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1、 简易中学数学口诀及运用 内容摘要：在我们从事中学数学的长期教学实践中，为了帮助学生全面掌握数学基础知识结构、提升解题效率而对数学基础知识提炼与加工，写出较为通俗的数学口诀加强学生对数学知识的理解和灵活运用，从而提高学生学习中学数学的兴趣和爱好。关键词：简易；中学数学；口诀；运用在我们从事中学数学的长期教学实践中，经过较长时期研究发现，中学数学课程的教学只重视教材不行，只重视教辅也不行，只有课本与教辅并举，才是明智选择。基于上述思考，我们在从事中学数学教学过程中不断的反思和总结归纳得出，把握数学基础知识结构是快速解决数学问题的前提，所以在有限时间内怎样把中学数学的教学质量大面积提高，以便很好的
2、解决数学问题，让学生取得优异的成绩，笔者就自己在教学过程中对中学数学各章节基础知识进行认真梳理、研究发现，中学数学知识各板块之间并非一盘散沙，而是有规律可循的，经过我们认真总结写成简易口诀形式，经过三思，得出拙文，以供专家和同仁们参考，有不足之处，尽请斧正为谢。一 集合 内容子交并补集，绝对值出不等式， 一元二次不等式，绝对值解法公式， 一元二次步骤式，四命题较好理解， 充分必要看方向。三个二次巧转化，图形助数好帮.【1】的运用：若函数的定义域为，求实数的取值范围。分析：由函数的定义域为知：对一切恒成立，而为二次函数，即，利用二次函数图象结合一元二次方程可知：判别式0转化为关于的一元二次不等式
3、。解：根据题意知：对一切恒成立，设，即要使，则只需一元二次方程：中0，即,故的取值范围：评析：【1】三个二次巧转化的运用是：继学生在学习一元二次方程和二次函数的基础之上，对函数更深层次的理解和拓展，巧妙利用二次函数图象结合二次方程的关系解答一元二次不等式的解集。口诀运用：若不等式对一切恒成立，求实数的范围。解：略。二 函数 内容幂指对函数，还有常数反函数。 性质奇偶与增减，观察图像最明显。 掌握周期与有界，带给运算好方便。 指数与对数函数，两者互为反函数。 复合函数式出现，单调性质内外辩， 若内外性质同异，复合函数式增底数非1的正数，1两边增减变故。 函数定义域好求，分母不能等于0，偶次方根须
4、非负，零和负数无对数。 正切函数角不直，余切函数角不平，其余函数实数集，多种情况求交集。 两个互为反函数，单调性质都相同。图像互为轴对称，是对称轴， 求解非常有规律，反解换元定义域， 反函数的定义域，原来函数的值域， 要求反函数值域，原来函数定义域。 求解值域须记住，它是依托定义域， 平方绝对值非负，偶次方根也非负，指数函数大于零，对数函数实数集。【2】的应用：求函数的单调递减区间.分析：本题重点考查复合函数的单调性。解：设，则，外层函数：，内层函数：，又，所以，解得其解集：或，是增函数，根据题意：转化求的单调减区间，即，又函数的定义域：或，故所求单调区间：评析：【2】的应用是：加强学生对求复
5、合函数求单调区间的正确解答和掌握解答格式。口诀运用：求函数的单调区间。解：略。三 数列文科数列易好学，等差等比六公式， 常记心窝莫放过，选择填空考性质，大题目标考综合，不管题目难与易， 拿着目标就翻译，追踪目标找线索，等差易需解方程，等比相除实在行， 等差等比，求解它们找方程，有时整体代换灵。理科数列须领悟， 翻译要证第一步，观察结构看结构，专家命题已铺路，变形结构看目标。加上与问题解，因为它是沟通与的桥梁，接下来求和，以下方法莫放过公式求和法；错位相减求和；倒序相加求和。数列问题多变换，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换。【3】的应用：（2009全国卷理科）设数列的前项之和为.
