利用数行结合巧解高中数学.doc

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1、数学与应用数学专业本科毕业论文题 目：利用数形结合巧解高中数学学 号： 姓 名：学 校：河南师范大学学 院：数学与信息科学学院专 业：数学与应用数学指导教师：李答辩日期： 摘 要如今数学教学正在进行前所未有的改革,而我所接触过的学生在数学学习上都存在或多或少的困难,部分学生甚至于存在严重的问题.思之良久,我认为授人以鱼不如授人以渔:即在整个教学过程中我们都要始终不渝地贯彻数学思想方法的渗透。中学数学的基本思想方法有：转化（或化归）的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，观察、归纳、猜想的思想，函数、方程、不等式的思想。在我们的中学教材中，数形结合的思想几乎渗透到每一章的内容之中初中教材把实数与

2、数轴对应起来；高中教材把函数与其图像联系起来；解析几何把方程与曲线联系起来；甚至等差(比)数列的通项也给予了几何说明等等，不胜枚举本文就以数形结合的思想方法为主探讨一下其在中学数学中的作用关键词：数学思想 数形结合 坐标系 几何意义 函数 向量目 录一、数形结合的实质1二、数形结合的重要性1三、函数中的数形结合1、二次函数与数形结合、一次函数与数形结合2、函数不等式与数形结合 2、函数方程与数形结合 3三、三角中的数形结合 4四、解析几何中的数形结合 6、利用圆锥曲线的定义性质由数构形 6、利用复数的性质由数构形 7、多次转化，再由数构形 8五、向量中的数形结合9、平面向量与数形结合 9、空间

3、向量与数形结合 10六、 运用数形结合的注意事项12七、参考书目13一、数形结合的的实质数形结合是一种数学思考方法，它是数学思考、数学研究、数学应用 、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。就教材内容而言，对于较新、较难的教学内容、对于学习较困难的学生可先形后数，用形来表示数，学生通过形来表示数量之间的关系；对于后继教材 和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形 。二、数形结合的重要性数与形作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有数必有形，有形必有数。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚

4、依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。数形结合作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。三 数形结合的教学提到数形结合的教学我们首先应该想到在数学学习中渗透数形结合的思想。现行教材的宗旨是注重知识、能力、数学活动经验、数学

5、教学思想的培养，而数学思想的核心是数学本质，要揭示数学本质，主要应阐述知识之间的内在联系、规律并应用已知来解决实际问题。在数学教学中，教师要注重教材，把教材中有内涵的内容充分发掘出来，没有的就要进行创，要在教学中时时渗透数形结合的思想，更重要 的是教师在教学设计、教学方法 、教学手段中要有渗透数形结合思想的意识。教师充分利用教材中的主题图，让学生通过“形”找出解决问题的“数”。在平时的教学工作中，引导学生主动而有效利用课本中的主题图或其他图形，从图中读懂重要信息，并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题。在课堂教学中，要给学生更大的空间多发现学生的闪光点，让学生养成自主探索、自我评价、合作交流

6、的学习习惯，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形教学对数学知识形成的意义，注意加强数形结合思想的渗透，关注学生数形结合思维能力的提高，从而培养图形与空间观念的认知能力。 三、注重对学生数形结合学习方式的应用指导在课堂教学中，数与形的结合是教师和学生学习数学的一种思想方法，两者不能截然分开，两种都是符号，要做到数中有形，形中有数，让学生寓知识于活动之中，以形思数，帮助记忆；数形对照，加深理解；数形联系，以利解题；以形载数，以数量形；数形互释，图文并茂。把数形结合作为培养学生形象思维能力和逻辑思维能力的终结目标。在知识的形成过程中，突 出形象的感觉、形象的储存、形象的判断、形象的创造和形象的描述

7、，重视有效的动手操作和情境 的创设，让学生动手、动跟 、动口，多种感官参加学习，使操作、观察等有机结合，激发学生多向思维。 教师应充分利用学生形象思维的特点大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。如在应用题教学中特别重视发挥线段图的作用。数学教学中的实物、示意图、线段图、平面图、立体图等是用形来表示数量关系，用形 来表示数，它既能舍去应用题的具体情节，又能形象地揭示出条件与条件、条件与问题之间的关系，把数转化为形 ，明确显示出已知与未知 的内在联系，激发学生 的再造性想象，激活学生的解题思路。在教学中，可经常进行一些根据线段图列出算式，根据算式画线段图，根据线段图编应用题，根据应用题画

