝感高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列反映两个变量的相关关系中，不同于其它三个的是( )A名师出高徒B水涨船高C
8、月明星稀D登高望远【考点】变量间的相关关系【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】由题意，A，B，C具有因果关系，C没有因果关系，可得结论【解答】解：由题意，A，B，D具有因果关系，C没有因果关系，是感觉的故选：C【点评】本题考查了两个变量之间具有相关关系的定义，根据学过公式和经验进行逐项验证，一定要和函数关系区别出来2重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是( )A19B20C21.5D23【考点】茎叶图【专题】概率与统计【分析】根据中位数的定义进行求解即可【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B【点评】本题主
9、要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键比较基础3某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )一年级二年级三年级女生373xy男生377370zA24B18C16D12【考点】分层抽样方法【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的
10、学生人数为故选C【点评】本题考查分层抽样知识，属基本题4从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A“至少有一个红球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“都是黑球”C“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【考点】互斥事件与对立事件【专题】概率与统计【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，B不正确对于C
11、：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，D正确故选D【点评】本题考查互斥事件与对立事件首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件属简单题5执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是( )Ak6Bk7Ck8Dk9
12、【考点】程序框图【专题】图表型【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件【解答】解：根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 log23 3第二次循环 log23log34 4第三次循环 log23log34log45 5第四次循环 log23log34log45log56 6第五次循环 log23log34log45log56log67 7第六次循环 log23log34log45log56log67log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k7故选B【点评】本题考查程序框图，尤其考查循
13、环结构对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律本题属于基础题6下列关于概率的理解中正确的命题的个数是掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0.4；某种体育彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票一定能中奖；孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70%是指明天孝感有70%的区域下雨，30%的区域不下雨( )A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【专题】阅读型；对应思想；定义法；概率与统计；简易逻辑【分析】根据概率和频率的辩证关系，及概率的意义，逐一分析三个命题的真假，可得答案【解答】解：掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的频率是0.4，概率是0.5，故错误；某种体育彩
14、票的中奖概率为，则买1000张这种彩票也不一定能中奖，故错误；孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70%是指明天孝感有70%的可能下雨，故错误；综上所述，正确的命题个数是0个，故选：A【点评】本题以命题的真假判断和应用为载体，考查了频率的基本概念，难度不大，属于基础题7已知（1+x）10=a0+a1（1x）+a2（1x）2+a10（1x）10，则a8=( )A180B180C45D45【考点】二项式定理【专题】计算题【分析】将1+x写成2（1x）；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1x的指数为8，求出a8【解答】解：（1+x）10=10其展开式的通项为Tr+1=（1）r210rC10r（1x）
15、r令r=8得a8=4C108=180故选B【点评】本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题关键是将底数改写成右边的底数形式8已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y2.24.34.54.8t且回归方程是=0.95x+2.6，则t=( )A6.7B6.6C6.5D6.4【考点】线性回归方程【专题】计算题；规律型；对应思想；概率与统计【分析】利用回归直线方程结果样本中心，列出方程即可求出t【解答】解：由题意可得：=2=，回归方程是=0.95x+2.6，可得解得t=6.7故选：A【点评】本题考查回归直线方程的应用，考查计算能力9程序框图的算法思路源于我国古
16、代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=( )A0B2C4D14【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【解答】解：由a=14，b=18，ab，则b变为1814=4，由ab，则a变为144=10，由ab，则a变为104=6，由ab，则a变为64=2，由ab，则b变为42=2，由a=b=2，则输出的a=2故选：B【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题1020152015除以8的余数为( )A1B3C5D7【
