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1、2015-2016学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1观察下列数的特点，1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，中，其中x是（）A12B13C14D152命题“存在实数x，使x1”的否定是（）A对任意实数x，都有x1B不存在实数x，使x1C对任意实数x，都有x1D存在实数x，使x13抛物线y=2x2的焦点坐标为（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）4已知=（2，1，3），=（4，2，x），=（1，x，2），若（+），则x等于（）A4B4CD65原命题：“设a、b、cR，若ac
2、2bc2则ab”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题共有（）A1个B2个C3个D0个6已知函数f（x）=（）x，a，bR+，A=f（），B=f（），C=f（），则A、B、C的大小关系为（）AABCBACBCBCADCBA7如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A3B2CD8已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足=1，则数列an的公差是（）AB1C2D39在ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则ABC的形状为（）A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等
3、腰直角三角形10设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为（）A（，）B（，）C（，）D（，）11在90的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB，已知AB=5，AC=3，CD=5，则BD=（）A4B5C6D712如图，已知可行域为ABC及其内部，若目标函数z=kx+y当且仅当在点B处取得最大值，则k的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13不等式0的解集是14如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1上的点，则点E到平面AB
4、C1D1的距离是15一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为km16给出下列命题“ab”是“a2b2”的充分不必要条件；“lga=lgb”是“a=b”的必要不充分条件；若x，yR，则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件；ABC中，“sinAsinB”是“AB”的充要条件其中真命题是（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设z=2y2x+4，式中x，y满足条件，求z的最大值和最小值18在ABC中，角A，B，C的对边
5、分别为a，b，c，且bcosC=3acosBccosB（）求cosB的值；（）若，且，求a和c的值19正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p0）上，求这个正三角形的边长20已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若从数列an中依次取出第2项、第4项、第8项，第2n项，按原来顺序组成一个新数列bn，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式21已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）证明：平面BCN平面C1NB1；（2）求二
6、面角CNB1C1的余弦值22已知定点F1（，0），F2（，0）曲线C是使得|RF1|+|RF2|为定值（大于|F1F2|）的点R的轨迹，且曲线C过点T（0，1）（1）求曲线C的方程；（2）若直线l过点F2，且与曲线C交于P，Q两点，当F1PQ的面积取得最大值时，求直线l的方程2015-2016学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1观察下列数的特点，1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，中，其中x是（）A12B13C14D15【考点】数列的概念及简单表示法【分析】观
7、察下列数的特点，1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，可知：1+1=2，1+2=3，2+3=5，即可得到5+8=x【解答】解：观察下列数的特点，1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，可知：1+1=2，1+2=3，2+3=5，5+8=x得到x=13故选：B2命题“存在实数x，使x1”的否定是（）A对任意实数x，都有x1B不存在实数x，使x1C对任意实数x，都有x1D存在实数x，使x1【考点】命题的否定【分析】根据存在命题（特称命题）否定的方法，可得结果是一个全称命题，结合已知易得答案【解答】解：命题“存在实数x，使x1”的否定是“对任意实数x，都有x1”故选C3抛物线y=2x2的
8、焦点坐标为（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）【考点】抛物线的简单性质【分析】化抛物线方程为标准方程，确定其焦点位置，再求抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线y=2x2，化为标准方程为：x2=y抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且2p=，抛物线y=2x2的焦点坐标为（0，）故选：C4已知=（2，1，3），=（4，2，x），=（1，x，2），若（+），则x等于（）A4B4CD6【考点】空间向量的数量积运算【分析】利用已知条件求出+，然后（+）=0，求出x即可【解答】解： =（2，1，3），=（4，2，x），=（1，x，2），+=（2，1，x+3），（+），（+）=0即2x+2（x+3）=0，解