8、线段图等训练，让学生在潜移默化中悟出画图的方法，感受到数与形结合的优点，养成根据 题意画 图帮助理解题意，激发学生数形结合的学习兴趣，为学生长远学习奠定好的学习方法，从而提高学生的数形转化能力，实现形象思维和抽象思维的互助互补，相辅相成。 四、让学生养成数形结合的良好习惯我们在学习简单的应用题、认识整数、分数、小数的意义以及加、减、乘、除的意义及计算时，在解决分数应用题时，就要求学生画出线段图来。在学习了平面图形 、立体图形以及它们的周长、面积、表面积、体积发生变化时，都要求学生画出图形，用“形”来理解它们的变化，从而再用数来表示，达到用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”。经过长期的训练

9、，让学生有很好的数形结合的好习惯，提高学生的数学思维能力和转化能力，达到数形统一。数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。通过这次测试、调查和论坛交流，让一线教师对数形结合思想有了新的认识和重视，在平时的教学中，重视在教学设计、教学方法、教学手段等多方面加以培养和训练，使学生逐渐养成数形结合的习惯，才能真正提高学生的数学分析思维能力和解决数学问题的能力，不断提高学生的逻辑思维能力和形象思维能力。二 数形结合的优越性几何问题比较直观，代数问题比较抽象，抽象的代数问题一旦与几何图形结合就往往使问题简便，易猜测结果。而且一些纯代数问题结合图形来解，显

10、得特别容易，“脑中有图像，直观又形象”。数形结合方法作为一种策略思想，能最直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果。综上所述，数形结合的优越性可以概述为以下三点：1 能够直接导出结果。2 易于寻找解题思路。3 能避免复杂的计算和推理，简化解题过程。总之，它以解题的直观性和简捷性被广泛使用，特别是作为高考中重要数学思想方法考查以来，各类题解使用的深度和广度逐渐升级，形成热点。三 函数中的数形结合如果说坐标系是数与形结合的纽带，那么我认为函数图像则是数的直观形象的反映。一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反比例函数都有其对应的图像。例如，新课标必修4中有这样的话：“遇到一个新

11、的函数，非常自然的是画出它的图像，观察图像的形状，看看有没有特殊点，并借助图像研究一下它的性质，如：单调性、奇偶性、最大值、最小值等。”函数图像则是数的直观形象的反映,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图像，结合实际图像记性质、用性质的好习惯。数形要结合，关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。1 二次函数与数形结合例1已知函数的图像，试判断下列各式的符号(1) -1(2) o(3) 1 1(4) (5) 评析：本题是典型的“形”中觅“数”，也是最简单最基本的的数形结合，它要求学生必须由形到数，也就是要学生读懂图形。例2若方程有两根为，且， 求的取

12、值范围 解：令 0 1 2 或-3a4评析:本题对学生的要求高多了,它要求学生在深入观察数式的特征下,由“数”构“形”,再由“形”构“式”。xOy12：y = x1y = x2y =x2(2，3) 2 一次函数与数形结合例3 已知集合A = (x，y)|，x，yR，B =(x，y)| y = ax2，x，yR，若AB = ，求a的值解：集合A表示不含点(2，3)的直线： y = x1，集合B表示直线m：y = ax2 当直线与直线m平行时，AB = ，此时a =1 当直线m经过点(2，3)时，AB = ，此时3 = 2a2，解得a =所以所求的a的值是1或评析：数学题目本来并无思想，她的思想是

13、人给予的。本题应该是集合运算的范围的，但是我给这些数和式以“形”的直观，使抽象空洞的集合运算变得形象具体起来。 3函数不等式与数形结合2例4 解不等式 分析：令 ， x-5C(-2,0)o1yY2为两个不同的函数 画出函数的图像 的曲线是以c(-2,0)为圆心,以3为半径的上半圆, 的曲线是,两个象限角的平分线.当时,有一个交点即=x x=则由图观察可知其解集为评析：本题当然也可用纯代数的方法解，但是用数形结合解就显得快捷得多，而且直观形象，一目了然，避免了复杂的计算与推理。例5 解不等式|2解：原不等式变形为：|2，令y= 1，则有：|2 ，由双曲线的定义及性质，满足式的点(x，y)是在双曲