17、考点】二项式定理的应用【专题】转化思想；综合法；二项式定理【分析】先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数【解答】解：20152015=2015=2016201520162014+2016201320162012+2016，故20152015除以8的余数为=1，即20152015除以8的余数为7，故选：D【点评】本题考查利用二项式定理的展开式解决整除性问题，关键是将幂形式写成二项式形式，属于基础题11对于两随机事件A，B若P（AB）=P（A）+P（B）=1，则事件A，B的关系是( )A互斥且对立B互斥不对立C既不互斥也不对立D以上均有可能【考点】互斥事件与对立事
18、件【专题】探究型；分类讨论；分类法；概率与统计【分析】通过理解互斥与对立事件的概念，核对四个选项即可得到正确答案【解答】解：若是在同一试验下，由P（AB）=P（A）+P（B）=1，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P（AB）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立，所以事件A与B的关系是不确定的故选：D【点评】本题考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题12如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，若an=2015，则n=( )A83B82C39D37【考点】数列递推式【专题】点列、递归数列与
19、数学归纳法【分析】利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论【解答】解：由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+43+2+33+62=36个，四位数小于等于2015：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个
20、，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有34+63+1+7=38个数，小于等于2015的一共有1+8+36+38=83个，即a83=2015故选：A【点评】本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上）13如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数现从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题；整体思想；分析法；概率与统计【分析】一一
21、列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为故答案为：【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题14回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数如121，94249是回文数，则4位回文数有90个【考点】计数原理的应用【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合
22、【分析】依题意，利用排列组合可求得4位回文数共有个【解答】解：依题意，利用排列组合可求得4位回文数共有=90个故答案为：90【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解回文数的定义是解题的关键15已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.512qq2则常数q=1【考点】离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】由分布列的性质可得 0.5+12q+q2=1，解得q的值【解答】解：由分布列的性质可得 0.5+12q+q2=1，解得q=1+（舍去），或 q=1，故答案为 【点评】本题主要考查离散型的分布列的性质，属于基础题16关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和
23、查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，没人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计的值假如统计结果是m=34，那么可以估计（用分数表示）【考点】模拟方法估计概率【专题】应用题；概率与统计【分析】由试验结果知120对01之间的均匀随机数x，y，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y21且，x+y1，面积为，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计的值【解答】解：由题意，120对都小于l的
24、正实数对（x，y），满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y21且，x+y1，面积为，因为统计两数能与l构成钝角三角形三边的数对（x，y） 的个数m=34，所以=，所以=故答案为：【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图如图观察图形，回答下列问题：（1）49.569.5这一组的频率和频数分别为多少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的中位数及平均成绩【考点】频率分布直方
25、图；众数、中位数、平均数【专题】数形结合；定义法；概率与统计【分析】（1）根据频率分布直方图，结合频率和频数的定义和公式进行求解即可（2）根据中位数和平均数的定义和公式进行求解【解答】解：（1）频率为（0.015+0.015）10=0.30 频数为0.3060=18（2）平均成绩为44.50.1+54.50.15+64.50.15+74.50.3+84.50.25+94.50.05=70.5，中位数为69.5+=72.8【点评】本题主要考频率分布直方图的应用，要求熟练掌握频数，频率和中位数和平均数的公式和概念，比较基础18x的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数x（1）请写出程序框图所