6、，.（1） 设，证明数列是等比数列；（2） 求数列的通项公式。分析：本题重点考查数列的综合推理及应用推算能力。解：翻译要证第一步，即构造（非零常数），其中，再结合， ，即 ，于是，即.因此数列是首项为3，公比为2的等比数列.（2） 由（1）知等比数列中，公比，所以，于是式两端同时除以得, ,因此数列是首项为，公差为的等差数列，所以评析：【3】的应用是：主要是培养学生审题思路和抓住问题的突破口，从而消除学生拿起题目不知所措的恐惧感，并且在（1）条件下，对学生的思维层次要求不高，略变换式子即得，（2）采用了转化与化归思想联系（1）可知构造含有表达式的等差或者等比数列，再运用它们的定义求解其通项公式
7、，不失是一种迂回思想的策略，若利用错位相消也可以做，但过程繁琐且容易出错，不足以训练学生的发散思维和逻辑思维，故此法不可取。口诀运用（1）：设数列的前项之和为. ，设,求证是等差数列。解：略。口诀运用（2） 在数列中，.（1）设，证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和。解：略。四 三角函数三角函数是函数，象限符号坐标注。 函数图像单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化解证明都需要。 正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连接顶点三角形， 向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于邻居好乘积， 诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。 其具体变
8、怎么变，若是的奇数倍，函数名称则需变，若是的偶数倍， 函数名称不用变，符号原来函数判；弦变弦来切变切，记住解答得一半。 简称奇变偶不变；符号则需看象限。 和差化积巧灵用。二倍角公式记住。 它式升降增减角，次方升高角减半， 次方降低角翻倍，相互转化见奇效， 公式顺用和逆用，变形运用加巧用。 通通化归，即可求出最值、周期、单调区间。图像平移莫害怕，由简单或向复杂转化，美其名平移三部曲；1.函数名称化相同，否则麻烦增一半，首先要将函数名称统一；2.把变换成，再确定平移的单位长度，根据的符号确定平移的方向（正值向左，负值向右）；3.正往上平移个单位，负往下平移个单位，即“正值向上，负值向”1【4】的应
9、用：已知函数的最小正周期为.为了得到函数的图象，只要将的图象（ ）A.向左平移个单位长度再向上平移1个单位 B.向右平移个单位长度再向上平移1个单位C.向左平移个单位长度再向上平移1个单位 D.向右平移个单位长度再向上平移1个单位 分析：本题重点考查三角函数的图象平移规则。解：由题意易得，函数= = ，则要得到函数的图象，只要把的解析式中的换成即可，由【4】图象变换规则可知：把函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位。故选（A）评析：【4】的运用是：帮助学生理解三角函数的图象变换规律及其本质。口诀运用（1）：为了得到函数的图象，可以将函数的图象.（ ）A.向右平移个单位长度 B.向右平移个
10、单位长度 C.向左平移个单位长度 D. .向左平移个单位长度 解：略。口诀运用（2）：（2004全国卷理科）已知锐角中，。（1） 求证；（2） 设AB=3，求AB边上的高.解：略。五 向量向量运算是关键，坐标运算数量积， 立体几何无头绪，向量是个好工具，复杂问题就倒地，建标写量用进去。 垂直数量积为零，平行两向量共线，夹角数量积解决，长度模长来解决。 定比分点易记住，起分比分终得值，正负内外分点定。平移取点在平移， 按向量方向来走，前后两点写向量，令它等于按向量，前点无撇后点撇， 写出等式带入式，最后将撇变无撇。三角形里数学题，可谓三角函数题， 三个内角一百八, 两个定理在当家，您管面积我管边
11、，解起题来奇又快，角变边来边变角，两个联系真快。【5】的运用：（2009全国卷）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, ，求B.分析：本题重点考查正弦定理的应用，即边与角的转换。解：由及得,，则，又由及正弦定理得：,故，或（舍去）于是或，检验（方法一）:又由知或，所以，(方法二):将代入，即，根据三角函数的性质应取。评析：【5】的运用可以帮助学生看到三角函数题心中有应对策略，即主要体现三角函数在三角形里面解答的规则，同时也考察了学生对基础知识灵活运用和组装知识结构的能力。口诀运用：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,设.（1） 若且,求角的大小；（2）若求角的取值范围。解