14、线(x3)= 1的两支之间，从而原不等式等价于混合组：3x3原不等式的解集为3x3评析：这是一种典型的“由形到数”的解题模式，这样解题，使问题解得简单、直观、明了，省略了繁杂的运算。 4 函数方程与数形结合在考试大纲上，是找不到“函数方程”这个考点的！函数方程所涉及的不是一个具体的知识内容，而是一种有指导性、带全局性的数学思想。 因此，高考中的“函数方程考题”是跨考点、跨板块、跨题型的、考查数学思想的深层试题。比如：3例6 方程的实数根的个数是 ( ).o1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3分析: 如图在同一直角坐标系内分别 画出函数 和的图像,由于y2 =1,所以当x大于10时两个

15、函数不可能有交点，即交点的横坐标只能在10以内，通过观察易知两个函数曲线相交有三个交点. 故选(C) 评析：本题看似方程，实是函数，用代数的方法在高中阶段是无法解决的，但如能由数式巧构函数模型，则易如反掌，充分的体现了数形结合的优越性！1例7 实数p取什么值时，方程| x4x3| = px 有四个不同的实数根xyO123解：设 这两个方程表示的曲线如图所示，由图中不难看出，当方程表示的直线和x轴重合时，直线与曲线有2个交点；当方程表示的直线和曲线y =(x4x3)相切时，方程、表示的直线与曲线有3个交点；当方程表示的直线在x轴和切线之间时，直线与曲线有4个公共点，即原方程有4个不等实数根 x1

16、，3消去y得方程x(p4)x3 = 0，x1，3= (p4)12 = p8p4，令= 0，解得p = 42又当p = 42时，x =1，3，所以舍去，当p = 42时，x =1，3故当0p42时方程有四个不同的实数根4评析：原题本来只是方程，如用代数的方法来解方程，那将是多么艰难的一项工作啊。但是如用数式巧构函数模型，则思路清晰，计算简单,逻辑性强。但数形结合的直观思考，离不开代数知识或几何知识的严格的逻辑推理四三角中的数形结合在三角函数这一章中数形结合更是贯穿始终：1、特别强调了单位圆的直观作用，借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式

17、以及三角函数的图像；2、利用单位圆给出三角函数的定义，并推导出了同角三角函数问的基本关系；3、借助三角函数的图像理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等性质； 4、利用三角函数线画正(余)弦及正切和三角函数的图像；并利用图像进一步分析函数的有关性质。例8 已知为锐角，且，求证:分析：题目中出现了三个角，看似复杂，但如果有数形转换意识，由已知三个角的余弦的平方和等于1，就会与原有经验中的知识模拟联系，这种数式的特点与长方体的对角线与从出发的相邻三条棱的交角相模拟，于是设长方体三条棱为，便有以下证明：例9 已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k,

18、 kZ)求证：.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cos,sin）与点B（cos,sin）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos()又单位圆的圆心到直线l的距离5由平面几何知识知OA2(AB)2=d2即 .五.解析几何中的数形结合解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何

19、性质，体现了数形结合的重要数学思想。“曲线”与“方程”是同一对象(即点的轨迹)的两种表现形式，曲线是轨迹的几何形式，方程是轨迹的代数形式它们在表现和研究轨迹的性质时，各有所长几何形式具有直观形象的优点，代数形式具有便于运算的优势，因而具有操作程序化的长处具体解题时最好将二者结合起来，这就是“数形结合”思想在解析几何中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。解析几何最核心的思想方法即数形结合的思想。1 利用圆锥曲线的定义性质由数构形例10.（2007年重庆卷第

20、22题）如图1，（）（求得）椭圆的方程.（）在椭圆上任取三个不同点，使，证明为定值，并求此定值.【说明】 心里有什么，眼里就看到什么！对于本题心里有函数的人首先看到了函数：|FP1|、|FP2|、|FP3|都是角=xFP1的函数。心里有方程的人，首先看到了方程：|FP1|cos= x + c ( x是点P1的横坐标).心里既有函数又有方程的人，不仅同时看到了本题中函数与方程，而且还看到了函数与方程的关系.【解析】设（自变量）xFP1=，于是有 xFP2 =，xFP3 =.设|FP1| = r1，由图2可得|FM| = r1cos，由e = 得 |P1Q| = 2r，于是有（方程）：r1cos+

