湖北省华中师大一附中高三5月适应性考试 理科数学试题及答案.doc

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1、华中师大一附中2016届高三五月适应性考试试题(一)理科数学(A卷)本试卷共4页,24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 第卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)已知, 若,则 第3 题 A. B. C. 或 D. 或或(2)设复数, 则 A. B. C. D. (3)武汉市2015年各月的平均气温()数据的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是 A. B. C. D. (4)设等比数列的前项和为,则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件(

2、5)在平行四边形中,将此平行四边形沿折成 直二面角,则三棱锥外接球的表面积为 A. B. C. D. (6)对于函数,给出下列四个命题:存在,使 ;存在,使恒成立;存在,使函 数的图像关于坐标原点成中心对称;函数的图像关于直线 对称;函数的图像向左平移个单位长度就能得到的图像其中 正确命题的序号是 A. B. C. D. (7)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数后输出的, 则的值为 A. B. C. D. 第7 题(8)已知是定义在R上的两个函数,且对R, 恒成立.命题:若为偶函数, 则也为偶函数;命题:若时,在R上恒成 立,则为R上的单调函数.则下列命题正确的是 A.

3、 B. C. D. (9)已知点是抛物线上的一个动点,是圆上 的一个动点,是一个定点, 则的最小值为 A. B. C. D. (10)若点是锐角所在的平面内的动点,且。 给出下列命题:第11题 恒成立; 的最小值为; 点的轨迹是一条直线; 存在点使 其中正确的命题为 A. B. C. D. (11)如图所示:网格上的小正方形的边长为,粗实线画出的是 某多面体的三视图,则该多面体的各面面积中的最大值为 A. B. C. D. (12)已知,设函数存在极大值点,且对于的任意可能 取值,恒有极大值,则下列结论中正确的是 A. 存在,使得 B. 存在,使得 C. 的最大值为 D. 的最大值为第卷 本卷

4、包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题第24题为选考题,考生根据要求作答。二. 填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。(13)若,则等于_(14)给定双曲线,若直线过的中心,且与交于两点,为 曲线上任意一点. 若直线的斜率均存在且分别记为、,则 _. (15)已知点的坐标满足, 则 的取值范围为_(16)在数列中,是数列的前 项和,当不等式恒成立时,的所有可能取值为 _三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分) 为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出 一种新的“弹

5、射型”气象仪器,这种仪器可以弹射到空中进 行气象观测如图所示,三地位于同一水平面上,这 种仪器在地进行弹射实验,观测点两地相距米, ,在地听到弹射声音的时间比地晚秒在地测得该仪器至最 高点处的仰角为 ()求,两地的距离; ()求这种仪器的垂直弹射高度(已知声音的传播速度为340米/秒)(18)(本小题满分12分) 如图,平面,分别是,的中点, , ()求二面角的余弦值; ()点是线段上的动点,当直线与所成的角 最小时,求线段的长(19)(本小题满分12分) 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三 的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表,并得到如图 的频率分布直方图 年级名次

6、是否近视 近视不近视 ()若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全 年级视力在以下的人数; ()学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视 的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关 系,对年级名次在名和名的学生进行 了调查,得到右表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过的前提下认 为视力与学习成绩有关系? ()在()中调查的名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人,进 一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这人中任取人,记名次在的学生人 数为,求的分布列和数学期望7.879 附: (20)(本小题满分12分) 如图,曲线由两个椭圆:和椭圆 :组成,当,成等比数列时, 称曲线为

7、“猫眼曲线” ()若猫眼曲线过点,且,的公比为 ,求猫眼曲线的方程; ()对于题()中所求的猫眼曲线,任作斜率为且不过原点的直线与该曲 线相交,交椭圆所得弦的中点为,交椭圆所得弦的中点为,试问:是否为 与无关的定值,若是请求出定值;若不为定值,请说明理由; ()若斜率为的直线为椭圆的切线,且交椭圆于点、两点,为椭圆上 的任意一点(点与点、不重合),求面积的最大值(用字母,表示).(21)(本小题满分12分) 已知函数,(为自然对数的底数). ()若曲线与在坐标原点处的切线相同,问: ()求的最小值; ()若时,恒成立,试求实数的取值范围; ()若有两个不同的零点,对任意,证明: (为的导函数)