9、得x=4故选：B5原命题：“设a、b、cR，若ac2bc2则ab”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题共有（）A1个B2个C3个D0个【考点】四种命题的真假关系；四种命题【分析】先判断出原命题为真命题，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性知它的逆否命题为真命题然后写出它的逆命题，否命题，根据c20即可判断这两个命题的真假性，从而得出真命题的个数【解答】解：ac2bc2；c20；ab；原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题；它的逆命题为：设a，b，cR，若ab，则ac2bc2；该命题为假命题，c2=0时，ac2=bc2；否命题为：设a，b，cR，若ac2bc2，则ab；该命题
10、为假命题，c2=0时，就得不到ab；真命题个数是2故选B6已知函数f（x）=（）x，a，bR+，A=f（），B=f（），C=f（），则A、B、C的大小关系为（）AABCBACBCBCADCBA【考点】指数函数的单调性与特殊点；基本不等式【分析】先明确函数f（x）=（）x是一个减函数，再由基本不等式明确，三个数的大小，然后利用函数的单调性定义来求解【解答】解：，又f（x）=（）x在R上是单调减函数，f（）f（）f（）故选A7如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A3B2CD【考点】圆锥曲线的共同特征【分
11、析】根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值【解答】解：M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选B8已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足=1，则数列an的公差是（）AB1C2D3【考点】等差数列的性质【分析】先用等差数列的求和公式表示出S3和S2，进而根据=，求得d【解答】解：S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S2=a1+a2=2a1+d，=1d=2故选C9在ABC中，co
12、s2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则ABC的形状为（）A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【考点】解三角形【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形【解答】解：cos2=，=，cosB=，=，a2+c2b2=2a2，即a2+b2=c2，ABC为直角三角形故选B10设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为（）A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】空间向量的加减法【分析】由题意推出，使得它用，来表
13、示，从而求出x，y，z的值，得到正确选项【解答】解：=（+）=+ （+）= + （）+（）=+，而=x+y+z，x=，y=，z=故选A11在90的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB，已知AB=5，AC=3，CD=5，则BD=（）A4B5C6D7【考点】二面角的平面角及求法【分析】由已知ACAB，BDAB，ACBD， =，由此能求出BD【解答】解：如图，ACAB，BDAB，AB是90的二面角，ACBD，=，=，AB=5，AC=3，CD=5，50=9+25+，解得BD=4故选：A12如图，已知可行域为ABC及其内部，若目标函数z=kx+y当且仅当在
14、点B处取得最大值，则k的取值范围是（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】设目标函数z=F（x，y）=kx+y，根据题意可得F（3，5）F（5，4）且F（3，5）F（1，1），由此建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k的取值范围【解答】解：根据题意，设目标函数z=F（x，y）=kx+y，A（5，4），B（3，5），C（1，1），目标函数z=kx+y的最大值是F（5，4）、F（3，5）、F（1，1）三个值中的最大值又z=kx+y当且仅当在点B处取得最大值，即，解之得2故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13不等式0的解集是x|x3或x1【考点】其他不等式的解法【分析】根据
15、分式不等式的解法进行求解即可【解答】解：不等式0等价为或，即或，即x3或x1，故不等式的解集为x|x3或x1，故答案为：x|x3或x114如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1上的点，则点E到平面ABC1D1的距离是【考点】点、线、面间的距离计算【分析】因为A1B1AB，所以MB1AB，因此点M到平面ABC1D1的距离转化为B1到平面ABC1D1的距离，由此可得结论【解答】解：因为A1B1AB，所以MB1AB，因此点M到平面ABC1D1的距离转化为B1到平面ABC1D1的距离连接B1C，BC1，相交于点O，则B1CBC1，B1CAB，BC1AB=BB1C平面ABC1D
16、1，B1O为B1到平面ABC1D1的距离，棱长为1，B1O=，点M到平面ABC1D1的距离为故答案为：15一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为30km【考点】解三角形的实际应用【分析】先根据船的速度和时间求得AB的长，进而在AMB中根据正弦定理利用MAB=30，AMB=45，和AB的长度，求得BM【解答】解：如图，依题意有AB=154=60，MAB=30，AMB=45，在AMB中，由正弦定理得=，解得BM=30（km），故答案为3016给出下列命题“ab”是“a2b2”的充分不必要条
17、件；“lga=lgb”是“a=b”的必要不充分条件；若x，yR，则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件；ABC中，“sinAsinB”是“AB”的充要条件其中真命题是（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用【分析】验证aba2b2是否正确可判断的正确性；验证a=blga=lgb是否正确可判断的正确性；验证“|x|=|y|x2=y2是否正确可判断的正确性；验证sinAsinBAB是否正确可判断的正确性【解答】解：a=2，b=3时，ab，而a2b2，ab对a2b2不具备充分性，故；lga=lgba=b，具备充分性，故；|x|=|y|x2=y2，x2=y2|x|=|y|，“|x|