12、：略。（2） （2013新课改2）的内角的对边分别是。已知，（1）求B ；（2）若时，求面积的最大值。六 不等式解不等式的内容，一元一次和二次， 对于高次不等式，引线穿根去对付，证明不等式方法，实数性质威力大， 求差与0比大小，作商和1争高下。对数指数比大小，利用函数性质好， 两指相比两对比，底数不同巧用1.特殊值法更是快，抓住比大小特点， 利用整体放缩法，赋予要比特殊值，一口咬定谁大小，这类题目常在 ：果真不会作差比，函数性质来帮忙。直接困难分析好，思路清晰综合法。 非负常用基本式，正面难则反证法。还有重要不等式，以及数学归纳法。 图形函数来帮助，画图建模构造法。以形助数显直观。以数助形更严
13、密。【6】的应用：设，则（ ）A. B. C. D. 分析：本题主要是考察对数比较大小，但所给的是对数函数，怎样转化为对数是解决本题的突破口。通过观察有一个共同点，即都是对数的函数，故只需通过对数函数的定义域确定的一个值，问题解决。解：，即，则，即，取，故选C评析：【6】的应用是：培养学生观察数学式子结构的能力和灵活运用转化与化归思想把对数函数比较大小转化为对数比较大小，再运用赋值法把对数函数变为具体的对数值。若本题采用直接思维，即两两作差法去解答，其解答过程繁琐，故此法不可取。口诀运用：下列四个数中最大的是（ ）解：略。A. B. C. D. 应用（2013新课改2）设，则的大小关系。七 直
14、线和圆内容直线圆方程，直线方程须讨论， 斜率存在与不在，准确判定真实在，两直线位置关系，垂直平行特殊记， 斜率定义须掌握，倾斜角的正切值，斜率在还是不在，倾斜角一定要在， 曲线过点求斜率，改为求导横标带，用点斜式出方程。简单的线性规划， 考题常在求最值，解决它数形结合，坐标系中确范围，正上时写交点， 带目标函数求值，轨迹方程难以找，请找关系写方程。见圆的标准方程， 注意圆心和半径，不标准时化标准，其方法是配方法，很快读出圆心半。 点到直线距离记，直线圆相切好用，直线圆位置关系，数行结合很默，相交相切相离现，圆心直线距离判。一目了然放心中，两圆位置可套用。【7】的运用：（2007年全国卷）在直角
15、坐标系中，以为圆心的圆与直线相切.（1）求圆的方程； （2）圆与轴相交于A、B两点，圆内的动点使、成等比数列，求的取值范围。分析：本题是解几、向量、数列综合题，重在应用口诀【7】及推理计算能力。解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即=2，得圆的方程为：.（2）不妨设A.由即得设，由、成等比数列，得，即，.由于点在圆内，故：及，由此解得.所以的取值范围为.评析：【7】的运用主要是：加强学生对直线与圆位置关系及其数学基础知识之间联系的掌握。口诀运用：圆直线，过上一点A作ABC，使AB过圆心，B、C在圆上，且ABC，求：（1）点A横坐标时的直线AC方程；（2）点A横坐标的取值范围。解：略
16、。八 圆锥曲线圆锥曲线记方程，掌握定义记性质， 标准方程待分析，对于椭圆记方程，焦点何轴谁来判，谁的分母威望大， 与它背上子相同；对于双曲线方程，焦点何轴谁来判，谁项正的与谁同， 与它背上子相同；对于抛物线方程，开口方向是关键，主要看一次系数， 因为平方好分析，直线圆锥综合题，有时附带向量题，坐标思想与方程， 代入圆锥出方程，设而不求整体代，弦长公式心里.【8】的运用（2004年全国卷）给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.（1）设的斜率为1，求与的夹角的大小；（2）设,若，求在轴上截距的变化范围。分析：本题第（1）问解法颇多，如用余弦定理；接解出A、B的坐标；也可先