21、2r1 = 12 3 = 9，从而有（函数）：r =，继而有（方程）：6同理有 于是有（函数方程的统一体）：=评析：圆锥曲线定义是运用数形结合思想解题的依据，把一些代数问题通过转化，运用圆锥曲线的定义与几何性质解题是简化解题过程的最佳手段例11 评析 例12. 分析：7构造直线的截距的方法来求之。 形象直感是数学直觉思维的源泉之一，他是一种几何直觉或空间观念的表现。通过构造题目中所描述数学对象的几何图形，把研究的问题从几何上可视化，类似的思维活动，学生一旦形成习惯，在处理“数”的问题时，便会具有自觉转化为“形”的意识，用“形”的直观引发出直觉，从而定位解题方向。 2 利用复数的性质由数构形例1

22、0. 分析： 3 多次转化，再由数构形 例11 分析转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。 解： 8 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图） 相切于第一象限时，u取最大值 在解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。六向量中的数形结合向量是近代数学中重要和基本的概念之

23、一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算(运算律)，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用平面向量是新高考中增加的最重要的内容，由于它的加入，代数和几何的研究全面改观，数形结合是高考的重要思想之一，而平面向量则为数形结合铺就了宽广的道路。y16O图1-3-21 平面向量与数形结合例12若平面向量与向量的夹角是，且，则向量（ ）A B C D解：由向量与为方向相反的共线向量，如图1，将两

24、向量起点移到原点，显然得到，故选A.【点评】此题主要涉及平面向量的模、夹角、共线的充要条件等基础知识，在解题是要灵活运用不同的方法，如利用数形结合，可直观地得到结果。9例13已知向量，求的值xyABO图2解：如图2，将向量、的起点都移到原点，即，则且，于是，又因，则为正三角形，从而【点评】本题一般的解法是将平方，然后利用向量的数量积解决问题，但若能利用其几何意义，则根本不用计算即可解决问题。xyABO图3C例14已知，若与的夹角为，则的值为_ 分析：本题若直接用夹角的一般方法求解，比较烦琐，而借助于图形，则很快得以解决。2 空间向量与数形结合例16 如图，在三棱椎P-ABC中，PA平面ABC，

25、D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1，PA=2（）求直线PA与平面DEF所成角的大小；（）求点P到平面DEF的距离解：（）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）， ， ，设是平面DEF的一个法向量，则 即 ， 取x =1, 则 ，设PA与平面 DEF所成的角为，则 10例17 如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，D，E分别是棱BC、的中点，AB=AA1=2()证明：；(）求二面角的大小； (）求异面直线与BE的距离 证明：（）以A为原点，建立如图的空间直角坐标系，易知各点坐标A(0,0,0), B(,1,0)，B1

26、(,1,0), E(0,2,1),则， 即 （）易知：，设是平面的一个法向量，则，令 则 ，设是平面一个法向量，则，令 则设二面角为，则（）设是与BE的法向量,则，可得：取 y=3, 可知，11向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法向量法和坐标法。通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式-坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给

27、出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题, 把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。 七运用数形结合的注意事项数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质；数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性。数形结合的思想，其应用包含两点：1“形”中觅“数”；很多数学问题，已知图形已经作出或容易作出，要解决这类问题，主要是寻找恰当表达问题的数量关系式，即将

28、几何问题代数化，以数助形，使问题获解2“数”上构“形”；很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，将代数问题化为几何问题，使问题获解。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。数和形是数学中最基本的两大概念，是整个数学发展进程中的两大支柱。数和形在客观世界中又是

29、不可分割地联系在一起的。著名数学家华罗庚先生说得好：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，华老亲切而风趣地告诫我们不要“得意忘形”。所以我说：若能巧结数形连理枝，定能踏平数学千万峰！12参考文献：1 唐加俊. 活用数形结合解题. 中学数学教学参考.2005.92 程华、黄泰安. 注重数形结合 培养直觉思维. 中学数学教学参考.2005.123 罗增儒.中学数学思想方法的教学.中学数学教学参考2000(6)4 中学生数学报,1999(10)5 周春红.全国成人高考丛书数学文科.函数,三角两章.北京邮电大学出版社,20026 数学月刊2008第一期7 用向量法解立体几何问题 何志衔8 数形结合思想方法在中学数学教学中的应用 杨旭霞9 普通高中数学课程标准10 新课改必修1至513