18、=|y|”是“x2=y2”的充要条件，；ABC中，（1）当A、B均为锐角或直角时，sinAsinBAB（2）当A、B有一个为钝角时，假设B为钝角，A+BABsinAsinB，与sinAsinB矛盾，只能A为钝角，sinAsinBAB；反过来AB，A为钝角时，ABsinAsinB，正确故答案是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设z=2y2x+4，式中x，y满足条件，求z的最大值和最小值【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，由z=2y2x+4得y=x+，利用数形结合即可的得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2
19、y2x+4得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A（0，2）时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，zmax=22+4=8直线y=x+经过点B时，直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（1，1），此时zmin=22+4=4，即z的最大值是8，最小值是418在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosBccosB（）求cosB的值；（）若，且，求a和c的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=32RsinAcosB2RsinCcosB，然
20、后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=【解答】解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosBsinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB又sinA0，因此（II）解：由，可得accosB=2，由b2=a2+c22accosB，可得a2+
21、c2=12，所以（ac）2=0，即a=c，所以19正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p0）上，求这个正三角形的边长【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的对称性可知，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p0）上，则另外两个定点关于x轴对称，就可的直线OA的倾斜角，据此求出直线OA的方程，与抛物线方程联立解出A点坐标，就可求出正三角形的边长【解答】解：抛物线y2=2px关于x轴对称，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p0）上，则A，B点关于x轴对称，直线OA倾斜角为30斜率为直线OA方程为y=x
22、，由得，A（6p，2p），则B（6p，2p），|AB|=4p这个正三角形的边长为4p20已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若从数列an中依次取出第2项、第4项、第8项，第2n项，按原来顺序组成一个新数列bn，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（1）设出等差数列的公差为d，利用S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列，建立方程，求出首项与公差，即可求数列an的通项公式；（2）确定新数列bn的通项，利用分组求和，即可求Tn的表达式【解答】解：（1）设等差
23、数列的公差为d，则S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列，3a1+3d+5a1+10d=50，（a1+3d）2=a1（a1+12d）公差d0，a1=3，d=2数列an的通项公式an=2n+1；（2）据题意得bn=22n+1数列bn的前n项和公式：Tn=（22+1）+（222+1）+（22n+1）=2（2+22+2n）+n=2+n=2n+2+n421已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）证明：平面BCN平面C1NB1；（2）求二面角CNB1C1的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）该几何体的正
24、视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直，以分别作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系利用向量法能证明面BCN面C1NB1（2）求出平面NCB1的一个法向量和平面C1B1N的一个法向量，利用向量法能求出二面角CNB1C1的余弦值【解答】证明：（1）该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直，以分别作为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则B（0，0，0），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）=16+16+0=0， =0NBNB1，NBB1C1，又N
25、B1与B1C1相交于B1，NB面C1NB1又NB面BCN面BCN面C1NB1解：（2）设=（x，y，z） 是平面NCB1的一个法向量，=（4，4，4），=（4，4，0），则，取x=1，得=（1，1，2），由（1）知=（4，4，0）是平面C1B1N的一个法向量，cos=故二面角CNB1C1的余弦值为22已知定点F1（，0），F2（，0）曲线C是使得|RF1|+|RF2|为定值（大于|F1F2|）的点R的轨迹，且曲线C过点T（0，1）（1）求曲线C的方程；（2）若直线l过点F2，且与曲线C交于P，Q两点，当F1PQ的面积取得最大值时，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）推导出曲线C为
26、以原点为中心，F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出曲线C的方程（2）设直线l的为：，代入椭圆方程，得，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出F1PQ的面积取得最大值时，直线l的方程【解答】解：（1）定点F1（，0），F2（，0）曲线C是使得|RF1|+|RF2|为定值（大于|F1F2|）的点R的轨迹，且曲线C过点T（0，1），曲线C为以原点为中心，F1，F2为焦点的椭圆，设其长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则，曲线C的方程为：（2）设直线l的为：，代入椭圆方程，得，计算并判断得0，设P（x3，y3），Q（x4，y4），得，设，则t1，当时，面积最大，F1PQ的面积取得最大值时，直线l的方程为：15
