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1、一道课本例题的探究在高一数学第五章向量的第五节线段的定比分点中，有这样一道例题：x1+ x2 +x3A例2 已知：ABC的三个顶点A（x1,y1）,B(x2，y2),C(x3，y3),D是边AB的中点，且 =2，求点G的坐标？y1+ y2 +y33GCYXDB 书中利用定比分点公式得出XG = 3 YG = 由此，则任意已知顶点坐标的三角形重心坐标均能以此公式求得。但如将问题变为：已知ABC的AB,BC ,CA上的中点分别是D(xD,yD),E(xE,yE),F(xF,yF),求ABC的重心G的坐标，则结果如何呢？xB + xC xB + xC xA + xB 解：D,E,F分别是 AB,BC
2、 ,CA 的中点222xD= , xE = , xF = 则xD+xE+xF=xA+xB+xCxG=同理 yG=33yD+yE+yFxD+xE +xF ABC的重心G的坐标是（ ， ）我们发现：此题中ABC的重心G的坐标刚好是DEF的重心坐标，即两个三角形重心是重合的。那么，如果我们继续取DEF的各边中点并连结之，仍能证明所得的三角形的重心还是G,。故而，我们能够得出，连结任意一个AnBnCn的各边中点，所得的An+1Bn+1Cn+1的重心均重合（nN）。A那么，如果我们继续探讨，比如取ABC各边上的三等分点（如图），再来求DEF的重心G，看看此时这两个三角形的重心有没有重合呢?D 由已知，D
3、是AB边上的三等分点（如图），可得D,E,F分BCEFBA,CB,AC的比均为2， 故xD= ,xE = xF = xD+xE +xF = = xA+xB+xF xG= 同理 yG= 可见，以上两个三角形的重心仍重合。D对此，我们还能取4等分点，5等分点，仍可证明按上述方法得到的三角形其重心还是重合于同一点G。如果，我们再深入探讨，不取等分点，而取一个实数，使ABC各边所在直线上的点D,E,F满足=，此时，DEF的重心和ABC的重心G还能重合吗？CFCEBDAA 证明如下：由已知，= ,由定比分点公式FEB 得xD= ,xE = xF = 则xD+xE +xF = = xA+xB+xF即 xG
4、=同理 yG= ，故 DEF的重心和ABC的重心G仍然重合。综上，我们得出在任意AnBnCn各边AnBn，BnCn，CnAn 所在直线上取点An+1，Bn+1，Cn+1，只要满足= ，则所得的An+1Bn+1Cn+1的重心与AnBnCn的重心重合，且XAn+XBn+XCn=XAn+1+XBn+1+XCn+1, YAn+YBn+YCn=YAn+1+YBn+1+YCn+1 。应用以上结论，能帮助我们快速解决此类重心问题，如： 例1 ：已知A1B1C1的顶点为：A1（XA1，YA1），B1（XB1，YB1），C1（XC1，YC1），依次连结其各边中点得到A2B2C2，再连结A2B2C2各边中点得到A
5、3B3C3，如记an= XAn+ XBn+ XCn, bn= YAn+ YBn+ YCn,则当A1B1C1的顶点坐标为A1（2，3），B1（-2，1），C1（3，1）时，a100= ,b100= 解: 易知以上各三角形重心均重合,且横坐标和,纵坐标和均分别相等,故a100= XA1+ XB1+ XC1=2-2+3=3 , b100= YA1+ YB1+ YC1=3+1+1=5例2 ：已知ABC的顶点A(5,0),B(2,3),若D,E,F在AB,BC,CA边上,且满足BE:EC=CF:FA=1:2,则当ABC和DEF的重心重合时,求D点的坐标.解:设AD:DB=1 ,由ABC和DEF的重心重合及定比分点公式,则+= xA+xB+xC ,计算得1=0.5 应用定比分点公式可得D(4,1)例3: 已知ABC的顶点B(-1,0),C(1,0), A在抛物线Y=x+1上，且AB,BC,CA上的三点D,E,F满足AD:DB=BE:EC=CF:FA,求DEF的重心G到顶点A的最小值。解：由AB,BC,CA上的三点D,E,F满足AD:DB=BE:EC=CF:FA，则DEF的重心G与ABC的重心重合，设A(a,a+1),则xG=，yG=AG=a=0时，AG最小值为1。
