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1、3 微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用.二、概念入门设，称函数为函数在上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：.注（i）由积分的性质，的定义有意义.（ii）由积分的性质易证.三、主要事实1.微积分基本定理若，则，即，.注（i）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得.（ii）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：若，而且，则.(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系.（iv）利用微积分基本定
2、理及复合函数微分法可得下述的变限积分求导公式：若，、在上可微而且、，则2.第二积分中值定理（1）（旁内（Bonnet，1819-1892法）型第二积分中值定理）若，而且是上非负递减（相应地递增）函数，则存在使得（相应地）（2）（Werierstrass型第二积分中值定理）若，是上的单调函数，则存在使得.证（1）令，利用的可积性得再由 及的单调减小性，可得再由连续函数的介值性即得.（2）当为单调递减（增）时，对应用（1）即得.3.定积分的计算（1）（牛顿莱布尼兹公式）若，而且除有限个点外有，那么有.注（i）牛顿莱布屁兹公式简称公式，它是微积分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独
3、立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.（ii）证明可由积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在上）可推得.（2）（定积分换元积分法）如果在上有连续导数，那么有注（i）定积分换元积分公式由复合函数微分法及公式可得，而且可减弱为.进一步，定积分换元积分公式中的可减弱为，但的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：若，是一一映射而且还满足，那么有.（ii）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号
4、）.（iii）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）.（3）（分部积分法）如果、具有连续的导数，那么有.注（i）分部积分可由乘积微分法则及公式直接证之.（ii）分部积分公式可连续使用次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若、具有阶连续导数，那么有 .4.定积分计算中常用的几个公式（1）若，则.（2）若，则（3）若是以为周期的周期函数，则有（4）若，则.（5）若，则.证（1）令可得.（2）令得.（3）令得，于是有，再令得.（4）令可得.（5）令可得及 .5.带积分余项的泰勒公式若在上具有阶连续导数，
5、那么有，即，称此为泰勒公式的积分余项.注（i）令（常数变易法），对分别应用公式及分部积分公式即获得积分余项公式的证明.（ii）对积分余项应用第一积分中值定理（在积分区间（或上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：（其中）.（iii）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：四、例题选讲1.定积分计算例题选.例1 求下列定积分（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）（9）解（1）.（2）.（3）令，（3）（4）令，（4）.令得，于是有（4）.（5）（6）（7）利用得（7）（8）利用得（8）（9）.例2 （1）求（2）证明Wallis公式：.解（1），证（2）由得，由此可得
6、，因此.例3 利用定积分求下列极限（1） （2）（3） （4）（5）解（1）（2）.（3）由可得（3）（4）由可得 .因此.（5）令.因此.2.微积分基本定理应用例题选例4 设，试求.解 应用微积分基本定理两次可得.例5 确定常数、使得.解 由可推得，由罗比塔法则及可推得，接着易求得.例6 若存在，试求.解 令，则，.例7 设连续，.试求：.解 令，则于是有.两边关于求导得再令可得.例8 试求可微函数使得.解 先关于求导得令得再关于求导得.因而，因而.3.积分中值定理应用例题选例9 设在上可微，而且，（）.证明： .证 令，则由条件可得，由得，于是有.例10 设在上连续，而且，.证明：.证 ，
7、在处取最大值，因而有.证 例11 设.证明：，例12 设在上二阶可导，而且.证明：（i）；（ii）又若，则.证（i）由及得，再由得 .（ii），积分后得.例13 设在上具有二阶连续函数，证明；存在使得.证 令，分别求得，在处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及连续函数的介值定理即得.例14 设而且，.证明：证 由条件，若，则由导出矛盾！例15 设，在上单调而且可微.证明：存在使得.证 令，由微积分基本定理及第一积分中值定理可得.例16 证明下列极限（1）若，则.（2）若，则.（3）（4）若，则.（5）若是以为周期的连续函数，则.（6）若而且，则有.证（1） .（2）由 （其中）及可积
8、的第二充要条件可得.（3）由第二积分中值定理得，存在使得，再令即得.（4）.（5）是以为周期的连续函数，从而有界，由此即得.（6）由第一积分中值存在使得.令即得.例17 设在上单调递增，而且，.若，则.证 若不然，使得，此时分两种情形：（i）若存在使得，则.（ii），则有，于是.上述的（i）、（ii）与矛盾.例18 设，令，.证明：.证 令，则由于是有.五、思考与讨论1.若在区间上有原函数，是否必有公式成立？提示：考虑2.若，是否必有原函数？3.若，而且是否必有？4.若在上不可积，的原函数在上是否必不存在？5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必为奇函数？六、基础题训练1.计算下
9、列定积分（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（为实数）（12）2.设.试求.3.设,试求.4.设，试求.5.试求.6.设，.试求：.7.求下列极限（1） （2）（3） （4）8.设，.试求（答案：）.9.设连续而且，.求使得.（答案：）10.证明：（提示：分段，换元）.11.设在上连续，而且.证明：,.12.设在上单调增加.证明：.（提示：）.七、提高性习题13.求下列积分（为正整数）（1） （2）（3） （4）14.求下列极限（1） （2）（3） （4）（5） （6）（答案：（1）.；（2）.；（3）；（4）.（2）；（5）.；（6）15.设而且，
10、令.证明：（1）（2）（3）.16.求下列极限（1） （2）（3）.（答案：（1）.；（2）.；（3）.）.17.证明下列极限：（1）若在上连续，则.（2）若不变号，则（3）若，则（4）若而且，则.（提示：（1）利用分部积分；（2）令，再用第一积分中值定理；（3）令，再利用积分中值定理；（4）分段估计）.18.设，.证明：.19.设在上无穷次可微，为自然数，.证明：.20.设，为偶数且对于，有.证明：,并由此计算（答案：）.21.设为连续函数.证明下述等式：（1）（2）.（提示：（1）令，再令（分段）；（2）令）.22.设，.试求.（答案：）.23.试求函数在上的最大值.（答案：）.24.设连
11、续，而且.试求（答案：）.25.设在上存在，为的反函数而且.试求：（答案：）.26.设而且().试求（答案：）.27.设而且，.证明：在中至少有两个零点.（提示：令，利用分部积分）.28.设而且不恒为常数，而且.证明：存在使得.（提示：令，则，）.29.设，存在而且非负.证明：.（提示：利用在处的一阶泰展开式）.30.设.证明：.（提示：分变号与不变号两种情形考虑）.31.设.证明.32.设而且，.证明：.（提示：利用）33.设在上二阶可导，（）而且.证明：.（提示：利用在处的泰勒展开式）.34.设且，.证明：.（提示：利用在处的一阶泰展开式）.35.设，.证明：.（提示：在处取最大值）.36.设而且非负，.证明：.（提示：令）.37.设而且，.证明：.（提示：令，再利用分部积分公式及换元公式）.38.设不恒为零而且满足.证明：.（提示：利用函数单调性）.39.设而且.证明：.（提示：令，则）.40.设连续，而且（常数）.试求，并讨论在处的连续性.（答案：，）.41.设而且.证明：.（提示：令，则，再由及积分中值定理可得）.