26、表示的函数表达式；（2）求输出的y（y5）的概率；（3）求输出的y（6y8）的概率【考点】程序框图【专题】函数的性质及应用；概率与统计；算法和程序框图【分析】（1）由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y的值，分析程序各分支对应的操作可得程序框图所表示的函数表达式；（2）求出输出的y（y5）的x值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案；（3）求出输出的y（6y8）的值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案；【解答】解：（1）由已知可得程序框图所表示的函数表达式是 ； （2）当y5时，若输出y=x+1（0x7），此时输出的结果满足x+15，所以0x4，若输出y=
27、x1（7x10），此时输出的结果满足x15，所以0x6（不合），所以输出的y（y5）的时x的范围是0x4则使得输出的y（y5）的概率为； （3）当x7时，输出y=x+1（0x7），此时输出的结果满足6x+18解得5x7；当x7时，输出y=x1（7x10），此时输出的结果满足6x18解得7x9；综上，输出的y（6y8）的时x的范围是5x9则使得输出的y满足6y8的概率为 【点评】本题考查的知识点是程序框图，分段函数，几何概型，是概率，函数与算法的综合应用，难度不大，属于基础题19已知的展开式中前三项的系数成等差数列（）求n的值；（）求展开式中系数最大的项【考点】二项式系数的性质【专题】计算题【分
28、析】（I）利用二项展开式的通项公式求出展开式前三项的系数，列出方程求出n（II）设出系数最大的项，据最大的系数大于等于它前一项的系数同时大于等于它后一项的系数，列出不等式组求出r，求出系数最大的项【解答】解：（）由题设，得，即n29n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）（）设第r+1的系数最大，则即解得r=2或r=3所以系数最大的项为T3=7x5，【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查二项展开式中系数最大项的求法20设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实
29、根的概率（2）若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型【专题】计算题【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到ab（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2，满足条件的构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab，根据概率等于面积之比，得到概率【解答】解：设事件A为“方程有实根”当a0，b0时，方程有实根的充要条件为ab（1）由题意知本题是一个古典概型
30、，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P=（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2满足条件的构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab所求的概率是【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点21（1）求证：C=C；（2）求和：C+22C+32C+k2
31、C+n2C【考点】组合及组合数公式【专题】证明题；转化思想；构造法；排列组合【分析】（1）根据组合数的公式，把等式右边变形，化出左边公式即可；（2）根据k（k1）=n（n1），把k2化为n（n1）+n，再由此求和【解答】解：（1）证明：右边=左边，即证明等式成立；（2）k（k1）=k（k1）=n（n1）=n（n1），k2=n（n1）+n，C+22C+32C+k2C+n2C=n（n1）（+）+n（+）=n（n1）2n2+n2n1=n（n+1）2n2【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了转化思想与构造法的应用问题，是中档题目22在（1+x+x2）n=D+Dx+Dx2+Dxr+Dx2n1+
32、Dx2n的展开式中，把D，D，D，D叫做三项式系数（1）当n=2时，写出三项式系数D，D，D，D，D的值；（2）类比二项式系数性质C=C+C（1mn，mN，nN），给出一个关于三项式系数D（1m2n1，mN，nN）的相似性质，并予以证明；（3）求DCDC+DC+（1）kDC+DCDC的值【考点】二项式定理的应用【专题】转化思想；同一法；二项式定理【分析】（1）直接利用条件求得三项式系数D，D，D，D，D的值（2）类比二项式系数性质C=C+C（1mn，mN，nN），得到三项式系数有如下性质，再根据（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）n（1+x+x2）的左右两边xm+1 的系数相等，证得=+
33、成立（3）根据（1+x+x2）2015 （x1）2015 =（x31）2015 的等式两边的x2015项的系数相同，从求得要求式子的值【解答】解：（1）因为（1+x+x2）n =x4+2x3+3x2+2x+1，D=1，D=2，D=3，D=2，D=1（2）类比二项式系数性质C=C+C（1mn，mN，nN），三项式系数有如下性质：=+ （1m2n1）因为（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）n（1+x+x2），所以（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）（ D+Dx+Dx2+Dxr+Dx2n1+Dx2n）上式左边xm+1 的系数为，而上式右边xm+1 的系数为+，可得 =+，（1m2n1）（3）（1+x+x2）2015 （x1）2015 =（D+Dx+Dx2+Dxr+Dx2n1+Dx2n）（x2014+x2013x2012+x ），其中x2015系数为 DCDC+DC+（1）kDC+DCDC，（1+x+x2）2015 （x1）2015 =（x31）2015， 而二项式的（x31）2015的通项公式 Tr+1=，因为2015不是3的倍数，所以（x31）2015 的展开式中没有x2015项，由代数式恒成立，可得DCDC+DC+（1）kDC+DCDC=0【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于难题