8、.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分(22)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分) 如图所示,锐角三角形的内心为,过点作直线 的垂线,垂足为,点为圆与边的切点. ()求证:,四点共圆; ()若,求的度数.(23)【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 已知圆为参数和直线其中为参数,为 直线的倾斜角. ()当时,求圆上的点到直线的距离的最小值; ()当直线与圆有公共点时,求的取值范围(24)【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知,. ()求的最小值; ()若的最小值为,求的最小值.华中师大一附中2016届高三五月适应性

9、考试试题(一)参考答案理科数学一. 选择题(A 卷)题号123456789101112答案DABCACBABCBD(B 卷)题号123456789101112答案DDCCADBABCBD二. 填空题 13. 14. 15. 16. 1或2或4三.解答题(17)【解析】()设,由条件可知 在中,由余弦定理,可得 , 即,解得 所以(米) 故两地的距离为420米6分 ()在中,米, 由正弦定理,可得,即 所以(米),故这种仪器的垂直弹射高度为米12 分(18)【解析】以为正交基底建立空间直角坐标系, 则各点的坐标为, ()因为平面,所以是平面的一个法向 量,因为, 设平面的法向量为,则, 即令,解

10、得 所以是平面的一个法向量 从而 所以二面角的余弦值为6分()因为,设, 又,则,又, 从而 设, 则 当且仅当,即时,的最大值为. 因为在上是减函数,此时直线与所成角取得最小值 又因为,所以12分(19)【解析】()由直方图可知,第一组有3人,第二组有7人,第三组有27人,因为后四组的频数成等差数列,所以后四组的频数依次为27,24,21,18,所以视力 在以下的频率为,故全年级视力在以下的人数约为 3分 (), 因此在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系6分 ()依题意9人中年级名次在名和名分别有3人和6人, 可取0、1、2、3 , , , 的分布列为0123 的数学期望.

11、12分(20)【解析】()由题意知, :,: 2分 ()为定值,理由如下: 设斜率为的直线交椭圆于点,线段中点, 由得, 存在且,且, 同理,;故有;7分 ()设直线的方程为, 联立方程得,化简得 由化简得, 不妨设, 联立方程得,化简得, 由化简得 可取 从而两平行线间距离,又; 的面积最大值为 12分(21)【解析】()()因为, 依题意,且,解得, 所以,当时,;当时, 故的单调递减区间为, 单调递增区间为 当时,取得最小值0 2分 ()由()知,即,从而 设 则, (1)当时,因为,(当且仅当时等号 成立), 此时在上单调递增,从而,即 (2)当时,由于,所以, 又由(1)知,所以,故

12、, 即 (3)当时, 令,则, 显然在上单调递增,又, 所以在上存在唯一零点, 当时,在上单调递减, 从而,即所以在上单调递减, 从而当时,即,不合题意 综上, 实数的取值范围为 7分 ()依题意,不妨设,有,两式相减得: ,整理得, 则,于是, 令,则设, 则, 在上单调递增,则 ,于是有, 即, 12分 注:其他解法酌情给分.(22)【解析】()证明:由圆与相切于点得, 结合,得,所以, 四点共圆. 4分 ()解:由()知,四点共圆,所以 ,由题意知 结合,得 所以,由,. 10分(23)【解析】()当时,直线的直角坐标方程为,圆的 圆心坐标为(1,0),圆心到直线的距离,圆的半径为1,故圆 上的点到直线的距离的最小值为 4分 ()圆的直角坐标方程为,将直线的参数方程代入圆的直 角坐标方程,得,这个关于的一元二次方程有解, 故,则,即或 又,故只能有, 即 10分(24)【解析】() 在是减函数,在是增函数 当时,取最小值. 5分 ()由()知,的最小值为, . 6分 ,当且仅当 即时,取等号,的最小值为. 10分

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