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1、龙文教育学科教师辅导讲义课 题一元二次方程的解法教学目标1. 理解一元二次方程及其有关概念2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点1. 一元二次方程的判定，求根公式2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：注：当b=0时可化为这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；
2、(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进展整理如果能整理为的形式，那么这个方程就为一元二次方程 4将方程化为一般形式：时，应满足a0(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2：该项系数不为“0；未知数指数为“2；假设存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，那么需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、以下方程中是关于x的一元二次方程的是 A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为 。考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应
3、用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例1、的值为2，那么的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，那么a的值为 。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、关于x的一元二次方程的系数满足，那么此方程必有一根为 。说明：此题的关键点在于对 “代数式形式的观察，再利用特殊根“-1巧解代数式的值。例4、是方程的两个根，是方程的两个根，那么m的值为 。例5、，求 变式：假设，那么的值为 。6、方程的一个根为 A B 1 C D 7、假设 。考点三、方程解法1根本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次将它化为两个一元一次方程。2方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公
4、式法类型一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如 对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程： 2 4 5例2、解关于x的方程：3. 以下方程无解的是 A. B. C. D.类型二、配方法根本步骤 :1.先将常数c移到方程右边 2.将二次项系数化为1 3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式： 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、x、y为实数，求代数式的最小值。变式：假设，那么t的最大值为 ，最小值为 。例3、为实数
5、，求的值。变式1：，那么 .变式2：如果,那么的值为 。例4、分解因式：类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0，方程形式：如， ，分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例1、的根为 A B C D 例2. 1(平方差) (2) (提公因式) 3平方差) 4 (完全平方式) (5 (完全平方式) 6十字相乘法 7十字相乘法 8
6、(提公因式)例3、假设，那么4x+y的值为 。例4、方程的解为 A. B. C. D.例5、解方程： 例6、,那么的值为 。变式：,且,那么的值为 。例7、解以下方程(1) (2x 3)2 = (3x 2)2 (2) -= x+2 (4) 5m2 17m + 14=0 (5) (x2 +x+1)(x2 +x + 12)=42 (6) 2x2 + (3a-b)x 2a2+3ab- b2 =0例8、解关于x的方程x2+x 2+k(x2+2x)=0 对k要讨论类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的
7、根。 条件：公式： ,典型例题：例1、选择适当方法解以下方程： 说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式：1； 2. 说明：对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想的应用主要内容：求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例1、，求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、是一元二次方程的一根，求的值。说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两
8、方面的问题：能对式进展灵活的变形；能利用条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都表达了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们的问题.考点四、根与系数的关系前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要内容：应用：整体代入求值。典型例题：例1、一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，那么这个直角三角形的斜边是 A. B.3 C.6 D.说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、之间的运算关系.例2、解方程组：说明：一些含有
9、、的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、关于x的方程有两个不相等的实数根，1求k的取值范围；2是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明理由。例4、当取何值时，方程的根与均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程二次项系数为1时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、，求 变式：假设，那么的值为 。例7、是方程的两个根，那么 .测试题目
10、： 一、选择题1解方程：3x2+27=0得 .(A)x=3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2方程2-3x+3x-22=0的解是 .(A),x2=-1 (B) ,(C)x1=x2= (D) ,x2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的选项是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的选项是( ).(A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26用公式
11、法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是 .A B C D都不对二、填空7方程9x2=25的根是_.8.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,那么t=_,另一个根是_.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,那么m的值为_.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为_.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个一样的解,那么a=_.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程12x+2x-2=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x
12、-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a0). 21b-cx2-c-ax+a-b=0ac22用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.A 因式分解法 B配方法 C公式法23解方程：1 224解关于x的方程：x2-2x+1-kx2-1=025|2m-3|=1，试解关于x的方程3mxx+1-5x+1x-1=x226、某商店经销一种销售本钱为每千克40元的水产品，据市场分析，假设按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此答复：1当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。2商店想在月销售本钱不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少？27、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。1要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？2两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？假设能，求出两段铁丝的长度；假设不能，请说明理由。3两个正方形的面积之和最小为多少?
