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1、 必修一知识点第一章 一、集合的含义与表示 1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 集合常用大写字母A，B，C，D，表示，元素常用小写字母表示.2、集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.3、元素与集合的关系有两种：属于和不属于. 如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作. 如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作.4、自然语言（图示法）、列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?列举法：把集合的元素一一列出来写在大括号的方法描述法：用确定条件表示某些对象
2、是否属于这个集合的方法(1)用自然语言描述集合1，3，5，7，9； (2)用例举法表示集合 5、集合的分类有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合. 记作 二，集合间的基本关系1、两个集合之间的关系:一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集. 记作： 读作：A含于B(或B包含A). 如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.结论：任何一个集合是它本身的子集。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。B2、为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线
3、的内部代表集合，这种图称为Venn图。 3、与实数中的结论“若”相类比，在集合中，若思考:(1)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别? 三、 集合的基本运算 l.并集 般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集. 记作：AB.读作：A并B. 其含义用符号表示为：2、交集:一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集记作：AB.读作：A交B 其含义用符号表示为：3、补集四、函数的概念1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它
4、对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数（function）记作：y=f(x)，xA 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域（range）2、构成函数的三要素是:定义域、对应关系和值域3、区间：开区间、闭区间、半开半闭区间；4、如何求函数的定义域函数的定义域通常由问题的实际背景确定，是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式小结几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使
5、分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义.5、如何判断两个函数是否为同一函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。五、函数的表示法1、表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数。
6、2、设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射。一对一，多对一，但不能一对多对A中不同的元素，在B中可以有相同的象，允许B中元素没有原象，A中每个元素在B中必有唯一的象六函数的单调性、最大（小）值1增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数类比增函数的定义，概括出减函数的定义2
7、、函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差或作商f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性） 巩固练习：证明函数在（1，+）上为增函数4、函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值5函数最大（小
8、）值定义最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果实数M满足：对于任意的，都有；存在，使得那么，称M是函数的最大值思考：依照函数最大值的定义，结出函数的最小值的定义6利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值七、函数的奇偶性1偶函数一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数2奇函数一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数注意：定义域关于原点对称3具有奇偶性的
9、函数的图象的特征偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称小结：1、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致2、判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称第二章一、指数与指数幂的运算1根式的概念：若n1且，,则为偶数时，； 2掌握两个公式：n为奇数，;3,零的n次方根为零，记为规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.根式与分式指数幂可以互化.推广有理数指数幂，即：（1） （2）（3）二 、指数函数及其性质1、指数函数的定义一般地，函数（0且1）叫做指数函数，
10、其中是自变量，函数的定义域为R2、举例：通过图象看出实质是上的根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.（见课本56页）3、，0且1）的函数称为指数型函数三、对数 1对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作： 底数， 真数， 对数式2、两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数3、对数式与指数式的互化： 对数式指数式 对数底数 幂底数 对数 指数 真数 幂4、对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：；（3）底数的对数是1：； （4）对数恒等式：； （5）四、对数的运算性质
11、1、对数恒等式：； 练习： 设，求； 设，试利用、表示2、运算性质：如果，且，那么： ； ； 3、换底公式：（，且；，且；）利用换底公式推导下面的结论：（1）；（2）五、对数函数1定义：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的 定义域是（0，+）注意：与指数函数类似， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数2、 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（1） （2） （3） （4） 3、分析：与的关系4、反函数的概念:当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个 新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.由反函数的概念可知，同底的指数函数和对
12、数函数互为反函数.1）的反函数是0且.说明：互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；结论：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称六、幂函数1幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2、研究函数的图像定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限单调增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）3幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） （2）0时，
13、幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）. （3）0时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数. 第三章一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法：求函数的零点：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数（），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点二、用二分法求方程的近似解三 几类不同增长的函数模型四、函数模型的应用实例一次函数模型：二次函数模型：幂函数模型：指数函数模型：（0，）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型
