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1、高三综合测试（4）数学试卷（理）一、选择题1已知集合，则有（ ）A. B. C. D.2若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则等于（ ）A.3 B. C. D.23设，,为坐标原点，若、三点共线，则的最小值是（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 84函数的单调增区间是( )（A） （B） （C） （D）侧视图正视图1俯视图5已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三 角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于 ( )（A） （B） （C） （D）6用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（
2、 ）A. 12 B.28 C.36 D.487如图，已知椭圆的左、右准线分别为、，且分别交轴于、两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于（ ）A. B. C. D.8已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和若，则的值是 （ ）（A）511（B） 1023 （C）1533 （D）30699已知定义域为R的函数对任意实数x、y满足，且.给出下列结论： 为奇函数 为周期函数 内单调递减其中正确的结论序号是（ ）A. B . C. D. 10定义区间，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, 的长度. 用表示不超过的最大整数，记，其中.
3、设，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有 ( )（A） （B） （C） （D）ABCDEF二、填空题11若，则_(用数字作答).12如右图，在三角形中，分别为，的中 点，为上的点，且. 若 ，则实数 ，实数 .13如图所给出的是计算的值的一个算法框图，其中空白框内应填入的条件是 14定义函数，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的算术平均数为已知，则在上的算术平均数为 15（A）已知x0，y0，则的最小值 （B）已知圆锥曲线方程是（t为常数，为参数），则离心率为 三、解答题16在中，A、B、C所对边的长分别为、，已知向量，满足， （1）求A的大小；（2）求的
4、值17如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面. 若.（）求证：平面；（）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（）求二面角的余弦值.18某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为，乌克兰队赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响.若中国队第n局的得分记为，令.（1）求的概率；（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行.设随机变量表示此次比赛共进行的局数，求的分布列及数学期望.19已知函数（）求函数的定义域，并讨
5、论函数的单调性；（）问是否存在实数，使得函数在区间上取得最小值3？请说明理由20双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的渐近线（1）求双曲线的方程（2）过点P（0,4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点Q的坐标。21有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列（）证明 （，是的多项式），并求的值；（）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)设前组中所有数之和为，求数列的前项和（）设是不超过20的正整数，当时，对于（）中的，求使得不等式成立的所有的值答案16解析：（1）由得，即，或A是的内角，舍去，（2），由正弦
6、定理得，即17解法一：（）因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以. 在底面中，因为，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. 4分（）在上存在中点，使得平面， EFABPCD证明如下：设的中点是， 连结，则，且.由已知，所以. 又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，GHABPCD所以平面. 8分（）设为中点，连结，则 .又因为平面平面，所以 平面.过作于，连结，由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设，则, .在中，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为. 13分zyxABPCD解法二：因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以 底面.又因为，
7、所以，两两垂直.分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，. （），,所以 ，所以，.又因为， 所以平面. 4分（）设侧棱的中点是， 则，. 设平面的一个法向量是，则 因为，所以 取，则.所以， 所以.因为平面，所以平面. 8分来源:Zxxk.Com（）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.由（）知，为平面的一个法向量.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以.即二面角的余弦值为. 13分18解：（1），即前3局中国队1胜2平或2胜1负。中国队赢的概率为，平的概率为，输的概率为.得的概率为 4分（2）的可能取值为2，3，4， 5分， 6分= 8分 或 10分的分布列为：234P19
8、解：（）函数的定义域为，且 令，得 2分 当时，函数在上是增函数；当时，在区间上，函数在上是减函数；在区间上，函数在上是增函数6分（）由（）知，（1）若，则在区间上，函数在上是增函数，此时，取最小值，由，得；8分 （2）若则在区间上，函数在上是减函数，此时，取最小值，由，得；10分（3）若，则在区间上，函数在上是减函数，在区间上，函数在上是增函数，此时，取最小值，由，得；12分综上所述，存在实数，使得在区间上取得最小值320（1） （2）（2,0）21解：（）由题意知来源:学+科+网Z+X+X+K，同理， 又因为成等差数列，所以.故，即是公差为的等差数列所以，令，则，此时 4分（）当时，数列分组如下：按分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数注意到前个奇数的和为，所以前个奇数的和为. 即前组中所有数之和为，所以因为，所以，从而 所以 .故.所以 9分（）由（）得，.故不等式 就是考虑函数当时，都有，即而，注意到当时，单调递增，故有.因此当时，成立，即成立 所以,满足条件的所有正整数 14分
