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1、从不同方向看问题 从一道数学题看学生的发散性思维摘要 思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等是发散思维的特性，教学中有意识地抓住思维特性进行训练与培养，既可提高学生的发散思维能力，又是提高数学教学质量的重要一环。本文结合教学实践从一道数学题出发从不同的方向、多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径，以培养学生的发散思维。关键词数学 思维 能力 培养 发散性思维是沿着不同的方向对已有的的信息重新进行组织，探求新的答案的思维方式。以知识和智力为基础的创造性思维，它的显著特征是求异.这是一种不依常规,大胆设想,从同一信息来源,沿着各种不同方向变化,产生为数众多的输出,以探索尽可能多的答案的思
2、维方式。这种思维方式,不受现成知识的局限,不受传统方式的束缚,其结果由已知导致未知。美国教育学指出：“创造力=知识量+发散性思维”。徐利治教授也曾讲过：“数学的新思想，新概念和新方法往往来源于发散性思维”。发散性思维是创新思维的核心，没有思维的发散就算不上思维的集中求异和独创。因此，在中学数学中重视培养学生的发散性思维能力是很重要的，只有通过发散性思维的培养，才能培养出学生的创新能力。2009年浙江省普通高考考试说明（理科）中的数学科部分考试内容的能力要求中明确规定：要求学生“会对问题进行比较分析综合抽象与概括即思维能力要求；运算求解能力：会根据其中法则和公式进行正确运算、变形和数据处理；能根
3、据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径，有分析运算条件探究运算方向，选择运算公式确定运算程序；还有创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路。”这些能力的要求都决定了在教授学生知识的同时，应该有意识的培养学生从不同方向看问题的发散性思维。这对学生以后的发展是一种提高和促进。纵观2008年浙江省高考数学（理）第8题的三角函数的选择题，试题设计情景熟悉、入口宽、方法多。笔者从不同的方向、多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径。对这题的探讨可以通过纵横发散，使知识串联，达到举一反
4、三、融会贯通的目的。2008年浙江省高考数学（理）第8题 若,则（ ） A、B、C、D、命题意图：考查简单的三角变形及其计算。思维取向一：从同角变换的角度切入方法(一)由可知，两边同时平方得，左边除以得，所以，解得，故选B点评 由等号左边是一次式，等号右边是零次（常数），联想把等号左边变成零次，再者，本方法比较常规学生很容易想到。类似地,如直接将正弦、余弦化为正切，则又有下面的思路如，则，代入，得，因为，得数学中常用逆向思维方法，它着眼于事物间的双向性和可逆性，在数学解题中“执果索因”的分析法，是逆向思考的“宠儿”。思维取向二：从三角函数的角度切入方法(二)，又所以，即所以，故选B点评 公式是
5、解决这类问题较常见的方法，但学生使用时对的确定感到拿不定主意，这是概念不清造成失误，再加上新教材已知三角函数值求角不作要求，所以学生基本上能想到，但解决不了。思维取向三：从诱导公式的角度切入方法(三)由方法(二)，得，向左平移个单位得即，从而得，故选B点评 本方法在构思中比较独特，让人有拍案叫绝之感，利用平移的思想转移问题的切入口，使问题得到巧妙地解决，这取决于对问题的深入研究。思维取向四：从柯西不等式的角度切入方法（四）根据柯西不等式，即，当且仅当时等号成立，从而得然，故选B点评 柯西不等式作为人教版选修4-5不等式选讲中的内容在中学数学中的应用比较广泛，它是异于均值不等式的另一个重要不等式
6、，此方法上选修内容时讲解感到特新奇，在利用柯西不等式求解，关键就是要构造为柯西不等式的结构特点和形式。思维取向五：从数列的角度切入方法（五）分析 由联想到等差中项的知识，如果，则可设解：由，可设，由，得解得，则，所以，故选B点评 无论是解题思维，还是文化底蕴，都如同小说的故事情节，让人回肠荡气，引人入胜。解题过程中，思考过程并非一帆风顺，往往曲曲折折，探究过程有如王安石在褒禅山所经历的那样，当我们体会到那种由于曲径通幽而令人回肠荡气时，反思一番在所难免。思维取向六：从三角函数的定义的角度切入方法（六）由三角函数定义得，其中则，可化为，所以即，化简得，所以，故选B点评 从三角函数的基本定义入手，
7、则问题可以转化为定义中的几个基本元素之间的关系式；显而易见，真正理解数学概念的本质涵义，对于解决数学问题有很大的促进作用。因为一切的数学性质无不是从基本概念出发而逐步发展的，是否真正理解数学概念的内涵，决定了能否很好地运用数学性质，这实际上也是一切数学问题得以解决的基本前提。思维取向七：从平面向量的角度切入方法（七）令向量，则其中，所以，所以共线且方向相反，所以，即，故选B点评 在新课程标准中，中学数学课程开始关注角与向量之间的联系，在今后的课程教学中，解三角问题能融入向量的内容，并作为它们的应用。新教材用平面向量内容代替老教材中的复数内容，故也可用复数知识解决本题，这里就不加以解答，由读者自
