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1、 The document was finally revised on 2021万有引力中的能量物理训练课讲义训练课老师： 李武星 时间：内容训练目标要求训练内容五.人造卫星、天体的运动1.引力势：质量为m的物体离地心的距离为r，设地球的质量为M，则物体的引力势能（严格上是地球和物体共有的，且取无限远引力势能为零） 证：把物体移到无限远，引力做功等于引力势能的减小量，只要求出引力的功，可求出引力势能。把物体移动过程分为无限段过程，每一过程r都为无限小.在r1到r2的过程中引力做功同理在r2到r3的过程中引力做功在rn-1到rn的过程中引力做功所以在r1到rn的过程中引力做功无限远rn（引力势
2、能为零），适用于均匀球体或质点间。注意：上述方法也是求的常用方法（积分）。2.宇宙速度： 第一宇宙速度（环绕速度），得卫星的速度，当r=R时，卫星绕地球表面作圆周运动的速度=103m/s. 第二宇宙速度（脱离速度），由机械能守恒：，卫星脱离地球的条件是当r时，v0,得v2至少为， =103m/s. 第三宇宙速度（逃逸速度），已知M日=21030kg,r日地=1011m.飞船脱离太阳条件（太阳和飞船组成的系统)：，即脱离地球后相对太阳的速度至少=103m/s.注意：发射卫星时发射的方向、地点和时间的选择？ 地球绕太阳公转的线速度v=2r日地/T=103m/s. 脱离地球时，相对地球的速度v3=v
3、3-v=103m/s. 即在地球上发射的速度v3=?时，才能使脱离地球时相对地球的速度v3=103m/s。由机械能守恒定律（地球和飞船组成的系统)：，因 ，所以103m/s3.天体运动的轨道与能量从理论上可以证明行星的运动（或卫星绕地球的运动）轨道为三种圆锥曲线，即椭圆（包括圆）、抛物线和双曲线。它们的运动轨道跟哪些因素有关呢？ （1）.椭圆轨道 椭圆方程为，长半轴为a、短半轴为b，半焦距，质量为M的太阳在其焦点S（c，0）处，如图所示。质量为m的行星绕太阳做椭圆轨道运动时，行星和太阳构成的引力势能和动能之和（以下简称能量）为：。 设行星在椭圆轨道顶点时的速率分别为v1和v2，行星绕太阳运动时
4、机械能守恒，即，要求出行星的能量，必须先求出行星在椭圆轨道的顶点1处的速率v1（即v1用M、G、a、c来表示）。v1可用二种方法求解，一种是根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求得，另一种是根据机械能守恒定律和曲线运动向心力公式求得。 我们先根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求解。 根据机械能守恒定律：。 根据开普勒第二定律：。由上述二式解得：，。则行星做椭圆轨道运动时具有的能量： 。 我们再根据机械能守恒定律和曲线运动向心力公式求解。 根据机械能守恒定律：。 设椭圆顶点1和2的曲率半径分别为1和2。则1=2。 在顶点1，由曲线运动向心力公式：。 在顶点2，由曲线运动向心力公式：。由上述四式解得
5、：，。（根据椭圆的半焦距c、长半轴a、短半轴b的关系：，可得椭圆顶点1和2的曲率半径，顶点3和4的曲率半径，证略）则行星做椭圆轨道运动时具有的能量：。即行星的能量小于零时，行星做椭圆轨道运动。（2）抛物线轨道抛物线的方程为，质量为M的太阳在其焦点S（）处，如图所示。设行星在抛物线轨道顶点时的速率为v0,质量为m的行星绕太阳做抛物线轨道运动时机械能守恒定律，行星的能量等于在抛物线轨道顶点时的能量，其能量为：。 根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求行星在抛物线轨道顶点时的速率v0比较复杂。下面我们根据等效类比法先求抛物线顶点的曲率半径，再根据曲线运动向心力公式求出行星在抛物线轨道顶点时的速率v0。
6、 因平抛运动的轨迹为抛物线，如图所示。设平抛运动的初速度为v0，则平抛运动的水平位移为,竖直高度为，平抛运动的轨迹为。比较和 ，当，或时平抛运动的轨迹与抛物线的轨迹相同。 根据机械能守恒定律，物体在任一点（点P）时的速度大小：。把和代入上式得 在P点物体的法向加速度：。 所以抛物线曲率半径与x关系：。 抛物线顶点（x=0）的曲率半径：。 也可直接求顶点的曲率半径：。 根据曲线运动向心力公式，行星在抛物线轨道顶点时的速率由： ，得到。 行星做抛物线轨道运动时具有的能量：。 即行星的能量等于零时，行星做抛物线轨道运动。（3）.双曲线轨道双曲线的方程为，实半轴为a、虚半轴为b，半焦距，渐近线方程为，
7、质量为M的太阳在其焦点S（c，0）处，如图所示。设行星在双曲线轨道顶点时的速率为v0,质量为m的行星绕太阳做双曲线轨道运动时机械能守恒定律，行星的能量等于在双曲线轨道顶点时的能量，其能量为：。 设行星远离太阳时的速率为v，因，又因OED与OSG全等，故。 根据开普勒第二定律：。 根据机械能守恒定律：。 双曲线的半焦距c、实半轴a、虚半轴b的关系：。 由上述三式解得行星在双曲线轨道顶点时的速率：。 得行星做双曲线轨道运动时具有的能量： 。 即行星的能量大于零时，行星做双曲线轨道运动。1. 以的速度沿地面发射一颗人造卫星，不计空气阻力，求卫星的周期。（已知地球的半径R=106m）（答案：104s）2. 宇宙飞船绕地球中心作圆周运动,飞船质量为m,轨道半径为2R(R为地球的半径,已知地球的质量为M),现将飞船转移到另一半径为4R新的圆轨道上,如图所示.求(1)转移时所需要的能量.(2)如果转移是沿半椭圆双切线轨道进行的(如图中ACB),则飞船在两条轨道交接处A和B的速度变化vA、vB各是多大?3. 从地球表面与竖直方向成角发射一质量为m的导弹，初速度，M为地球的质量，R为地球的半径，忽略空气的阻力和地球自转的影响，求导弹上升的最大高度。
