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1、合情还需合理摘要 数学教学既要教学生严谨证明，又要教学生合情推理，这已经成为新课程标准的要求，从而也成为高考的一个新热点。本文“结合已学过的数学实例和生活中实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用” 普通高中数学课程标准诠释合情推理的必要性和培养学生合理进行合情推理的途径。关键词 归纳 类比 合情推理 合理推理 课程标准一数学需要合情推理合情推理，是美籍数学家G波利亚在20世纪30年代提出的概念，是人们根据已有的知识经验，在情感的影响下，运用观察、实验、类比、联想、直觉等非演绎的思维形式，构造出关于合乎情理的认知过程；“归纳和类比是合情推
2、理中最基本、最重要的两种形式”.数学家拉普拉斯也说“数学中达到真理的主要方法是归纳和类比”。合情推理的实质是“发现”，是建立在一定知识和经验的基础上，源于对数学知识、式子的结构性、条件的可比性的合理判断，因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新能力,关注合情推理的教学也就有助于提高学生数学学习的兴趣和能力.1 从科学发现的角度来说,数学需要合情推理波利亚认为:“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话,那么就让猜想和合情推理占有适当的位置”.现今的人们,已经习惯用字母等表示未知量,从而构成了形式各异的代数式.两个代数式之间用“=”号联结就得到今天常见的方程.然而这种今天看似简单的符
3、号在数学的发展中却经历了相当漫长的过程.用字母表示数,是16世纪末法国数学大师韦达的巨大创造,他的著作分析法引论不断地发展几何,三角和单数,除了改进代数符号外,还发展了解方程的理论,使更加深刻的代数理论成为可能.再如:引入“”作为“虚数单位”,从而将实数集扩充到复数集.数学史在人类社会的发展和进步中由数学大师们的大胆猜想和合情推理而不断完善.2 数学创新能力的培养靠的主要是合情推理数学科的考试按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则.高考命题是能力立意的！考试说明(2009.浙江).能力的培养需要从问题情境中“发现归纳类比”,即合情推理.如:2008年高考数学全国卷，文、理第10题：若直
4、线通过点，则（ ）. 本题考查直线与圆的位置关系、三角函数的变换和不等式的性质，重点考查思维的灵活性和推理的合理性；需要从条件到结论的合理转换和推理.中学数学参考2008年第10期曾把此题作为最值得欣赏的考题之一；评析此题：在解析几何、三角函数、不等式等知识的交汇点初设计，初看平淡无奇，细品内蕴厚重，纵横联系，解法灵活，给人以美的享受。笔者借鉴其中两种运用合情推理的解法：思路分析1：类比由已知，得 思路分析2：类比直线与圆相交点在圆上且直线过点直线和圆有公共点类比，就是两个对象的某些相同或相近的性质，合理推理它们在其他性质上也有可能相同或相近的一种推理形式.类比推理就是从特殊到特殊的推理。当然
5、，类比推理是一种主观的、不充分的似真推理，因此，要确认其正确性，必须严谨证明。本例思路分析1就是等价转化再类比三角函数的值域其合理之处在于直线过点有而思路分析2是从运动变化的角度将动点类比为单位圆上的点，结合直线与圆的位置关系，数形转换平而不俗；其合理之处在于三角恒等式2.数学知识的理解掌握离不开合情推理数学知识是指普通高中数学课程标准(实验)中所规定的必修课程及选修课程中的数学概念性质法则公式公理定理以及由其内容反映的数学思想和方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算,处理数据绘制图表等基本技能.这里,强调双基落实的过程中要承载数学思想方法,揭示数学规则与本质(杭州市普通教育研究室:李学军).