17、求出OA、OB的斜率用夹角公式求解等，但运算量都较大。因而选用设而不求整体入的思想求解好多了。第（2）问重在考查对数学式子的演算推理能力及解不等式的能力。解：由题意，易得，直线的方程为由 得设方程的根设为，则有， 设，则=，故与夹角的大小为.（2）由题设,得即 由得，联立、解得，依题意有，或故直线的方程为或.当时，直线在轴上的截距为或.由，可知在上是递减的，或.直线在轴上的变化范围为评析：【8】的运用主要是：使得学生理解和会使用坐标法思想和方程思想，也运用“设而不求，整体代入”的思想。口诀运用：（2006年全国卷）已知抛物线的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点，且.过A、B两点分别作抛物线的切
18、线，设其焦点为M.(1) 证明 为定值；（2）设ABM的面积为S，写出的表达式，并求出S的最小值。解：略。九 直线、平面、简单几何体内容直线与平面，位置关系定理判， 平行垂直是关键，转化与化归思想，立体几何平面化，降维思考方明显， 辅助连线找中点，平行垂直定理判，位置关系线线化，平行垂直中枢纽。 空间向量及运算，建标思考多方便，以算代证降思维，垂直数量积为零， 平行两向量共线，夹角数量积解决，长度模长套公式。易建标是大前提， 建标找点写向量。角计算是常考题，掌握作垂连证解，会找射影线面角， 利用定义二面角，有理无理三垂理，快速解决二面。异面线夹角平移，构造封闭三角形，余弦定理在里行，或者建标写
19、向量，运用夹角数量积。 可解决复杂问题。棱柱棱锥记定义，记住定义用性质，辅助连线找关系， 平行垂直莫放过。球的体积和面积，牢记心窝莫忘记，球中连线构直角， 球的截面找垂直。【9】的运用（2005年全国卷），如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD平面ABCD。(1)证明AB平面VAD;(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小。分析：本题重点考查用三垂线定理求二面角。证明：平面VAD平面ABCD，又AD =平面VAD平面ABCD,取AD的中点F，连接VF，则VF平面ABCD,故VFAB,底面ABCD是正方形,ABAD,AB平面VAD.(2)解：取VD
20、中点E，连接AE、BE。VAD是正三角，AEVDEVD.AB平面VAD,ABAE, 又由三垂线定理可知BEVD.因此AEB是所求DC二面角的平面角，于是, ABF即得所求二面角的大小为。评析：【9】的运用是：体现了三垂线定理在解决二面角时带来的方便，以及在审题的过程中充分利用面面、线面垂直转化为线线垂直，从而解决问题，本题也可以用向量法解决，其他解法也很多，如射影面积法等，但解答过程相对传统方法（纯几何方法）要复杂得多，故优先考虑传统方法，要直观得多。口诀运用：如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=PC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.P（1
21、）证明：PA平面EDB；（2）证明：PB平面EFD； （3）求二面角CPBD的大小.F解：略。ECCDBA十 排列、组合、二项式定理和概率分类分步计数理，分类无序多情况， 求的各类需相加，分布有序连起乘，分类分步综合题。 先分类后分步乘。 排列组合及应用，先分类后分步乘。排列组合及应用, 计数原理是基础， 排列组合套公式，以下情况多思考。组排混合先选排， 相邻问题绑求解， 不相邻则插空法，正难则反再求解，逆向思考真奇妙， 定序问题消除序， 无序问题更容易，相同元素隔板解，简单问题直接，二项式定理公式。求解概率应用题，是用基本比容量.所用工具多组合，五种事件需掌握， 随等互独独立，理解题意套定义
22、，狠抓题意暗示语，恰好二项分布套， 第首次几何布。分好类型用公式。【10】的运用：某学校高一年级有10个班，现抽取18个人组成篮球运动员，要求每班都要有人，问有多少种选法。解：分析：将18个人看成18个球，期间有十七个空，现用9块隔板将其18个球隔成10部分，每个部分即是每个班应抽取的人数。故共有：种。待添加的隐藏文字内容2评析：【10】的运用是：相同元素隔板解，用此法是运用形象思维与抽象逻辑思维的转化，让学生易于理解和解决数学实际问题，其间运用了转化与化归数学思想。口诀运用：有7个相同的球，4个不同的盒子，求每个盒子里至少有1个球的种数。解：略。十一 概率与统计概率统计期方差，审清题意要找（