8、己解决。思维取向八：从方程的角度切入方法（八）可得两边同时平方得，又，整理得，即,所以,从而得，故选B点评 由想到用方程解出的值，从而求得，这是一种大多数学生使用的方法，但由于学生计算能力弱等因素导致三角公式变形受阻，时间消耗过多之后仓促选择，导致错选。下一种方法解决了上一种方法计算量大这一问题。方法（九）令 （1） （2），可知，所以，从而得，故选B思维取向八：从曲线方程的角度切入方法（十）点是直线L:和圆C:交点，联立方程组解得，所以，故选B点评 著名数学家华罗庚说过：“数与形本是一家亲，数无形时少直观，形无数时难入微！”。从曲线方程利用其自身具备的几何意义，所为数形结合是一种基本而有效的
9、数学方法.它兼有数的严谨与形的直观,是优化解题过程的重要途径之一.由于它的直观，快捷，许多同学对它青眼有加“言必形，形必果”。直线L和圆C相切于点M，就是直线OM的斜率，故得B思维取向九：从万能公式切入方法（十一）设，所以，求的值，即得B点评 由于教材中没有万能公式，此方法学生不能接受，再加上运算量大，对学有余力的同学可作为提高要求用。思维取向十：从函数与导数的角度切入方法（十二）设函数，则导函数即时，取到极值，而恰好是的最小值也就是极小值，所以，故选B点评 对于最值问题往往会联想到构造函数然后利用导数知识解决最值问题是较常规的方法。对于高中数学新课程中三角函数作为函数的作用显得越来越突出。这
10、也与20世纪初著名的数学家和数学教育家克莱因主张，中小学数学课程应该围绕着函数展开相一致。 以上1、2、8这三种解法，都是学生平时训练中比较常见的3种解法，不偏不怪，没有超出学生视野，体现了高考“坚持多角度，多层次考查”命题思路。思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等是发散思维的特性。通过与学生交谈，学生都认为可以运用上述方法解题，但在解题中，对1、2、8这三种方法能想到，由于三角公式记错、思维定势（特别是一上来就对式子两边平方，之后陷入困境）、计算能力弱等因素导致三角公式变形受阻，时间消耗过多之后仓促选择，导致错选。运用解法3、4、5、6、7、9、10、11、12解题的少之又少。反映学生在学
11、习中习惯于用常规的解法解答常见的题型，解题的新意不够，缺乏钻研精神；教师在教学中，讲得过多、过死，学法指导不够，缺乏对学生创新能力的培养，应试教育观念太强。对解法3、4、9对于必修教材的解法，此解法具有思维流畅、解题明了、简洁自然等特点，体现了国家课程改革高中教学逐步走向新大纲、新教材过渡的必然，这也是认为此题是一个好题的原因之一，它既体现了高考改革的命题方向，也体现了新课程发展的要求。苏霍姆林斯基曾说过：在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。从不同方向看问题，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题
12、，它属于解题的策略问题。就象郑毓信教授认为，“采取前一种立场的即是所谓的数学活动论。数学活动论的兴起正是数学哲学现代发展的一个重要特点”。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。而这种创造点燃了学生学习数学的兴趣，激励学生钻研。从不同方向看问题，提供了一个很好的教师和学生相互交流的平台。“数学是一种探索精神，是一个动态的过程，是一个思维的试验过程，是数学真理的抽象概括过程”，教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学
13、生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。参考文献1 孟昭兰.普通心理学.北京大学出版社2 浙江省普通高中新课程.学科教学指导意见.浙江教育出版社3 不着葛为民 冯成火 张江琳 .2009年浙江省普通高考考试说明（理科）. 浙江摄影出版社4 李昌官 .数学教学应顺其自然、追求自然.课程.教材.教法2005.125 罗增儒 .数学解题学引论.陕西师范大学出版社. 2001.7第2版6 肖凌赣 . 从被动接受学习走向变式创新学习. 中学数学. 2003.107 郑毓信 . 数学教育哲学M 成都：四川教育出版社 2001.268 章建跃 张翼 .对数学本质特征的若干认识J 数学通报.2001.(6).49 陈勇 徐礼生 .注重对数学概念的反思，发挥数学问题的教育功能.中学数学. 2008.上半11 10 王尚志 张思明 胡凤娟 付丽 .整体把握高中数学新课程中的三角函数与三角.中学数学教学参考. 2008.上半月8