6、如:等比数列前项和的推导已知数列是等比数列，首项为，公比为，则前项和，回顾平方差、立方差公式：当时， 变形得： 猜想： ； ； . 归纳，是由特殊的前提归纳猜想一般的结论，也就是说合情推理必须是合理的推理.和类比推理一样,归纳推理也是一种不充分的似真推理，确认其正确，必须证明.本例的猜想证明只需验证即可。 二合情还需合理,不仅是“考试要求”,也是“知识要求” 1和差公式已知两角，在定义域内有变形得 ，给确定的角有： ； ； ； 。对的合情推理，只要具备简单的变式训练和信息迁移能力不难解决，但对必须给学生思考的空间和平台，比如合作交流、小组讨论等.对：思路分析1：或合理推理： 思路分析2：构造一
7、个三角形，其中3个角分别是结合正、余弦定理来合理推理：在中，由正弦定理由余弦定理即显然，思路分析2比分析1简捷；它合理的使用数与形之间的对应与转化使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它“兼有数的严谨与形的直观”之长;当然，这种合情推理是以扎实的知识为基础，合理不是凭空臆想。再如本例变式：已知为非零常数，且你能由此类比，从而确定的周期是解决这个问题更要求学生有良好的知识储备水平与架构知识的能力.2（2003年全国高考题）在平面几何里，有勾股定理：在中，则拓展到空间，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是 ；需要注意的是这一题的难度不大,得分率不高. “大部分考生没有掌握类比的方
8、法，搞错了类比的方向”（王林全：现代数学教育研究概论，广东高等教育出版社）。再如:在平面上,设是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别是我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论 .三培养合理合情推理的途径1课堂教学中变式训练、直觉诱导，层递性、趣味性和开放性的课堂练习.教师的知识水平要高,教师的知识水平直接影响着课堂的组织教学和合情推理目标的实现 G波利亚在数学与猜想中这样强调合情推理：“只要教学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想和合情推理占有适当的位置”，所以创设教学情景，把学生引入到探索、发现、归纳、类比的思维空间。新课标中指
9、出：数学课堂教学的本质是教学活动.课堂例题、练习的开发、整合、优化是开发学生合理推理能力的主要载体，也体现了师生之间教学活动的沟通与合作。例题：的顶点，边所在直线的斜率之积是则顶点的轨迹方程是 ；变式1：的顶点，边所在直线的斜率之积是则顶点的轨迹方程是 ；变式2：的顶点，边所在直线的斜率之积是则顶点的轨迹方程是 ；变式3：动点到两定点连线的斜率之积是则动点的轨迹方程是 .这是对教材例、习题的再建构，在课堂教学活动中，首先让学生动脑思考，其次让学生掌握通性通法，领悟规律，教师的作用就是呈现解题之“渔”，真实体会合情推理的合理性。2作业，自编也精彩.教师要有全新的教学理念,以学生为主体,让学生合理
10、合情推理在我国数学教学中，数学技能的训练一直受到教师的重视.中学数学教学参考200810期数学技能训练的有效性一文谈起学生数学技能形成的心理过程时，指出：“从学习心理的角度看，技能是一种程序知识，是一看（观察问题）、二判（判别问题类型）、三选（选择方法）、四求（求得答案）的过程，充满了思考、探索、尝试等思维活动”.所以，提高学生合理合情推理的技能，必须注意练习题的精心配置，必须注意训练的层次性和有序性，必须以学生为主体,因生施教,关注适合自己学生学习的感受、体验和创造（对学生来说，是一种创造）过程.作业，自编也精彩。以下是上述例题后的自编作业，选做其中四题即可。（1）设则改变中任何一个的符号，
11、你能写出哪些结论？（2）在平面直角坐标系中，轴上的点到两点的距离之和的最小值是 ；已知函数，当= 时，函数有最小值. （3）在等比数列中， ，则 ； （4）过抛物线的焦点作一条斜率为的直线与抛物线交于两点，已知命题“过两点分别作曲线的切线，两切线的交点恒在直线上” 是真命题，请猜测椭圆的相应的命题；（不需证明）（5）已知下图、分别是一个立体模型的正、左、俯视图，这个立体模型是由若干个棱长为1的小正方体组成，则这个立体模型的体积的所有可能值是 . 数学合情推理的培养是数学双基培养的一部分，扎实的双基又会更有效地诠释合情推理. G波利亚在怎样解题中指出：“一个好的教师应该懂得并且传授给学生下列看法
12、：没有任何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做.经过充分的探讨钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平”.这就是合理推理教会学生的数学的思想和方法。总之，数学需要合情推理.一方面,体现了数学作为基础学科在选拔性考试中的作用,另一方面要发挥数学知识作为基础学科的作用,数学知识的理解掌握和创新能力都离不开合情推理.合情推理是数学的原动力,也是数学作为基础学科最需要和必须培养与具备的素养.参考文献1 中华人民共和国教育部制订，普通高中数学课程标准（实验），人民教育出版社.2003.2 章建跃.对高中数学新课标教学的若干建议.中学数学教学参考（高中），2007（3）3 G波利亚(美) 数学与猜想（第一卷）.李心灿，王日爽，李志尧译.科学出版社，2003.4 王林全：现代数学教育研究概论，广东高等教育出版社.2005.5 中学数学教学参考（高中）2008.106 中学教研（数学）2007.7.