23、变量），找出分求概率，列表写出解，期望方差套公，三种抽样需理解，掌握区别与联系。正态分布图象记，找到对称轴。大矮胖小高瘦。【11】的运用：（2006山东理，20）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按三个小球上最大数字的9倍计算分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量的概率分布列和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率.分析：本题是概率综合题，重点是求出概率分布列。解：（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则. (2)由题意可能的取值为：2，3
24、，4，5. , ,所以随机变量的概率分布列为：2345P因此的数学期望为：.（3）“一次取球所得记分介于20分到40分之间”的事件记为C,则=评析：【11】的运用是：加强了学生对求概率与统计中数学期望的理解和规范解答和利用排列组合知识解决概率问题。口诀运用：（2006全国理）某批产品成箱包装，每箱5件。一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一，二，三箱中分别有0件，1件，2件二等品，其余为一等品。（1）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝
25、购买的概率。解：略。十二 极限与导数掌握数学归纳法，归纳猜想要证明, 掌握要证需两步。数列函数求极限，心中记，极限思想要掌握， 日积月累好收成，连续问题极限解，极限值等函数值。熟记基本导数式，掌握格式好方便。 曲线斜率用导数，几何意义是斜率。导数运用需掌握，单调性与极值题，点在线上莫忘记， 用在函数综合题，确定义域直求导， 函数参数比大小，转化化归求最值，分离参数放一边，反求对边函数.【12】的运用 （2006江西理）已知函数在与时取得极值。（1）求、的值及函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.分析：本题考查用导数及函数极值、最值求解。解：（1），由解得：，函数的单调区间如下
26、表：1+0-0+极大值极小值故函数的递增区间为与；递减区间为.（2）由（1）可知，当时，为极大值，而，则为最大值.要使 （）恒成立，只须，解得或.评析：【12】的运用是：导数在解决函数单调性方面的应用，函数和参数比较大小，确定参数的范围，运用了转化与化归思想求其函数的最值。口诀运用：设函数在处取得极值，且。（1） 若，求的值，并求的单调区间；（2） 若，求的取值范围。解：略。十三 复数牢记复数，复数乃是实数扩， 数的意义广无边，谁能学会扩系法，谁的威力美名传。任何方程都有解, 复数用起好得力。复数意义真广泛，数的开方好方便，复数实虚对横纵。 复数三角是一家， 棣莫弗定理当家。共轭复数抓本质，是
27、变复数为实数， 利用分母实数。【13】的运用1：若为实数，则等于（ ）A. B. C. D. 分析：可利用分母实数化，也可以利用复数相等来解决.，故选B.评析：【13】的运用是：掌握复数，及利用共轭复数的本质将复数转化为实数是解决复数问题的突破口。而本题直接转化为两个复数相等可求得参数的值。【13】的运用2 求等于分析：要求的值，因为次方较高，所以先将化成三角形式，用棣莫弗定理求解。解：=.口诀运用：求等于评析：【13】的运用是：利用棣莫弗定理和复数三角是一家，解决数学复杂问题。解：略。 十四 三视图长方体是好模型，正视图长等宽高，侧视图宽等长高，俯视图长等宽等。还原立体几何图，考虑先作俯视图
28、，在看侧与正视图，有直角就得画高，无直角需作斜线。棱柱棱锥需记住，几何载体常出题。十五 程序框图程序框图简单考，赋值带进细心算，注意判断是关键。十六 不等式选讲记住基本不等式，变形结构有难度，掌握变形出方法。常考绝对值不等式，分类讨论是关键，数形结合需谨慎，掌握转化与划归，基础知识是前提。应用1（2013新课改2）：设均为正数，且。证明：（1） （2）应用2（新课改1）已知不等式，（1） 当时，求不等式的解集；（2） 设，且当时，求的取值范围。当然，中学数学的内涵非常丰富，仅用一些简易口诀，是不能覆盖完全的，但我们想应该是百花齐放，百家争鸣。本文所述各口诀，在解题运用中的例子不胜枚举，小文仅举数例，以飨读者。参考文献：【1】试题调研第1辑高考真题全解密（上）.新疆青少年出版社2009年7月第1版.【2】试题调研第2辑高考真题全解密（下）新疆青少年出版社2009年8月第1版.
